云南民族大学附中2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则（ ）
A．a＜﹣1 B．a≤﹣1 C．a＞﹣1 D．a≥﹣1
3．（3分）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
6．（3分）云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2022年花卉产值达到1400万元．设2021和2022年花卉产值的年平均增长率均为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）＝1400
B．1000（1+2x）＝1400
C．1000（1+x）2＝1400
D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1400
7．（3分）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D．函数的最小值为﹣9
8．（3分）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
9．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣25
10．（3分）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤19（ ）
A．1554 B．1556 C．1558 D．1560
11．（3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，下列说法正确的是（ ）
A．篮球出手时离地面的高度是2m
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．此抛物线的解析式是
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，下列结论：
①abc＞0；
②a+2b＝0；
③a﹣b+c＞0；
④若P（﹣4，y1），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y1＝y2．
正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式是 ．
14．（2分）已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ ．
15．（2分）如图，用长度为32米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）2的长方形花圃．若设BC的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程，该方程的一般形式为 ．
16．（2分）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）3x2﹣8x+4＝0．
18．（6分）已知关于x的方程x2﹣4x+2k+1＝0．
（1）k取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，且x2﹣2x1﹣2x2+9＝0，求k的值．
19．（6分）加强劳动教育，落实五育并举．为培养学生的劳动实践能力，学校计划在长为12m．宽为9m的矩形土地正中间建一座矩形的劳动实践大棚2．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为多少米？
20．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若y＜0时，则x的取值范围为 ．
21．（6分）用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
22．（7分）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
（1）x4﹣3x2﹣4＝0；
（2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
23．（9分）傣族泼水节是流行于云南省傣族人民聚居地的传统节日，是国家级非物质文化遗产之一，又名“浴佛节”．泼水节临近，进价为每个8元，在销售过程中发现（件）与售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），每天的销售量为105个；当每个塑料脸盆的售价是11元时
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售该品牌塑料脸盆每天获得425元的利润，则每个塑料脸盆的售价为多少元？
（3）设该商店销售该品牌塑料脸盆每天获利w（元），当每个塑料脸盆的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△PAO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】利用一元二次方程根的定义把x＝﹣1代入方程可得到a﹣b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣2＝0得a﹣b﹣1＝2，
所以a﹣b＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则（ ）
A．a＜﹣1 B．a≤﹣1 C．a＞﹣1 D．a≥﹣1
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣7×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
3．（3分）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即，，即可解答．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+5x﹣7＝0的两根分别为x8，x2，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
4．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．
【解答】解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y＝0时2﹣7x+1＝0解的个数，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×3×1＝0，
∴此方程有两个相同的根，
∴二次函数y＝x7﹣2x+1的图象与x轴有一个交点．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，掌握两者之间的关系是解题的关键．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝3，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x5﹣2x+1＝3
∴（x﹣1）2＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．（3分）云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2022年花卉产值达到1400万元．设2021和2022年花卉产值的年平均增长率均为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）＝1400
B．1000（1+2x）＝1400
C．1000（1+x）2＝1400
D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1400
【分析】根据题意得到关系式为：2020年花卉产值×（1+年平均增长率）2＝2022年花卉产值，把相关数值代入求得合适的解即可．
【解答】解：根据题意得1000（1+x）2＝1400，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（3分）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D．函数的最小值为﹣9
