第十四章 整式的乘法与因式分解综合测试题
一、单选题
1．下列等式，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（1+2y）（1﹣2y）计算正确的是（ ）
A．1﹣2y2 B．1﹣4y2 C．1﹣y2 D．1﹣4y+4y2
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列从左至右的变形是分解因式的是( )
A． B．
C． D．
5．已知a+b=3，ab=2，则 的值是（ ）
A．1 B．4 C．16 D．9
6．下列运算正确的是（ ）
A． · = B．m6÷m2= m3（m≠0）
C． D．（2m+1）（m-1）=2m2-m-1
7．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法：
① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
二、填空题
9．因式分解： ．
10．已知x +y=5 ，xy=6 ，则x2 + y2= .
11．随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客.3月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量之比为 ．为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计4月份三个园区接待的游客总人数在3月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基础上将减少 ．这样4月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的 ，而亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到 ，则亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比是
三、计算题
12．计算：（a+b）（3a-2b）-b（a-b）．
13．化简
（1）（2x2﹣ +3x）﹣4（x﹣x2+ ）
（2） x﹣2（x﹣ ）﹣（﹣ ）
四、解答题
14．已知，，求的值．
15．计算：（6xy2）（﹣2x2y）÷（﹣3y3）
16．已知 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么符合条件的整数k是多少？
五、作图题
17．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：
（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a2+2ab+b2=（a+b）2，验证了完全平方公式；即：多项式 a2+2ab+b2分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．
（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），即：多项式 a2+3ab+2b2分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积．
问题解决：
（1）请你依照小刚的方法，利用拼图写出恒等式a2+4ab+3b2．（画图说明，并写出其结果）
（2）试猜想面积是2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）
六、综合题
18．先分解因式，再求值：
（1）a4﹣4a3b+4a2b2，其中a=8，b=﹣2；
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2，其中a=3.5，b=1.5．
19．认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1： ；方法2： ．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m＋n＝mn＝4，求阴影部分的面积．
20．我们知道形如 的二次三项式可以分解因式为 ，所以 .
但小白在学习中发现，对于 还可以使用以下方法分解因式.
.
这种在二次三项式 中先加上9，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了.
（1）请使用小白发现的方法把 分解因式；
（2）填空：x2-10xy+9y2=x2-10xy+ +9y2- =(x-5y)2-16y2
=（x-5y）2-（ ）2=[（x-5y）+ ][（x-5y）- ]
=（x-y）（x- ）.
（3）请用两种不同方法分解因式 .
七、实践探究题
21．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A.（a-b）2=a2-2ab+b2，故该选项计算错误，
B.（-a2）3=-a6，故该选项计算错误，
C.（a2b）3=a6b3，故该选项计算错误，
D.（-ab3）2=a2b6，故该选项计算正确，
故答案为：D.
【分析】（1）由完全平方公式可得原式=a2-2ab+b2；
（2）由幂的乘方可得原式=-a5；
（3）由积的乘方可得原式=a6b3；
（4）由积的乘方可得原式=a2b6.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式计算即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据多项式与单项式的除法法则可得原式=-4a2÷(-4a2)+12a3b÷(-4a2)，然后结合单项式与单项式的除法法则进行计算.
4．【答案】D
【解析】【分析】把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
【解答】A、是整式的乘法，B、右边括号里面的不是整式，所以不是因式分解，C、没有写成几个整式的积的形式，故错误；
D、符合因式分解的定义，本选项正确.
选D
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握因式分解的定义，即可完成.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a+b=-3，ab=2，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=a2+b2+2ab-4ab=（a+b）2-4ab=（-3）2-4×2=9-8=1.
故答案为：A.
【分析】利用完全平方公式对待求式进行变形得(a-b)2=(a+b)2-4ab，然后将已知条件代入进行计算.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，该选项不符合题意；
B、 ，该选项不符合题意；
C、 ，该选项不符合题意；
D、( ，该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方及多项式乘多项式的计算法则逐项判断即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是2的最佳分解，
∴ ，即①正确；
∵ ， ， ， ， ，
∴ 是48的最佳分解，
∴ ，即②错误；
∵ ，
∴ ，即③正确；
若 是一个完全平方数，则设 （ 是正整数），
∴ ，即④正确；
综上所述，①③④正确，共三个，
故答案为：B.
【分析】分别将①②③④中的数或式子进行分解，根据最佳分解的定义进行判断即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用整式的加减法先算出a-b，a-c及b-c的值，进而将待求式子前三项拆项后分为三组，每组利用完全平方公式分解因式，然后整体代入计算即可.
9．【答案】2a（a+2b）（a-2b）
【解析】【解答】解：．
故答案为：2a（a+2b）（a-2b）.
