福鼎市第一中学2023-2024学年高三上学期第一次测试
数学
一、单选题（共40分）
2．（本题5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题5分）函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题5分）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．a≤4
6．（本题5分）已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
7．（本题5分）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题5分）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）
① ②必为奇函数
③ ④若，则
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题（共20分）
9．（本题5分）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（本题5分）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
11．（本题5分）已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是或
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
12．（本题5分）设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（ ）．
A．是周期为2的函数 B．
C．的值域是 D．方程在区间内恰有1011个实数解
三、填空题（共20分）
13．（本题5分）已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为 .
14．（本题5分）已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第 象限.
15．（本题5分）给出下列四个命题：
①函数为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数的值域是；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）.
16．（本题5分）设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是 .
四、解答题（共70分）
17．（本题10分）已知集合，.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
18．（本题12分）二次函数满足，且方程有两个相等的实数根.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间不单调，求实数的取值范围；
(3)若在的最大值与最小值差为，若，求的最小值.
19．（本题12分）已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，是否存在实数使得恒成立，如果存在请求出实数的取值范围，如果不存在请说明理由．
20．（本题12分）在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.
21．（本题12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． 参考公式：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
(1)求图中的值；
(2)根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；
晋级情况 性别 晋级成功 晋级失败 总计
男 16
女 50
总计
(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
22．（本题12分）已知函数，若的最大值为
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求b的取值范围.
2．D
【分析】根据基本初等函数性质，ABC三个选项的函数均不是偶函数，D选项满足题意.
【详解】，定义域为，不可能为偶函数，所以A不正确；
，定义域为，不可能为偶函数，所以B不正确；
，根据二次函数性质，图象关于对称，所以C不正确；
考虑函数，定义域为R，，所以函数是偶函数，
当时，，函数单调递减，所以D选项正确.
【点睛】此题考查函数单调性与奇偶性的辨析，关键在于熟练掌握常见基本初等函数的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性的讨论方法进行判别.
3．C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式性质、结合指数函数单调性推理判断C作答.
【详解】对于A，令，显然有，，而，A错误；
对于B，由，知，令，显然有，而，B错误；
对于C，由，，得，因此，C正确；
对于D，若，令，有，而，D错误.
故选：C
4．C
【分析】题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，结合不等式的恒成立对k进行分类讨论即可求解．
【详解】由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，
当k＝0时，1＞0恒成立，
当k≠0时，，
解可得，0＜k＜4，
综上可得，k的范围[0，4）．
【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域恒成立问题，体现了转化及分类讨论思想的应用．
5．B
【分析】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.
【详解】∵，则，即
∴a的取值范围
由题意可得：选项中的取值范围对于的集合为的真子集
∴符合的只有B
故选：B.
6．C
【分析】函数的图象上关于坐标原点对称的点，即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，画出函数图象，即可求出结果．
【详解】作出函数的图象，如图示，
则的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，
所以函数的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．
7．D
【分析】根据指数函数，幂函数的单调性，对进行比较，即可判断和选择.
【详解】因为以及是上的单调减函数，故可得，，
即，；
又因为，
而是上的单调增函数，则，即.
故.
故选：D.
8．C
【详解】对于A，令，则由可得，
故或，故①错误；
对于B，当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，令，则，所以，
则，即，则为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，②正确；
对于C，令 ，则，故.
由于,令,即，即有，故③正确；
对于D，若，令 ，则，则 ，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
故，故④正确，
故选：C.
9．ACD
【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.
【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确；
B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错；
C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断.
【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；
由，得，所以为奇函数，B项正确；
因为，所以为偶函数，C项正确；
因为，所以为偶函数，D项正确.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.
【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，
于是得，即，
对于A，不等式化为：，解得，A正确；
对于B，，，
当且仅当，即时取“=”，B正确；
对于C，，令，则在上单调递增，
即有，因有解，则，解得或，C不正确；
对于D，当时，，则，，
依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，
从而得或，因此，D正确.
故选：ABD
12．BD
【分析】根据已知条件推出函数是奇函数．且以为周期，得A错误；根据周期计算，得B正确；利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得C错误；根据函数图象与的图象交点个数，可得D正确．
【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，
因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数．
由，得，
所以以4为周期，故A错误．
因为是奇函数，且定义域为R，所以．
因为，所以，故B正确．
因为当时，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
因为的周期为4，所以当时，，故C错误．
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．
因为的周期为2，且当时，与有2个交点，
所以当时，与有1011个交点，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：求函数零点或方程实根根的个数常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；
（2）数形结合法：先对解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．5
【分析】根据是奇函数,可知关于对称,根据解析式可知,关于对称,根据解析式及对称性在同一坐标系下画出两函数图象,判断交点个数及位置,即可得出方程根之和.
