人教A版（2019）必修第一册4.5.2用二分法求方程的近似解
（共18题）
一、选择题（共10题）
下列给出的四个函数 的图象中能使函数 没有零点的是
A． B．
C． D．
下面关于二分法的叙述，正确的是
A．用二分法可以求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数的零点时才用二分法
二次函数 的部分对应值如下表：
不求 、 、 的值，可以判断方程 的两根所在的区间是
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
已知函数 ，用二分法求方程 在 内近似解的过程中，取区间中点 ，那么下一个有根区间为
A． B．
C． 或 都可以 D．不能确定
下列函数中能用二分法求零点的是
A． B．
C． D．
若函数 只有两个零点，则
A． B． C． D． 或
在用“二分法”求函数 零点近似值时，第一次所取的区间是 ，则第三次所取的区间是
A． B． C． D．
函数 ，若 ，，则 在 上零点的个数为
A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有
若函数 在 上有零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
设实数 ， 是函数 的两个零点，则
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：若方程 有一个根位于区间 （ 在表格中第一栏里的数据中取值），则 的值为 ．
已知函数 ，当 时，，若在区间 内， 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 ．
已知 表示不超过实数 的最大整数，如 ，， 为取整函数， 是方程 的解，则 ．
某同学在借助计算器求方程 的近似解（精确度为 ）时，设 ，算得 ，，他用二分法又取了 个 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 ．那么他再取的 个 的值依次是 ．
三、解答题（共4题）
利用信息技术，用二分法求方程 的近似解（精确度为 ）．
已知函数 ，．
(1) 若函数 的图象与 轴无交点，求 的取值范围．
(2) 若方程 在区间 上存在实根，求 的取值范围；
(3) 设函数 ，，当 时，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围．
已知函数 ．
(1) 为何值时，函数的图象与 轴有两个交点？
(2) 如果函数的一个零点在原点，求 的值．
已知函数 ．
(1) 证明 在 上是增函数；
(2) 当 时，方程 的根在区间 内，求 ．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
2. 【答案】B
【解析】只有函数的图象在零点附近连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数零点的近似值，所以A错；二分法是有规律可循的，可以用计算来进行，所以C错；求方程的近似值也可以用二分法，所以D错．故选B．
3. 【答案】A
【解析】因为 ，
4. 【答案】A
5. 【答案】C
【解析】在A和D中，函数虽有零点，但在零点左右函数值同号，因此它们都不能用二分法求零点；
在B中，函数无零点；
在C中，函数图象是连续不断的，且图象与 轴有交点，并且其零点左右函数值异号，所以C中的函数能用二分法求零点．
6. 【答案】D
【解析】令 ，，由题意即要求两函数图象有两个交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D．
7. 【答案】D
8. 【答案】C
9. 【答案】A
【解析】 ，即 ，即函数 的图象与直线 在 上有公共点，直线 过定点 且斜率为 ，如图所示：
曲线 在 上的两个端点与点 连线的斜率分别为 ，，结合图象分析可知 ．
故选A．
10. 【答案】A
【解析】令 ，
所以 ，
所以函数 的零点是上面方程的解，即是函数 和函数 的交点的横坐标，
画出这两个函数图象如图所示：
由图看出 ，，
所以 ，，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
二、填空题（共4题）
11. 【答案】 或
【解析】令 ，由表中的数据可得 ，，，，
所以根在区间 与 内，
所以 或 ．
12. 【答案】
【解析】由当 时，，
当 ，可得 ，
从而得到当 时，．
由 ，得 ，作出函数 在 上的大致图象如图所示：
根据 的几何意义，直线 和图中直线位置为 表示直线的临界位置，当直线经过点 可得 ，因此直线的斜率 的取值范围是 ．
13. 【答案】
【解析】设 ，，
由 在 递增，且 ，
，可得 ，
即有 在 存在零点，即 ，．
14. 【答案】 ，，，
【解析】第一次用二分法计算得区间 ，
第二次得区间 ，
第三次得区间 ，
第四次得区间 ．
三、解答题（共4题）
15. 【答案】设函数 ，用信息技术作出函数 的图象（略），它在 内与 轴有交点．因为 ，，则 ，函数 在 内至少有一个零点．因为函数 在 上是减函数，所以它在 内只有一个零点．用二分法可得方程 的近似解可取为 ．
16. 【答案】
(1) 若函数 的图象与 轴无交点，
则方程 的根的判别式 ，即 ，
解得 ．
故 的取值范围为 ．
(2) 因为函数 的图象的对称轴是直线 ，
所以 在 上是减函数．
又 在 上存在零点，
所以 即 解得 ．
故 的取值范围为 ．
(3) 若对任意的 ，总存在 ，使得 ，
则函数 在 上的函数值的取值集合是函数 在 上的函数值的取值集合的子集．
当 时，函数 图象的对称轴是直线 ，
所以 在 上的函数值的取值集合为 ．
①当 时，，不符合题意，舍去．
②当 时， 在 上的值域为 ，
只需 解得 ．
③当 时， 在 上的值域为 ，
只需 解得 ．
综上， 或 ．
17. 【答案】
(1) 因为函数的图象与 轴有两个交点，
所以 即
整理，得
即当 ，且 时，函数的图象与 轴有两个交点．
(2) 因为函数的一个零点在原点，即点 在函数 的图象上，
所以 ，即 ．
所以 ．
18. 【答案】
(1) 因为 ，设 ，则
因为 ，且 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 为增函数．
(2) 令 ，
当 时，由（）知，函数 是 上的增函数，
所以函数 是 上的增函数且连续，
又 ，，
所以函数 的零点在区间 内，即方程 的根在区间 内，
所以 ．
