数据的分析同步练习
课前小练：
1. 在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号1，2，3，4，5的五位同学最后的成绩如下表所示：
参赛者编号 1 2 3 4 5
成绩/分 96 88 86 93 86
那么这五位同学演讲成绩的众数是__________，中位数是___________。
2. 甲、乙两名同学进行射击训练，在相同的条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
（1）分别计算甲、乙两人5次射击环数的平均数；
（2）分别计算甲、乙两人5次射击环数的方差；
（3）如果要选一名成绩稳定的同学进行省级比赛，请问你会选择谁？
知识点回顾：
知识点一：平均数
算术平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算数平均数，简称平均数，记作，即。算数平均数反映了一组数据的_________，是描述一组数据的__________的量。
【提示】：
（1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关；另外平均数的单位与原数据的单位一致。
（2）已知一组数据的平均数是，则的平均数是。
（3）平均数、数据的个数以及所有数据的总和这三个量中，已知任意两个就能求出第三个：
（4）总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，样本中所有个体的平均数叫做样本平均数，通常用样本平均数去估计总体平均数。
2. 平均数的计算方法
（1）定义法：如果有个数，那么
（2）新数据法：当所给的数据大部分在某一常数（通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数）上下波动时，可计算各数据与的差：，，，... ，，则
加权平均数
一般地，在个数据中，如果数据出现的次数分别是，其中，那么这个数据的平均数为_______________，这个平均数叫做这组数据的_______________，数据分别出现的次数分别叫做数据的_______________，即_____________.
【提示】：
加权平均数中的“权”表示各个数据的比重不同，反应了各个数据在这组数据中的重要程度不一样，权数越大，数据越重要。
（2）求算数平均数时，各项的权相等；求加权平均数时，各项的权一般不相等。
（3）在具体的实际问题中，权的表现形式通常有三种，①各个数据出现的次数；②比例的形式；③百分数的形式。
4. 平均数的性质
若一组数据的平均数是，则：
（1）一组数据的平均数是（是常数）
（2）一组数据的平均数是（是常数）
（3）一组数据的平均数是（是常数）
算数平均数和加权平均数的异同
算数平均数是加权平均数的一种特殊情况（即各项的权相等），在实际问题中各项权不相等时，计算平均数就要采用________________；当各项权相等时，计算平均数就要采用________________；两者不可混淆。
例1：某单位欲从内部招聘管理员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下：
测试项目 测试成绩
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
根据录用程序，组织200名员工对三人进行民主评议，三人得票数（没有弃权票，每位职工只能推荐一人）如图所示，每得一票记作1分。
请分别计算这三个人的民主评议得分；
如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？（精确到0.01）
根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按照4:3:3的比例确定个人的成绩，那么谁将被录用？
知识点二：中位数与众数
中位数：一般地，个数据按照大小顺序排列，处于正中间位置的一个数据（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的___________________。
中位数的求法
一组数据的中位数是___________的，求中位数时，一定要将这组数据按从小到大（或____________）的顺序排列，如果一组数据的个数为________，则排序后___________的一个数据就是这组数据的中位数；如果一组数据的个数为________，则排序后最中间的___________就是这组数据的中位数。
【提示】：
（1）中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据。
（2）中位数的单位与数据的单位相同。
（3）当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势。
3. 众数
一般地，一组数据中出现次数__________的那个数据叫做这组数据的众数。
【提示】：
（1）如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，我们就说这些数据都是众数，但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往就没有意义了。
（2）众数是一组数据中的某个或几个数据，其单位与数据的单位相同。
（3）众数是描述一组数据集中趋势的统计量，众数反映的是一组数据中各数据出现的频数。
4. 众数、中位数、平均数的区别与联系
联系：它们都反映了一组数据的______________。
区别：（1）___________的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据变动都会引起它的变动。
（2）____________主要研究各数据出现的次数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中某些数据__________出现时，我们往往关心众数。
（3）__________仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。
例2：甲、乙、丙三家个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
请回答下列问题：
（1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数；
（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数；
（3）如果你是顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？
知识点三：从统计图分析数据的集中趋势
1. 统计图的分类
一般来讲，我们常接触的统计图：____________、____________、_____________、____________。
2. 描述数据集中趋势的量
____________、_____________、_____________都是描述数据集中趋势的统计量。其中以平均数最为重要，其应用也最为广泛。
3. 从统计图中读取中位数、众数、平均数
从条形统计图中读取 从扇形统计图中读取
众数 最高的长方形所对的横轴上的数就是众数 多占比例最大的部分对应的数，就是众数
中位数 确定中间位置的数是第个数，按从左往右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数） 按从小到大顺序计算所占百分比之和，和为50%和51%时对应部分的平均数是中位数
平均数 从统计图中读处各类数据，按平均数的计算公式计算即可
【提示】：
（1）条形统计图能清楚地表示处每个项目的具体数目，直条越高，对应的具体数目就越多。
（2）扇形统计图中，圆中的各个扇形代表总体中的不同部分，因此可直观地认为扇形大，则对应的部分就大，扇形小，则对应的部分就小。
（3）计算统计图中数据的平均数，大多计算的是加权平均数，对应的纵轴上的个数与扇形所占的百分比就是“权”
例3：为了了解学生的课外阅读情况，李老师随机调查了一部分学生，得到了他们上周双休日课外阅读时间（记为，单位：）的一组样本数据，其部分条形图和扇形图如下：
请补全条形图和扇形图；
试确定这组样本数据里的中位数和众数
估计全班学生上周双休日的平均课外阅读时间。
知识点四：数据的离散程度
1. 极差
①定义：极差是指一组数据中________________________________________________________.