【分析】将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答．
【解答】解：A、∵二次函数y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣8，∴图象的对称轴x＝﹣1，不符合题意；
B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，∴B不正确；
C、∵y＝x6+2x﹣8＝（x+6）（x﹣2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，5），不符合题意；
D、∵二次函数y＝x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣2，顶点坐标为（﹣1，a＝1＞4，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法．y＝（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）；a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
8．（3分）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．
【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣4），
∴二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣6，
把（0，3）代入得a＝8，
所以y＝（x﹣2）2﹣5．
故选：C．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k．
9．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣25
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣4
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
10．（3分）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤19（ ）
A．1554 B．1556 C．1558 D．1560
【分析】由当x＜20时，y随x的增大而增大，由x的取值范围利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴当x＜20时，y随x的增大而增大，
∵15≤x≤19，
∴当x＝19时，y取得最大值4+1558＝1556，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
11．（3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，下列说法正确的是（ ）
A．篮球出手时离地面的高度是2m
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．此抛物线的解析式是
【分析】先根据题意求出函数解析式，再根据图象和解析式逐一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3.4），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.3．
∵篮圈中心（1.5，5.05）在抛物线上，得 3.05＝a×1.52+3.4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2.5．
故D正确；
当x＝﹣2.5时，y＝﹣3+3.5＝3.25，
∴球出手处离地面2.25m，
故A错误；
由图示知，篮圈中心的坐标是（1.3，
故B错误；
由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，
故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，下列结论：
①abc＞0；
②a+2b＝0；
③a﹣b+c＞0；
④若P（﹣4，y1），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y1＝y2．
正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及对称性逐个进行判断即可．
【解答】解：抛物线开口向上得a＞0，对称轴在y轴的右侧，a，因此b＜0，因此c＜8，因此①符合题意；
由﹣＝2，所以a+5b＝﹣7a＜0；
由对称轴和抛物线的对称性，可得当x＝﹣7时，即a﹣b+c＞0；
由对称轴和抛物线的对称性，可得P（﹣4，y5），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y7＝y2．因此④符合题意；
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，掌握抛物线的图象与a、b、c的关系是正确判断的前提．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式是 y＝5（x+2）2+3 ．
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝5x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：y＝5（x+2）2+3；
故答案为：y＝7（x+2）2+5．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移，正确记忆图形平移规律是解题关键．
14．（2分）已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ 1 ．
【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，
∴，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．
15．（2分）如图，用长度为32米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）2的长方形花圃．若设BC的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程，该方程的一般形式为 x2﹣32x+240＝0 ．
【分析】根据矩形的面积公式列出方程即可．
【解答】解：依题意得：（32﹣x）x＝120，
整理，得
x8﹣32x+240＝0．
故答案为：x2﹣32x+240＝3．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和一元二次方程的一般形式．在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
16．（2分）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的周长为 19或21或23 ．
【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
【解答】解：由方程x2﹣8x+15＝8得：（x﹣3）（x﹣5）＝3，
∴x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝3或x＝5，
当等腰三角形的三边长为9、9、2时；
当等腰三角形的三边长为9、9、8时；
当等腰三角形的三边长为9、3、5时，不符合三角形三边关系定理；
当等腰三角形的三边长为9、5、4时；
综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，
故答案为：19或21或23．
【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）3x2﹣8x+4＝0．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用因式分解法求解．
【解答】解：（1）∵x2+6x﹣3＝0，
∴x2+8x＝7，
则x2+6x+9＝7+3，即（x+3）2＝16，
∴x+6＝4或x+3＝﹣6，
解得x1＝1，x5＝﹣7；
（2）3x5﹣8x+4＝6，