【分析】先提取公因式2a，再利用平方差公式因式分解即可。
10．【答案】13
【解析】【解答】解：由题可知：
，
∵x +y=5 ，xy=6 ，
∴原式.
故答案为：13.
【分析】运用完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后将已知条件代入进行计算.
11．【答案】
【解析】【解答】解：设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，
则4月多彩植物园的游客人数为3a（1- ）=2a，
∴4月接待总人数为2a÷ =14a，
∴4月亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量为12a，
设4月亲子游乐园人数为m，则劳动体验园人数为12a-m，
由题意可得： ，
解得： ，
∴4月亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比为：
= ，
故答案为： ．
【分析】设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，求出4月多彩植物园的人数，得到4月接待总人数，设4月亲子游乐园人数为m，根据4月亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3：2，得到 ，再根据题意求出比值．
12．【答案】解：原式=3a2-2ab+3ab-2b2-ab+b2
=3a2-b2
【解析】【分析】根据整式的混合运算法则，先算整式的乘法，再进行合并同类项，即可得到答案.
13．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）原式先去括号，再合并同类项即可。（2）原式先去括号，再合并同类项即可。
14．【答案】解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可。
15．【答案】解：（6xy2）（﹣2x2y）÷（﹣3y3）
=﹣12x3y3÷（﹣3y3）
=4x3．
【解析】【分析】首先根据单项式乘以单项式的方法，求出算式（6xy2）（﹣2x2y）的值是多少；然后根据单项式除以单项式的运算方法，求出算式（6xy2）（﹣2x2y）÷（﹣3y3）的值是多少即可．
16．【答案】解：当-12=1×（-12）时，k=-11，
当-12=2×（-6）时，k=-4，
当-12=3×（-4）时，k=-1，
当-12=4×（-3）时，k=1，
当-12=6×（-2）时，k=4，
当-12=12×（-1）时，k=11．
∴符合条件的整数k是：-1，-4，-11，1，4，11.
【解析】【分析】把-12分解成两个整数的积，可以是-12=1×（-12）=2×（-6）=3×（-4）=4×（-3）=6×（-2）=12×（-1），确定有6个符合条件的整数．
17．【答案】解：a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b），
图形如下：
（2）2a2+5ab+3b2的=（a+b）（2a+3b），所画图形如下：
【解析】【解答】（1）先将a2+4ab+3b2分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
（2）将2a2+5ab+3b2然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
【分析】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
18．【答案】（1）解：原式=a2（a2﹣4ab+4b2）
=a2（a﹣2b）2，
当a=8，b=﹣2时，原式=82×[8﹣2×（﹣2）]2=9216
（2）解：原式=（a2+b2+2ab）（a2﹣b2﹣2ab）
=（a+b）2（a﹣b）2，
当a=3.5，b=1.5时，原式=（3.5+1.5）2×（3.5﹣1.5）2=100．
【解析】【分析】（1）先提公因式a2，再利用完全平方公式分解得到原式=a2（a﹣2b）2，然后把a与b的值代入计算即可；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解得到原式=（a+b）2（a﹣b）2，然后把a与b的值代入计算即可．
19．【答案】（1）a2＋b2；（a＋b）2－2ab
（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab
（3）解：阴影部分的面积
，
阴影部分的面积
，
，
阴影部分的面积
，
答：阴影部分面积为2．
【解析】【解答】解：（1）阴影部分面积可表示为两个正方形面积的和，即；
阴影部分面积也可表示为大正方形面积减去两个矩形面积，即，
故答案为：，；
（2）阴影部分面积相等，即得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
（2）根据（1）的结果可得；
（3）先表示出阴影部分的面积，再将代入计算即可。
20．【答案】（1）解：
=
=
=
=
= ；
（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y
（3）解法1：原式 .
解法2：原式
.
【解析】【解答】解：（2）解：
=
=
=
=
=（x-y）（x-9y）
故答案为： ； ； ； ； ； ；
【分析】（1）在 上加16减去16，仿照小白的解法，先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）在原多项式上加 再减去 ，仿照小白的解法解答；
（3）将 分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加 再减去 仿照小白的解法解答.
21．【答案】（1）解：∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0，
∴（x+y）2+（y+1）2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y=﹣1，
∴2x+y=2×1+（﹣1）=1
（2）解：∵a﹣b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c2﹣6c+13=0，得
b2+4b+c2﹣6c+13=0，
∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=0，
∴（b+2）2+（c﹣3）2=0，
∴b+2=0，c﹣3=0，
解得，b=﹣2，c=3，
∴a=b+4=﹣2+4=2，
∴a+b+c=2﹣2+3=3
【解析】【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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