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佛山市顺德区2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷
考试时长：120分钟 总分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数是虚数单位，则所对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，
，那么下列事件概率错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，分别是四面体的棱、的中点，是线段的一个四等分点靠近点，设，，，则( )
A. B.
C. D.
4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量( )
A. B. C. D.
5. 将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上是增函数的概率是( )
A. B. C. D.
6. 在中，内角所对的边分别为若，且的面积是，则的外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，若三棱锥体积为，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某中学为了解大数据提供的个性化作业的质量情况，随机访问名学生，根据这名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间，，，，则( )
A. 频率分布直方图中的值为
B. 估计该中学学生对个性化作业的评分不低于的概率为
C. 从评分在的受访学生中，随机抽取人，此人评分都在的概率为
D. 受访学生对个性化作业评分的第百分位数为
10. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则( )
A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件
C. D.
11. 如图，在边长为的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体如图下列结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 四面体的体积的为
C. 二面角正切值为
D. 顶点在底面上的射影为的垂心
12. 已知正方体中，，为正方体表面及内部一点，且，其中，，则( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，直线与所成角正弦值的最小值为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，不存在点，使得平面平面
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 两个袋中各装有写着数字，，，，，的张卡片，若从每个袋中任意取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和大于的概率为 ．
14. 已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是 ．
16. 已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为和，则此正四棱台的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在正方体中，棱长为，、分别为、的中点，求下列问题：
求到直线的距离；
求到面的距离．
18. 本小题分
羽毛球比赛规则：
分制，每球取胜加分，由胜球方发球；
当双方比分为：之后，领先对方分的一方赢得该局比赛；
当双方比分为：时，先取得分的一方赢得该局比赛．经过鏖战，甲乙比分为：，甲在关键时刻赢了一球，比分变为：在最后关头，按以往战绩统计，甲发球时，甲赢球的概率为，乙发球时，甲赢球的概率为，每球胜负相互独立．
甲乙双方比分为：之后，求再打完两球该局比赛结束的概率；
甲乙双方比分为：之后，求甲赢得该局比赛的概率．
19. 本小题分
某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面的柱状图．以这台这种机器更换的易损零件数对应的频率代替每台机器更换的易损零件数对应的概率，记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示台机器在购买易损零件上所需的费用单位：元，表示购买台机器的同时购买的易损零件数．
若，求与的函数解析式；
求这台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于的概率；
假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，如果该公司最终决定购买台机器，试问该公司购买台机器的同时应购买多少个易损零件？
20. 本小题分
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
证明：点在平面内
若，，，求二面角的正弦值．
本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
求证：；
若平面，求平面与平面的夹角大小；
在的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
22. 本小题分
如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过作一个平面使得平面．
求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；
若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
佛山市顺德区2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17. 解：如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
，，
则到直线的距离．
，，
设为面的法向量，
则即
取，得平面的一个法向量．
又，得到面的距离为．
18. 解：设事件“甲乙双方比分为：之后，两人又打了两个球该局比赛结束”，
则这两个球均由甲得分的概率为：，
或者这两个球均由乙得分的概率为：，
因此，；
设事件“甲乙双方比分为：之后，甲赢得该局比赛”，则分三种情况：
甲连得分的概率为：，
甲先得分，乙得分，甲再得分的概率为：，
乙先得分，甲得分，甲再得分的概率为：，
因此．
19. 解：由题意可得，所有可能取值为，，，，，
当，时，，
当，时，，
故．
设事件为“这台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于”，
由题意可知，每台机器更换的易损零件数为的概率为，
每台机器更换的易损零件数为的概率为，
每台机器更换的易损零件数为的概率为，
故．
若这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，
则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
元，
若这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，
则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
元，
若这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，
则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元，
故该公司购买台机器的同时应购买个易损零件．
20. 解：取线段上一点，使得，连接 ，，，
因为，
所以容易证明，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
同理可以证明四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以点，，，四点共面，
即点在平面内
