鄄城县2023-2024学年高二上学期9月月考
数学试题
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线的倾斜角的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知A、B为圆上关于点对称的两点，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．1
5．已知点和圆C：，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是（ ）
A． B．8 C． D．10
6．方程的曲线形状是（ ）
A． B． C． D．
7．直线与圆轴交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．过点引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分．）
9．已知平面上—点M(5,0)，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，点为圆内一点，直线m是以点M为中点的弦所在直线，直线l的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．l与圆相交 D．l与圆相离
11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为．若直线上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．-2
12．已知圆：，圆：交于不同的，两点，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知圆C：（a为实数）上任意一点关于直线l：的对称点都在圆C上，则______．
14．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道（单行道），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过______米．
15．设点，，若直线与线段AB没有交点，则a的取值范围是______．
16．在中，，，，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A，B，O的距离的平方和的最大值是______，最小值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知点是圆内的定点，B，C是这个圆上．的两个动点，若，求BC中点M的轨迹方程．并说明它的轨迹是什么曲线．
18．（本小题满分12）已知直线l：．
（1）证明；直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程．
19．（本小题满分12分）有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
20．（本小题满分12分）已知圆C：，直线l过定点．
（1）若l与圆C相切，求l的方程；
（2）若l与圆C相交于P、Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．（其中点C是圆C的圆心）
21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆心C在直线上的圆C经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆C相交所得的弦长为4．
（1）求圆C的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过x轴反射，反射光线刚好通过圆C的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）．
22．（本小题满分12分）已知点是圆O：内一点，直线l：．
（1）若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程；
（2）若过点作圆O的两条互相垂直的弦EF，GH，求四边形EGFH的面积的最大值；
（3）若，Q是l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D．证明：直线CD过定点．
高二数学参考答案
1．A 直线的斜率为，故，∵，∴．
2．D ∵点在圆上，∴点P为切点．从而圆心与点P的连线应与切线垂直．又圆心为，设切线斜率为k，∴，解得．∴切线方程为．
3．C 记圆心为，由题意，，∴，又∵直线AB过点，∴直线AB的方程为，即，故选A．
4．C 直线过定点，所以点到直线的距离最大时PQ垂直于直线，即，所以，故选C．
5．D 易知点A关于x轴时称点，与圆心的距离为8=10．故所求最短路程为．
6．C 由可得或，它表示直线和圆在直线右上方的部分．
7．A 圆心的坐标为，且圆与x轴相切．当时，弦心距最大，由点到直线的距离公式得，解得．
8．B 曲线的图象如图所示：
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率，设l：，则点O到l的距离
又，当且仅当时，取得最大值．所以，∴，∴．故选B．
9．BC 所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．
A．因为，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”；
B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；
C．因为，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；
D．因为，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”．
10．AD 因为，∴直线m的方程为，即，∵M在圆内，∴，∴．又圆心到l距离为，∴l与圆相离．
11．BCD 圆C的方程可化为，过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以点P，圆心C以及两切点构成正方形，所以．
∵P在直线上，∴圆心到该直线的距离，计算得．
对照选项，知BCD均有可能．
12．ABC 由题意，由圆的方程可化为：
两圆的方程相减可得直线AB的方程为：，即，
分别把，两点代入可得：，
两式相减可得，即，所以选项A、B正确；
由圆的性质可得，线段AB与线段互相平分，所以，．
所以选项C正确，选项D不正确．
13．解析 由题意可知，直线过圆心，所以，．
答案 -2
14．解析 如图是卡车在隧道内的截面图，由题意知米，米，则车高（米）．
答案 3.5
15．解析 如图，直线恒过点，，，故，即．
答案
16．解析 如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则，，内切C的半径．
∴圆心坐标为．∴内切圆C的方程为．
设为圆C上任一点，点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，
则
．
∵点在圆上，∴．
∴．
∵点是圆C上的任意点，∴．
∴当时，；当时，．
答案 88 72
17．解 设点，∵M是弦BC的中点，∴．
又，∴．
∵，∴，即，化简为，M的轨迹方程为即．
∴所求轨迹为以为圆心，为半径的圆．
18．解 （1）证明：直线l的方程可化为，
令解得∴无论k取何值，直线总经过定点．
（2）由题意可知，再由l的方程，得，．
依题意得解得．
∵，
“=”成立的条件是且，即，∴，此时直线l的方程为．
19．解 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设，则．在坐标平面内任取一点，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P地的运费为a元/千米．
若P地居民选择在A地购买此商品，则，
整理得，
即点P在圆C：的内部．
也就是说，圆C内的居民应在A地购物，
同理可推得圆C外的居民应在B地购物，
圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．
20．解 （1）直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l和圆C相切，直线l斜率存在时，设方程为，即，得用圆心到直线的距离等于半径得：，解得，直线方程为，故所求直线方程为或．
（2）面积最大时，，，即是等腰直角三角形，由半径得：圆心到直线的距离为，设直线l的方程为：，即，，解得或1，所以所求的直线方程为或．
21．解：（1）设圆C的方程为，
因为圆心C在直线上，所以有，①
又因为圆C经过点，所以有，
而圆心到直线的距离为，②
由弦长为4，所以弦心距，所以，③
联立①②③，解得或
又因为通过坐标原点，所以舍去．
所以所求圆的方程为：，
化为一般方程为：．
（2）点关于x轴的对称点N的坐标为，反射光线所在的直线即为NC，又因为点C的坐标为，所以反射光线所在的直线方程为：，
所以反射光线所在的直线方程的一般式为．
22．解 （1）由题意知，∴，∵，∴，因此弦AB所在直线方程为，即．
（2）设点O到直线EF、GH的距离分别为，，则，，
．
∴
，
当时取等号．
（3）证明：由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上，设，
则该圆的方程为，即：．
又C、D在圆O：上，所以直线CD的方程为，
即，由得
所以直线CD过定点．
