2023-2024学年四川省宜宾市叙州区龙文学校九年级（上）第一次半月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如果代数式有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.用配方法解方程，下列配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为( )
A. B. C. D. 不确定
5.已知，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.解方程；；；较简便的方法是( )
A. 依次为：直接开平方法、公式法、因式分解法
B. 依次为：因式分解法、公式法、配方法
C. 依次为：直接开平方法、因式分解法、因式分解法
D. 依次为：公式法，公式法，因式分解法
7.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
8.某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是( )
A. B.
C. D.
9.已知，为一元二次方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知，则化简二次根式的结果是( )
A. B. C. D.
11.已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
12.设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论，则正确结论的个数是( )
；；．
A. B. C. D. 无法确定
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. ______ ．
14.实数、在数轴上的位置如图所示，化简______．
15.关于的方程的一根是，则另一根是______ ， ______ ．
16.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．如果全班有名同学，根据题意，列出方程为______．
17.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则的值______ ．
18.如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，且恰为线段的中点，连结若，则的值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
解方程：
；
；
用配方法；
．
21.本小题分
已知，，试求的值．
22.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
现将进货为元的商品按元售出时，就能卖出件已知这批商品每件涨价元，其销售量将减少个．
为了赚取元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？
若公司想利润最大化应该如何定价？最大利润是多少？
24.本小题分
阅读材料：各类方程的解法
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程
的解．
问题：方程的解是，______，______；
拓展：用“转化”思想求方程的解．
25.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发以每秒的速度沿向点匀速运动，到达点后返回点，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．
当时，直接写出，两点间的距离．
是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的加减法以及二次根式的化简，掌握二次根式的加减运算法则、灵活运用二次根式的性质：是解题的关键．
根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质把各个选项进行计算，判断即可．
【解答】
解：，A正确；
，B错误；
不能合并，C错误；
，D错误，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
【解答】
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到
配方得．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：，
而最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故选：．
先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到的值．
本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查算术平方根的非负性，解答本题的关键是求出和的值．
首先根据算术平方根的非负性求出的值，然后代入式子求出的值，最后求出的值．
【解答】
解：要使二次根式有意义，则
解得，
故，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：利用直接开平方法解方程；
利用公式法解方程；
利用因式分解法解方程；
利用因式分解法解方程．
故选：．
根据方程的特征灵活选用适当的方法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．解之即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
解得：且．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：依题意得八、九月份的产量为、，
．
故选：．
主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
9.【答案】
【解析】解：、为一元二次方程的两个根，
，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、为一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
10.【答案】
【解析】解：，，
，，
原式．
故选：．
根据二次根式有意义，可知，从而，再由二次根式的性质解答．
本题主要考查了二次根式的定义和性质，难度适中．
11.【答案】
【解析】解：，
根据三角形三边关系，得，，
，
该方程没有实数根．
故选：．
求出，只要说明这个式子的值的符号，问题可求解．根据三角形的三边关系即可判断．
本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对进行因式分解．
12.【答案】
【解析】解：方程中，
正确；
，
正确；
，即，
，
，
错误；
其中正确结论个数有个；
故选：．
可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；
根据两根之积就可以判定是否正确；
利用根与系数的关系可以求出的值，然后也可以判定是否正确．
本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式的关系，及一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为，，则，，反过来也成立，即，．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
．
故本题答案为：．
由数轴可知，，，根据二次根式的性质，化简计算．
本题考查了二次根式的性质与化简．关键是根据数轴判断被开方数中底数的符号．
15.【答案】
【解析】解：设方程的另一根为，则
，，
解得，．
故答案为：，．
利用根与系数的关系即可求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
16.【答案】
【解析】解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故答案为：．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
设方程的两个分别为、，
，，
，
，
即，
整理得，
解得，，
，
的值为．
故答案为：．
先根号根的判别式的意义确定，设方程的两个分别为、，根据根与系数的关系得到，，由于，所以，然后解关于的方程，最后利用的取值范围确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，也考查了根与系数的关系．
18.【答案】
【解析】解：设点坐标为，点坐标为，
恰为线段的中点，
点坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
设点坐标为，点坐标为，根据线段中点坐标公式得到点坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，得到，然后根据三角形面积公式得到，于是可计算出．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据二次根式的乘法和除法法则、完全平方公式和绝对值的意义计算，然后合并即可；
先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
整理得：，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
．
【解析】利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程公式法，配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解：，，
，，
．
【解析】根据分母有理化分别把、化简，把原式利用完全平方公式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘除法法则、加减法法则是解题的关键．
22.【答案】解：原方程有两个实数根，
，
，
．
当时，原方程有两个实数根．
假设存在实数使得成立．
，是原方程的两根，
由，
得
，整理得：，
只有当时，上式才能成立．
又由知，
不存在实数使得成立．
【解析】根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式，据此列出关于的不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围；
假设存在实数使得成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式，通过解不等式可以求得的值．
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
23.【答案】解：设售价为元，总利润为元，则，
当时，，
解得：，，
当时，进货个；
当时，进货个；
，
函数有最大值，
当时，最大，
即定价为元时可获得最大利润．
【解析】根据售价减去进价表示出实际的利润；
由利润售价进价销售量，列出方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价元，其销售量就减少个”．
24.【答案】 ，
，
，
，
，
解得，，，
经检验，是原无理方程的根，不是原无理方程的根，
即方程的解是．
【解析】解：，
，
，
，，或
解得，，，，
故答案为：，；
见答案．
根据题目中的方程，可以求得方程的根；
根据题目中的方程，两边同时平方转化为有理方程，然后解方程即可，注意，最后要检验，所得的根是否使得原无理方程有意义．
本题考查解无理方程、因式分解法，解答本题的关键是明确解方程的方法，注意无理方程最后要检验．
25.【答案】解：当时，由题意可知：，，
，
，
，
；
，
是等腰三角形时，只有，
由题意可知：，
从点出发以每秒的速度沿向点匀速运动，到达点后返回点，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，
当时，；
当时，；
当时，；
，
，解得：，符合题意；
，解得：，符合题意；
，解得：，符合题意；
综上所述：或或；
假设存在使得的面积等于，
由可知：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；解得：或舍去；
当时，，解得：或舍去；
当时，，因为，故无解，
综上所述，当或时的面积等于．
【解析】求出，，再利用勾股定理即可求出；
因为，所以当是等腰三角形时，只有，表示出，当时，；当时，；当时，；利用，即可求出的值；
由可知：，当时，；当时，；当时，；利用，解关于的方程即可．
本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理解题意，结合图形表示出的值．
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