2023-2024学年四川省绵阳市涪城区南山中学高三（上）零诊数学试卷（文科）（9月份）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.“”是“关于的方程有两个不等实根”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图，图为其结构简化图，设扇面，间的圆弧长为，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为为弧度角，则、和所满足的恒等关系为( )
A. B. C. D.
7.将的图象向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可以是( )
A.
B.
C.
D.
9.若点是曲线上任意一点，则点到直线：距离的最小值为( )
A. B. C. D.
10.一架飞机从保山云瑞机场出发飞往昆明长水机场，两地相距，因雷雨天气影响，飞机起飞后沿与原来飞行方向成角的方向飞行，飞行一段时间后，再沿与原来飞行方向成角的方向继续飞行至终点，则本架飞机的飞行路程比原来的大约多飞了参考数据：( )
A. B. C. D.
11.下列结论正确的个数为( )
在中，若，则；
在中，不等式恒成立，则为锐角三角形；
在中，若，，则为等腰直角三角形；
若为锐角三角形，则．
A. B. C. D.
12.对于函数，若存在非零实数，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”若时，函数的图象上恰有对“隐对称点”，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“，”的否定是______ ．
14.曲线在处切线的斜率为______ ．
15.函数的值域为______ ．
16.已知为奇函数，当，，且关于直线对称设方程的正数解为，，，，，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知向量，满足，且，．
求；
若与的夹角为，求的值．
18.本小题分
函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且．
求的单调递减区间；
当时，方程有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知二次函数，．
若函数是偶函数，求的值；
是否存在，使得函数有两个零点和，且在区间内至少存在两个整数点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图所示：
证明余弦定理：；
在边上侧有一点，若，，，四点共圆，且，，，求周长的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
若函数，讨论函数的单调性；
证明：当时，．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
点为曲线上一点，求点到直线距离的最小值．
23.本小题分
已知．
解不等式；
若，求证：，使得成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
所以．
故选：．
根据补集的性质和定义即可得出结果．
本题主要考查补集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若关于的方程有两个不等实根，则，解得或，
因此，由“”不能推出“关于的方程有两个不等实根”，
反之，由“关于的方程有两个不等实根”也不能推出“”，
所以“”是“关于的方程有两个不等实根”既不充分也不必要条件．
故选：．
根据充分必要条件的概念，结合一元二次方程根的判别式加以解答，即可得到本题的答案．
本题主要考查一元二次方程根的判别式、充要条件的判断及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
观察已知角和所求角之间的联系，利用诱导公式，即可得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：向量，，则，又，，
因此，解得，
所以实数的值为．
故选：．
根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示列式作答．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，如图，可得，，
设，
则在中，，
又，
所以由可得：，即．
故选：．
由题意，设，在中，解三角形可得，又，联立方程即可求解．
本题考查了扇形的弧长公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意函数平移后的解析式为，
则，解得，因为，
所以当时，．
故选：．
先求出函数平移后的解析式，然后根据题意建立方程，进而可以求解．
本题考查了三角函数的图象变换，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数是奇函数，，是奇函数，是偶函数，
所以，是偶函数，，是奇函数，
由图象可知，函数为奇函数，所以排除；
对于选项，，与题图矛盾，排除，
对于，，符合题意．
故选：．
利用函数的奇偶性、处函数值的与比较加以判断．
本题考查函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，得，
令，则，
，，得，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式可得点到直线的距离的最小值．
故选：．
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，考查化归与转化思想，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意如图，由示意图可知，
因为，，，，
中，由正弦定理得：
，
则，
所以．
故选：．
画出图象，可得，，，由正弦定理求出，即可．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：在中，若，故A，，故，则，故正确；
对于：在中，不等式恒成立，所以，故A为锐角，但是不能说明为锐角三角形，故错误；
对于：在中，若，，则，整理得，故，故A，故为等腰直角三角形，故正确；
对于：若为锐角三角形，所以，整理得，所以，故错误．
故选：．