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
令，可得，，
则，
设平面的法向量为，
则
令，可得，，
则
所以，
二面角的正弦值为．
21. 证明：连，设交于，由题意知平面．
以为坐标原点，
分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图．
设底面边长为，则高．
于是，
，，
，
故
从而
解：由题设知，平面的一个法向量，
平面的一个法向量．
设所求二面角为，为锐角，则，
所求二面角的大小为
解：在棱上存在一点使平面．
由知是平面的一个法向量，
且，
设，
则 ，
而 ，
即当：：时， ，
而不在平面内，故BE平面．
22. 解：如图，记平面与直线的交点分别为，则面为平面，
因为面面，面面，面面，
所以，同理，
又，即，所以四边形是平行四边形，故，
又易得，故是的中点，
可知是的中点，
由条件易得，，，
由底面，得，，所以，
故平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比为．
由底面，平面，得，
由两两垂直，建立空间直角坐标系如图，
记的长为，则，
则，，，
设平面的法向量为，则有，即，得
取得平面的一个法向量，
由条件易知点到平面 的距离为，即，解得或负值舍去，即，
所以，
故直线与平面所成角满足．
．
【解析】
1. 【分析】
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，复数的除法运算，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：，，
所对应的点所在象限为第一象限．
故选：．
2. 【分析】
本题主要考查古典概型的概率计算，互斥事件与对立事件的概率计算．
根据题目条件，分别求出事件、的概率，以及对立事件的概率，进而验证各选项，即可得出结论．
【解答】
解：对于选项A：，
所以，
故A正确；
对于选项B：，
故B正确；
对于选项C：，
所以，
故C正确；
对于选项D：，
所以，
故D错误．
故选：．
3. 【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于一般题．
连接，根据空间向量的线性运算求解即可．
【解答】
解：如图，连接，
，分别是，的中点，
，，
，是线段的一个四等分点，
，
．
故选C．
4. 【分析】
本题考查投影向量，属于基础题．
【解答】
解：因为向量，，
所以向量在向量上的投影向量
5. 【分析】
本题考查古典概型的应用，以及二次函数的单调性，属于中档题．
由于函数在上是增函数，只需，利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型公式即可得到答案．
【解答】
解：根据题意得，要使函数在上为增函数，只需
将一枚骰子向上抛掷两次所得基本事件记为，其个数为，如下图：
而满足的基本事件有，，，，，，，，共种情况，
故函数在上为增函数的概率是，
故选B．
6. 【分析】
本题考查余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，属于基础题，
先由已知条件利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理可求出，然后利用正弦定理求出的外接圆半径，从而可求出的外接圆的面积．
【解答】
解：因为，且的面积是，
所以，得，
由余弦定理得，
因为，所以，
设的外接圆半径为，则由正弦定理得
，得，
所以的外接圆面积为，
7. 【分析】
本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．属于中档题．
利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．
【解答】
解：圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，
可得．
的面积为，
可得，即，即．
与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：．
则该圆锥的侧面积：
8. 【分析】
本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积，属于较难题．
由，可得，由三棱锥的体积求出正三棱锥的高，再利用勾股定理可求出外接球的半径，从而可求出球的表面积．
【解答】
解：如图，
为正三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且，
延长交于，则，
所以．
因为三棱锥体积为，
所以，得，
在直角中，，
所以，解得，
所以该球的表面积为．
故选B．
9. 【分析】
本题考查频率分布直方图，考查古典概型，考查数学运算能力，属于中档题．
【解答】解：因为，所以，A正确；
由所给频率分布直方图知，名受访学生评分不低于的频率为
，
所以该中学学生对个性化作业评分不低于的概率的估计值为，B错误；
受访学生评分在的有
人，即为，，
受访学生评分在的有：
人，即为，．
从这名受访学生中随机抽取人，所有可能的结果共
有种，它们是：，，，，，
，，，，
又因为所抽取人的评分都在的结果有种，
即，故所求的概率为，C正确；
，，
所以第百分位数
，D错误．
故选AC．
10. 【分析】
本题考查互斥事件、相互独立事件的定义等基础知识、古典概型的计算与应用，属于中档题．
利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义可直接求解．
【解答】
解：甲、乙为两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
设同时抛掷这两个骰子的结果为，，分别为甲，乙两个骰子抛掷后朝上一面的数字，
记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件包含的基本事件有个，分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，
事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件包含的基本事件有个，分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，
事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件包含的基本事件有个，分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，
则事件包含的基本事件有个，分别为：
，，，，，，，，，
，
，
事件、是相互独立事件，故A正确；
又事件与能同时发生，
事件与不是互斥事件，故B错误；
，故C正确；
又事件包含的基本事件有个，分别为，，，，，，，，，
，故D错误．
故本题选AC．
11. 【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
选项利用底面，且不在上，故平面与平面不垂直；选项由，，两两垂直，直接利用体积计算公式计算即可；选项，利用为二面角的平面角，求出线段长度，即可计算出答案；选项，利用线面垂直判定定理求出平面以及平面，即可得到，同理可证，，即可判定选项．
【解答】
解：
对于，底面，且不在上，故平面与平面不垂直，故A错误；
对于，，，两两垂直，，故B正确；
对于，由知，，，为的中点，
连接，又，，
则为二面角的平面角．
在等腰直角三角形中，由，得，
在中，有，故C错误．
对于，设在底面上的射影为，则底面，，
，，
，，平面，平面，
平面，，
连接并延长，交于，
，，平面，平面，
平面，
则，
同理可证，，即点在平面内的射影为的垂心，故D正确；
12. 【分析】
本题考查棱锥的体积、异面直线所成角、多面体中的最短距离问题以及面面垂直的判定，属于较难题．
根据题意，逐一判断各选项即可．
【解答】
解：选项A当时，点的轨迹为线段，
此时，可得面，到底面的距离为定值．
选项A正确．
选项B当时，点的轨迹为线段为的中点，为的中点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
若直线与所成角正弦值的最小值为，则存在使得，
即，解得，舍去，故不存在点使得与所成角正弦值为，B错误
选项C当时，点的轨迹为线段，
将面与面铺平，最小值为长度，
，
