第十三章检测题（后附答案）
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1． 下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
2．已知，点M(a，2)，B(3，b)关于x轴对称，则a＋b＝( )
A．－5 B．－1 C．1 D．5
3． 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( )
A．AM＝BM B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
第3题图 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
5． 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( )
A．23° B．25° C．27° D．30°
6．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )
A．60° B．65° C．75° D．80°
第6题图
第7题图
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( )
A．10 B．8 C．6 D．4
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
9．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是△ABC的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是( )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a
10．如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°－α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°－2α，其中正确的是( )
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．点A(－2，3)关于y轴对称的点A′的坐标为_ _．
12．已知等腰三角形的一个底角为55°，则它的顶角为__ __度．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠DAC∶∠DAB＝1∶2，那么∠BAC＝__ _度．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图)) 第14题图
第15题图
如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝__ __．
如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是__ _．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长．
17．(9分)如图，已知直线l及其两侧两点A，B.按下列要求作图：
(1)在直线l上求一点O，使点O到A，B两点距离之和最短；
(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；
(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
18．(9分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0，1)，B(2，0)，C(4，3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
(2)△ABC的面积是________；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(题图))
19．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF.
20．(9分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上.
(1)在直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为__ _；
(3)如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是_ _．
21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，点E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)若AB＝2，求四边形AEDF的周长．
22．(10分)如图，已知AE⊥FE，垂足为点E，且E是DC的中点．
(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为点C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的平分线吗？(不必说明理由)
(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．
23．(11分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)若设AP＝x，则CP＝__ _，QC＝__ _；(用含x的式子表示)
(2)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
答案：
第十三章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
1．下列交通标志中，是轴对称图形的是( D )
2．( C )
3．( B )
4．( A )
5．( B )
6．( D )
7．( A )
8．( C )
9．( B )
10．( C )
11．__(2，3)__．
12．__70__度．
13．__54__度．
14．∠2＝__40°__．
15．__14__．
【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′.∵∠CMD＝120°，∴∠AMC＋∠DMB＝60°，∴∠CMA′＋∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形，∵CD≤CA′＋A′B′＋B′D＝CA＋AM＋BD＝2＋4＋8＝14，∴CD的最大值为14
16．
解：连接AE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°，∵直线ED是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝6，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝90°，∴BE＝2AE＝12，∴线段BE的长为12
17．(9分)如图，已知直线l及其两侧两点A，B.按下列要求作图：
(1)在直线l上求一点O，使点O到A，B两点距离之和最短；
(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；
(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
解：图略 (1)连接AB与l的交点O即为所求 (2)作AB的垂直平分线，与l的交点P即为所求 (3)作点B关于l的对称点B′，作直线AB′与l的交点Q即为所求
18．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(答图))
解：(1)如图，△ABC和△DEF即为所求 (2)△ABC的面积＝4×3－×2×1－×2×3－×2×4＝4，故答案为：4 (3)设点P的坐标为(t，0)，∵△ABP的面积为4，∴×|t－2|×1＝4，解得t＝－6或10，∴点P的坐标为(－6，0)或(10，0)
19．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠BFE＝∠DFA，∴∠D＝∠DFA，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形
(2)过A作AH⊥DE于H，∵DE⊥BC，∴∠AHF＝∠BEF＝90°，由(1)知，AD＝AF，∴DH＝FH，在△AFH和△BFE中，∴△AFH≌△BFE(AAS)，∴FH＝EF，∴DH＝FH＝EF，∴DF＝2EF
20．(9分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上.
(1)在直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为__(－5，3)__；
(3)如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是__(0，3)或(5，－1)或(0，－1)__．
解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求，A′(1，－1)，B′(4，－1)，C′(5，－3)
(2)∵点P与点C关于y轴对称，C(5，3)，∴点P的坐标为(－5，3)；故答案为：(－5，3)
(3)要使△ABD与△ABC全等，则点D的坐标是(0，3)或(5，－1)或(0，－1).故答案为：(0，3)或(5，－1)或(0，－1)
21.
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD是BC边的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＝60°，AD＝AB.又由题意，知AE＝AB，∴AE＝AD.∴△ADE是等边三角形 (2)由(1)证得△ADE是等边三角形，同理，△ADF是等边三角形．∴AE＝AF＝AD＝DE＝DF.∵AE＝AB＝1，∴四边形AEDF的周长是4
22．
解：(1)AE是∠FAD的角平分线 (2)成立．理由如下：延长FE交AD的延长线于G.∵E为CD的中点，∴CE＝DE.易证△CEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG.∵AE⊥FG，∴AF＝AG，∴AE是∠FAD的平分线
23．(11分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)若设AP＝x，则CP＝__6－x__，QC＝__6＋x__；(用含x的式子表示)
(2)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
解：(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.∴PC＝QC，即6－x＝(6＋x)，解得x＝2.∴AP＝2 (3)线段DE的长不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交AB的延长线于点F.又∵PE⊥AB，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°.
∵点P，Q速度相同，∴AP＝BQ.在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF(AAS).∴AE＝BF，PE＝QF.又∵∠DEP＝∠DFQ＝90°，∠PDE＝∠QDF，∴△PDE≌△QDF(AAS).∴DE＝DF＝DB＋BF＝DB＋AE.∴DE＝AB.又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3.∴运动过程中线段DE的长不会改变