②作用：极差是刻画数据离散程度（波动状况）的一个统计量。
一般而言，极差小，各个数据的波动也就_____，它们的平均数对这组数据一般水平的代表性也就____；极差大，各个数据的波动就_____，平均数的代表性也就____________。
③优缺点：极差计算简便，易于了解，但它的值是由数据中的两个极端值决定的，当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能充分地反应全体数据的实际离散程度。
2. 方差与标准差
①方差是_________________________________________________________________________________，即，其中，是，，... ，的平均数，是方差。
②标准差就是方差的算数平方根，即：
③作用：一般而言，一组数据的方差或标准差越________，这组数据的平均数的代表性就越________，这组数据越稳定。
【提示】：
极差、方差、标准差都有单位，其中极差、标准差的单位与已知数据的单位相同，使用时应当注明单位；方差的单位是已知数据单位的平方，使用时可以不标注单位。
3. “三差”的应用
极差、方差、标准差都是刻画一组数据离散程度的统计量。
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越_______。这组数据就越_______；方差和标准差较极差更为精细地刻画了数据的波动状况。但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值，从而导致这些量度数值较大。因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动状况。
4. 有关方差、标准差的规律
若一组数据，，... ，的方差为，标准差为（为常数），则
（1）新数据，，... ，的方差为，标准差为
（2）新数据，，... ，的方差为，标准差为
（3）新数据，，... ，的方差为，标准差为
例4：市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1），（2）计算结果，你认为推荐谁去参加省比赛更合适，请说明理由。
达标测评：
已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但是他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是一下哪个分数吗？（ ）
A. 93 B. 95 C. 94 D. 96
若一组数据2，3，4，5，的平均数与中位数相同，则实数的值不可能的是（ ）
A. 6 B. 3.5 C. 2.5 D. 1
“十年树木，百年树人”，教师的素养关系到国家的未来，某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为100分，并按2:3:5的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取，该区要招聘两名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节，这6名选手的各项成绩见表：
序号 1 2 3 4 5 6
笔试成绩 66 90 86 64 66 84
专业技能测试成绩 95 92 93 80 88 92
说课成绩 85 78 86 88 94 85
笔试成绩的平均数是_____________;
写出说课成绩的中位数：__________众数：____________；
分别按比例核算这六位选手的总成绩，判断应该录取几号？为什么？
课后作业：
将一组数据中的每个数减去40后，所得新的一组数据的平均数是2，那么原来这组数据的平均数是（ ）
A. 40 B. 42 C. 38 D. 2
下列说法中，错误的是（ ）
A.“伊利”纯牛奶消费者服务热线是400-816-9999，该十个数的中位数是7
B. 服装店老板最关心的是卖出服装的众数
C. 要了解全市初三近4万名学生2023年中考数学成绩情况，适宜采用全面调查
D. 条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据间的差别
已知一组数据：18，17，13，15，17，16，14，17，则这组数据中的中位数与众数分别是_____，_____。
某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩（单位：环）如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次
甲 10 8 9 8 10 9 10 8
乙 10 7 10 10 9 8 8 10
根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________环，乙的平均成绩是_______环。
分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；
根据（1），（2）计算结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由。
