2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 作业练习（含解析）

2023-2024学年高一数学必修第一册作业14
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式（1）
班级 姓名 座号
【自主学习】
1.完成表格
定义 一般地，我们把只含有一个________，并且未知数的最高次数是__________的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使______________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的________．
完成表格
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
【小试牛刀】
1. 求下列不等式的解集：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
2. 当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0 大于0 小于0
(1); (2);
(3); (4).
3. x是什么实数时,有意义
在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米
某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格
基础巩固
1．给出下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．(多选)函数y＝x2－4x＋3的零点为(　　)
A．(1,0) B．1
C．(3,0) D．3
3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A. B.
C． D.
4．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　)
A. B.
C. D.
5．不等式>0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
6．(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是(　　)
A． B.
C. D.
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
8．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________________．
9．解不等式：
(1)x2＋x－6≤0；(2)6－2x2－x<0.
10．已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
(1)当a＝2时，解上述不等式；(2)当a∈R时，解上述关于x的不等式．
综合运用
11．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m12．(多选)下列不等式的解集为R的有(　　)
A．x2＋x＋1≥0
B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<1
13．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．{x|0C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－114．若关于x的不等式x2－mx<0恰有一个整数解1，则m的取值范围为________．
拓广探究
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(1,0)与(3,0)两点，当a＝________时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________．(写出a的一个值即可)
16．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.
2023-2024学年高一数学必修第一册校本作业14
课题：2.3　二次函数与一元二次方程、不等式（1）
答案详解
【自主学习】
1.
定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【小试牛刀】
1. 求下列不等式的解集：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）.
【答案】（1）或； （2） （3）
（4）无解 （5）或； （6）R
【小问1详解】解：，解得或，所以不等式的解集是或；
【小问2详解】由，得，即，解得，
所以原不等式的解集为：；
【小问3详解】不等式的相应方程的两个根为，，
则不等式的解集为；
【小问4详解】不等式，即为，所以原不等式无解；
【小问5详解】不等式即为，则，解得或，所以原不等式的解集为或；
【小问6详解】其相应方程的判别式为，所以不等式的解集为R；
2. 当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0 大于0 小于0
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)等于0,;大于0,或;小于0,.
(2)等于0,;大于0,;小于0,或.
(3)等于0,;大于0,R;小于0,.
(4)等于0,;小于0,;大于0,.
【详解】（1）二次函数，令
由一元二次方程的求根公式可知，所以
结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与轴有两个交点,所以
当时,函数值等于0;
当或时,函数值大于0;
当时,函数值小于0.
（2）二次函数，令
解一元二次方程可知，所以，结合二次函数的图像与性质可知:
当时,函数值等于0;
当或时,函数值大于0;
当时,函数值小于0.
（3）二次函数
则
结合二次函数的图像与性质可知:
当函数值等于0时为;
当时,函数值大于0;
当函数值小于0时为;
（4）二次函数
则
结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与轴有一个交点,所以:
当时函数值等于0;
当时,函数值大于0;
当函数值小于0时为;
3. x是什么实数时,有意义
【答案】或
【详解】由知,解得或.
因此,当或时,有意义.
4. 如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米
【答案】大于等于1m,且小于3m.
【详解】设花卉带的宽度应为,则,
即,化简得
而
答:花卉带的宽度应大于等于1m,且小于3m.
5. 某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格
【答案】销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)
【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个
由题意得,即
∵方程的两个实数根为,
解集为
又
故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.
基础巩固
1．给出下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
答案　D
解析　根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．
2．(多选)函数y＝x2－4x＋3的零点为(　　)
A．(1,0) B．1
C．(3,0) D．3
答案　BD
3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A.
B.
C．
D.
答案　D
解析　原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
令3x＋1＝0，解得x＝－.
故不等式的解集为.
4．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　方法一　取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C.
方法二　原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1.
5．不等式>0的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
6．(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是(　　)
A． B.
C. D.
答案　ABD
解析　不等式变形为(x－2)(ax＋1)>0，
又a<0，所以(x－2)<0，
当a＝－时，不等式的解集为 ；
当a<－时，解得－当－因此该不等式的解集可能为ABD.
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
答案　{x|x<－2或x>3}
解析　根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．
由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．
8．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________________．
答案　
解析　因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为.
9．解不等式：
(1)x2＋x－6≤0；
(2)6－2x2－x<0.
解　(1)原不等式等价于(x＋3)(x－2)≤0，
解得－3≤x≤2，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于2x2＋x－6>0，
即(2x－3)(x＋2)>0，
解得x<－2或x>，
所以原不等式的解集为.
10．已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
(1)当a＝2时，解上述不等式；
(2)当a∈R时，解上述关于x的不等式．
解　(1)当a＝2时，x2－(a＋1)x＋a<0 x2－3x＋2<0 (x－1)(x－2)<0，解得1则不等式的解集为{x|1(2)注意到x2－(a＋1)x＋a<0
(x－a)(x－1)<0，
①当a>1时，不等式的解集为{x|1②当a＝1时，不等式的解集为 ；
③当a<1时，不等式的解集为{x|a综合运用
11．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m答案　B
解析　方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝
(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n12．(多选)下列不等式的解集为R的有(　　)
A．x2＋x＋1≥0
B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<1
答案　AC
解析　A中Δ＝12－4×1<0，满足条件；
B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
C中Δ＝62－4×10<0，满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
13．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．{x|0C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1答案　B
解析　根据给出的定义得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，即(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－214．若关于x的不等式x2－mx<0恰有一个整数解1，则m的取值范围为________．
答案　1解析　由x2－mx<0可知x(x－m)<0，
∵x2－mx<0恰有一个整数解1，
∴0∴1拓广探究
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(1,0)与(3,0)两点，当a＝________时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________．(写出a的一个值即可)
答案　1　{x|x<1或x>3}(答案不唯一)
解析　当a>0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1或x>3}；
当a<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|116．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.
解　因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－所以原不等式的解集为 ；
当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根，
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1综上所述，当－当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a>或a<－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．