直接利用余弦定理和三角函数关系式的变换判断的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，
即方程有两个根，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
的图象恒过点，的图象也过点，
因为，所以在处的切线方程为，
由图可知当或时，与的图象有 个交点，
即有两个根，
所以实数的取值范围为．
故选：．
由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案．
本题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题．
13.【答案】，
【解析】解：命题“，”的否定是：
，．
故答案为：，．
根据特称命题的否定是全称命题，从而求出答案．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
则．
即曲线在处切线的斜率为．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值即可．
本题考查导数的几何意义及其应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，函数，而，
当时，，当时，，
所以函数的值域为．
故答案为：．
利用同角公式，结合关于的二次函数求解作答．
本题主要考查了二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，所以，且，
又关于直线对称，所以，
所以，
则，
所以函数是以为周期的周期函数，
作出函数和的图像如图所示：
由的正数解依次为，，，，，
则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为，
所以．
所以得任意的，，
已知任意的，总存在实数，使得成立，
可得，即的最小值为．
故答案为：．
根据题意可得函数是以为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得到，进而求出的最小值．
本题考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，也考查了数形结合思想、极限思想，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
又，，
所以；
因为，又，
所以．
【解析】按照数量积运算律展开条件式，代入模长即可求解；
根据向量的夹角公式求出夹角余弦值，结合夹角范围得出．
本题考查平面向量数量积及其夹角的运算，属基础题．
18.【答案】解：由题意可知，函数的周期，得，．
所以，，可得，
所以．
令，解得：，，
所以函数的单调递减区间是，．
方程有解，即，，
，所以，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据周期求，再代入，求，然后利用三角函数的性质即得．
参变分离后，转化为求函数在时，求函数的值域．
本题主要考查余弦函数的图象性质，属于中档题．
19.【答案】解：函数是偶函数，
对任意的恒成立．
，即．
．
二次函数的图像开口向上且过点，对称轴为，
对任意的实数，函数都有两个零点和，且
当时，函数的两个零点分别为，，在区间内只有一个整数点，
不满足题目要求；
当时，只需，即，此时至少有两个整数和在区间内；
当时，只需，即，此时至少有两个整数和在区间内．
的取值范围是．
【解析】根据偶函数的定义列式计算即可；
由题意，根据，，分类讨论即可．
本题主要考查了函数奇偶性的应用及函数零点的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
20.【答案】证明：设的角、、对应的三边分别为、、，
因为，
则，
又，
则，
得证；
解：已知在边上侧有一点，
又，，，四点共圆，且，
则，
由正弦定理，
设，，
则，
则，，
则，
又，
则，
则
即周长的取值范围为．
【解析】因为，则，又，则，得证；
由已知可得，由正弦定理，设，则，然后结合三角函数值域的求法求
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了正弦定理及余弦定理，属中档题．
21.【答案】解：，
，
当时，在区间上，，单调递增，
当时，若，即时，
在区间上，，单调递增，
若，即时，
函数的开口向上，对称轴，
令，即，
解得，
而，，所以，是两个正根，
所以在区间，上，，单调递增，在区间上，
，单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
证明：要证明：当时，，
即证明：当时，，
即证明：当时，，
构造函数，
，函数在上为减函数，
，所以存在，使，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，，单调递减，
，
即，所以当时，，
所以当时，．
【解析】先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间；
转化要证明的不等式，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立．
本题考查利用导数研究含参数的函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题，注意分类讨论思想的应用，属难题．
22.【答案】解：直线的极坐标方程为，
整理得：，
根据，转换为直角坐标方程为．
曲线的参数方程为为参数，转换为普通方程为．
设点，
利用点到直线的距离公式得：，
当时，即点到直线的距离的最小值为．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和余弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：由，可得
，或 ，或 ．
解求得，解求得，解求得．
综合可得，，故原不等式的解集为
由于，当且仅当时，取等号，
故的最小值为．
，
，
，
故：，使得成立．
【解析】把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
由题意利用绝对值三角不等式求得的最小值为，再利用柯西不等式求得 ，可得结论．
本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．
第1页，共1页