（3x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝4，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（6分）已知关于x的方程x2﹣4x+2k+1＝0．
（1）k取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，且x2﹣2x1﹣2x2+9＝0，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式大于等于0，求出k的范围即可；
（2）利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴（﹣4）2﹣7×1×（2k+7）≥0，
16﹣8k﹣2≥0，
解得：k≤；
（2）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴x2+x2＝4，
∵x5﹣2x1﹣8x2+9＝4，
∴x2﹣2（x3+x2）+9＝5，
∴x2﹣2×6+9＝0，
∴x5＝﹣1，
∵x1+x6＝4，
∴x1＝2，
∵x1 x2＝2k+1，
∴﹣1×8＝2k+1，
解得：k＝﹣3．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
19．（6分）加强劳动教育，落实五育并举．为培养学生的劳动实践能力，学校计划在长为12m．宽为9m的矩形土地正中间建一座矩形的劳动实践大棚2．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为多少米？
【分析】设这个宽度应设计为xm，则矩形大棚的长为（12﹣2x）m，宽为（9﹣2x）m，根据大棚的面积为88m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设这个宽度应设计为xm，则矩形大棚的长为（12﹣2x）m，
由题意得：（12﹣2x）（6﹣2x）＝88，
解得x＝0.8或x＝10，
因为当x＝10时，12﹣2x＝﹣8＜4，舍去，
所以这个宽度应设计为0.5m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若y＜0时，则x的取值范围为 x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据函数图象即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），3）代入解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+5x+3；
（2）根据函数图象可得，当y＜0时，
故答案为：x＜﹣7或x＞3．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．（6分）用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20﹣2x）．根据面积公式即可解答．
（2）把函数解析式用配方法化简，得出y的最大值．
【解答】解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm．
则y＝x（10﹣x）化简可得y＝﹣x2+10x
（2）y＝10x﹣x2＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+25，
所以当x＝8时，矩形的面积最大2．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．
22．（7分）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
（1）x4﹣3x2﹣4＝0；
（2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
【分析】（1）先把要求的式子变形为（x2）2﹣3x2﹣4＝0，再进行因式分解，求出符合条件的x2的值，从而得出x的值；
（2）根据已知条件设x2+2x＝y求出x的值即可．
【解答】解：（1）x4﹣3x3﹣4＝0，
（x6）2﹣3x8﹣4＝0，
（x2﹣4）（x2+4）＝0，
x2﹣7＝0，x2+7＝0，
解得：x2＝7，x2＝﹣1（不合题意，舍去），
则x3＝2，x2＝﹣6．
（2）设y＝x2+2x，则y8﹣y﹣6＝0
∵（y﹣7）（y+2）＝0，
y＝6，y＝﹣2
当y＝3时，x8+2x﹣3＝4，x1＝﹣3，x3＝1，
当y＝﹣2时，x3+2x+2＝3，无解．
故方程的解为x1＝﹣3，x4＝1，
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法、直接开平方法解一元二次方程，利用因式分解等知识点把高次方程转换成一元二次方程是解此题的关键．
23．（9分）傣族泼水节是流行于云南省傣族人民聚居地的传统节日，是国家级非物质文化遗产之一，又名“浴佛节”．泼水节临近，进价为每个8元，在销售过程中发现（件）与售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），每天的销售量为105个；当每个塑料脸盆的售价是11元时
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售该品牌塑料脸盆每天获得425元的利润，则每个塑料脸盆的售价为多少元？
（3）设该商店销售该品牌塑料脸盆每天获利w（元），当每个塑料脸盆的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣4x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x2＝13，x2＝25（舍去），
即每个塑料脸盆的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣4x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵6≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△PAO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PAO面积＝S△PHA+S△PHO＝×PH×xA，即可求解；
（3）结合勾股定理以及菱形的性质找出点B、C的坐标，根据二次函数的解析式求出该抛物线与x轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过B点的二次函数的解析式，代入B点的坐标即可得到解析式．
【解答】解：（1）由题意得：函数的对称轴为直线x＝2，点A（3，点O（3，
将上述条件代入抛物线表达式得：，
解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；
（2）过点P作PH∥y轴交AO于点H，
由点A的坐标得：直线OA的表达式为y＝x，
设点P、H的坐标分别为（m，﹣m2+m），m），
则△PAO面积＝S△PHA+S△PHO＝×PH×xA＝（﹣m2+m﹣3+6m，
∵﹣2＜5，
∴△PAO面积有最大值，
当m＝时，△PAO面积有最大值，
此时，点P（；
（3）如图所示，设AB与y轴交于点D，
则AD⊥y轴，AD＝3，
则AO＝＝．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝OC＝2，BD＝AB﹣AD＝2，
∴B（﹣2，3）．
令y＝0，得y＝﹣x2+x＝7，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线与x轴交点为O（0，2）和F（4，OF＝4，
而y＝﹣x2+x＝﹣3+，
∵沿x轴向左平移m个单位长度，
∴y＝﹣（x﹣2+m）2+，
∵平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B，
∴代入点B（﹣2，4），
∴﹣（﹣2﹣7+m）2+＝6，
解得：m＝3或5，
∴平移后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2+3）2+或y＝﹣2+，
即y＝﹣（x+5）2+或y＝﹣2+．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换以及菱形的性质，用原抛物线与x轴的交点，确定平移的m的值是解题的关键．