【详解】解:由题知是奇函数,
则有:,
关于对称,且,
当时,,
,
恒过,且关于对称,
方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和,
根据对称性及解析式画出图象如下:
由图像可知,有5个交点,其中一个交点横坐标为1,
另外四个,两两分别关于对称,
故五个交点横坐标和为,
即所有根之和5.
故答案为:5
14．二
【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限.
【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，
即，此时，
由于由向下平移五个单位得到，且过点，
由此可知不过第二象限，
故答案为：二.
15．①④
【分析】根据奇偶性的定义可知①正确；由可知②错误；由指数型复合函数值域的求解方法可知③错误；由复合函数定义域的求解方法可知④正确.
【详解】①由得： 函数可化为
函数为定义在上的奇函数
则①正确；
②函数为奇函数，但不过平面直角坐标系的原点，则②错误；
③的值域为 的值域为
即的值域为，则③错误；
④由的定义域可得：，解得：
的定义域为，则④正确.
故答案为：①④
【点睛】本题考查函数定义域、值域和性质相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性的判定与性质、指数型复合函数值域的求解、复合函数定义域的求解方法等知识；考查学生对于函数部分知识的综合掌握程度.
16．
【分析】由新定义转化为不等式恒成立，再转化为求函数最值可得．
【详解】由题意在上恒成立，，
设，则，当时，，递增，当时，，递减，所以，又，，所以，所以，解得．
故答案为：
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为不等式恒成立问题，再变形后转化为求函数的最值．
17．(1) (2)或
【分析】(1)根据“”是“”的充分不必要条件得出真包含于可求解;
(2)分类讨论结合集合的数轴表示可求的取值范围.
【详解】（1）由题意， ，即，解得，
所以.
由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，
则，且等号不能同时取到，解得.，
故的取值范围为
（2）当时，得，即，符合题意.
当时，得，即.
由，得或，解得或，
所以或.
综上所述，的取值范围为或.
18．(1) (2) (3)
【分析】（1）设，根据，求得，由，函数关于对称，再根据方程有相等的实数根判别式为0，即可得解；
（2）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解：
（3）根据二次函数的性质求解最值，进而根据基本不等式即可求解.
【详解】（1）设，由，得，
因为，所以函数关于对称，即，所以，
又方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根，
则，解得，所以，所以；
（2）的对称轴为，由于在区间 不单调，所以，解得，
所以实数的取值范围为
（3）由于的对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，分别取最小值和最大值，所以 ，故，进而，由于，所以，当且仅当时，取等号，
所以，
故的最小值为
19．（1）答案见解析；（2）存在，.
【分析】（1）求导得，定义域为，令，然后结合二次函数的性质，分和两类讨论（或与0的大小关系即可得解．
（2）由（1）可知，，，；原问题等价于恒成立；而，，于是构造函数，，只需满足，于是再利用导数求出在上的最小值即可．
【详解】解：（1），定义域为
所以，
令，对于方程，，
①当时，，的两个根
为，且
在和上；在上，
所以函数的单调增区间为和；
单调减区间为，
②当时，，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间
（2）由（1）知，若有两个极值点，则，
又，是的两个根，则，
所以：，，
恒成立
由（1）知，，∴
令，，只要即可；
，令则，，令，则，
所以在上单调递减；在上单调递增．
，
所以存在，使得恒成立．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题，且要求熟练掌握二次函数的性质，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）取中点，连接、，即可证明，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图，取中点，连接、，根据题意，因为点为中点，
所以且，又因为四边形为矩形，为的中点，
所以且
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
显然二面角为锐二面角，设其平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为.
21．(1)；(2)表格见解析，有；(3)分布列见解析，2．
【分析】（1）根据频率和为1，列方程求出a的值；
（2）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出能有90%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由晋级失败的频率估计概率，得，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．
【详解】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知，解得．
（2）由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为，
填表如下：
晋级情况性别 晋级成功 晋级失败 总计
男 16 34 50
女 9 41 50
总计 25 75 100
所以，
所以有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关．
（3）由（2）知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，
易知，
故，
，
，
，
．
所以的分布列为
0 1 2 3 4
（或)．
22．(1) (2)
【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值；
分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，
，
因此的取值范围是
