邓州春雨国文学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.直线l的倾斜角为，斜率为k.若k的取值范围是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.直线在y轴上的截距是（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.
3.已知、、、、、，直线：，：，则“”是“直线与平行”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
4.若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆内 D.以上都有可能
5.若圆的弦被点平分，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线：；与直线：平行，则实数a为（ ）
A.3 B.-2 C.3或-2 D.以上都不对
7.实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知直线l：在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可以是（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.-2.
10.已知圆M：，直线l：，下面四个命题，其中真命题是（ ）
A.对任意实数k与，直线l与圆M相切
B.对任意实数k与，直线l与圆M有公共点
C.对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
D.对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切
11.已知圆与圆，则（ ）
A.两圆圆心所在直线的斜率为
B.两圆的公共弦所在的直线的方程为
C.两个圆关于直线对称
D.直线是两圆的一条公切线
12.已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A.直线l过定点
B.当时，直线l与圆C相切
C.当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为
D.若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则
三、填空题
13.经过点，倾斜角的直线方程为______.
14.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______.
15.设直线与圆；相交所得弦长为，则______；
16.已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为______.
四、解答题
17.已知直线l的斜率，，，是这条直线上的三个点，求的值.
18.已知直线的方程为，按照下列要求，求直线l的方程：
（1）l与垂直，且过点；
（2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
19.已知圆C：，直线l：.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程.
20.已知圆C：.
（1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程；
（3）若点M是直线上的动点，过点M分别作圆C的两条切线，切点分别为S，T，求证：直线过定点.
21.已知方程：表示圆，其圆心为C.
（1）求圆心坐标以及该圆半径r的取值范围；
（2）若，线段的端点A的坐标为，端点B在圆C上运动，求线段中点M的轨迹方程.
22.已知圆C过点且与y轴相切，圆心C在线段上，过点的直线l与圆C相交于M，N两点.
（1）求圆C的方程；
（2）若，求直线l的方程.
参考答案：
1.D【分析】根据斜率与倾斜角的范围，结合已知确定的范围.
【详解】由题设且，故.
故选：D
2.B【分析】令即可求解.
【详解】令得，所以直线在y轴上的截距是1.
故选：B.
3.D【分析】判断是否可以推出；再判断是否可以推出，结合充分必要条件的定义即可得出结果.
【详解】当时，两直线可能平行，也可能重合，故充分性不成立；
当时，与可能都等于0，故不一定成立，故必要性不成立；
综上所述，是的既非充分又非必要条件.
故选：D
4.C【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于a、b的不等式，即可判断出点P与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
因为直线与圆无公共点，则，所以，.
因此，点P在圆内.
故选：C.
5.A【分析】若圆心，根据题设知求出直线的斜率，应用点斜式写出直线方程即可.
【详解】由题设，直线过，若圆心，则，即，由，则，故直线方程为，
所以直线的一般方程为.
故选：A
6.A【分析】两直线平行，斜率相等或者均不存在斜率，但不能重合，利用斜率公式即可得到.
【详解】直线：的斜率为，一定存在斜率；
直线：的斜率为，
因为两直线平行，所以，解得或，
当时，：，：，不重合，平行；
当时，：，：，直线重合，所以舍掉.
故选：A.
7.C【分析】根据题意画出图象，由斜率公式可知代数式的的几何意义，根据图象和直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式列出方程，求出k的值，即可得的取值范围.
【详解】解：如图所示：
方程，化为表示：以为圆心，1为半径的圆，代数式的几何意义是：圆上的点与连线的斜率，
由图象可得，
当直线与圆相切时，分别取到最大值和最小值，
由得，，
所以的取值范围是，
故选：C.
8.A【分析】根据向量垂直可得数量积为0，得出轨迹方程即可求出轨迹过定点.
【详解】，
，
即，
所以点的轨迹方程为，
显然不论n取何值，总有，满足方程，
即点的轨迹过定点，
故选：A
9.ABCD
【分析】求出两坐标轴上的截距，进而判断a的可能取值.
【详解】令，得到直线在x轴上的截距是，
令，得到直线在y轴上的截距为，
不论a为何值，直线l在x轴和y轴上的截距总相等.
故选：ABCD.
10.BD
【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求出圆心M到直线l的距离d，结合三角函数的值域与选项即可得出结果.
【详解】由题意知，
圆心坐标，半径为1，
圆心M到直线l的距离为
（其中），
所以对任意实数k与，直线l与圆M有公共点，且对任意实数k，
必存在实数，使得直线l与圆M相切.
故选：BD.
11.BD
【分析】由圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，由两点斜率公式求圆心连线的斜率判断A，由两圆方程判断两圆相交，再由两圆方程相减可求公共弦，判断B，根据圆心的位置关系和半径关系判断C，根据直线与圆的位置关系判断D.
【详解】圆的圆心为，半径，
方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
所以直线的斜率为-2，A错误；
因为，所以
所以圆和圆相交，
两圆方程相减可得，
所以两圆的公共弦方程为，B正确；
因为圆和圆的半径不相等，且直线的斜率为-2，
所以两个圆不于直线对称，C错误；
因为到直线的距离为2，
所以直线与圆相切，
因为到直线的距离为1，
所以直线与圆相切，
故直线为两圆的公切线，D正确.
故选：BD.
12.BC
【分析】由已知可得直线l过定点，可判断A；当时，求得圆心到直线的距离可判断B；先求的最小值，再利用勾股定理可求的最小值判断C；由圆心到直线的距离为3可求得m判断D.
【详解】对于A，由直线l：，得，
直线过定点，故A错误；
对于B，当时，直线l的方程为，
圆C：的圆心，半径为，
圆心C到直线l的距离为，
直线l与圆C相切，故B正确；
对于C，当时，直线l的方程为，
因为，
又，
，的最小值为，故C正确；
对于D，若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，
圆心C到直线l的距离为，
，解得，故D错误.
故选：BC
13.
【分析】利用直线的斜率的定义及直线的点斜式方程即可求解.
【详解】直线的倾斜角，
直线的斜率为，
直线方程为，即.
故答案为：.
14.
【分析】根据题意，结合两直线平行斜率相等，求出a，再根据两平行直线之间的距离公式，即可求解.
【详解】由直线：与直线：平行，易得，因此直：，直线：，所以直线与之间的距离.故答案为：.
15.
【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线，即的距离，
由圆的弦长公式，即，得，
所以，解得，
经检验，满足题意，所以.
故答案为：.
16.
【分析】两圆的方程相减得出两圆的公共弦所在直线方程，然后根据直线方程求出定点即可.
【详解】由圆：与圆：，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
即，令，解得：，
所以圆：与圆：的公共弦所在直线恒过点.
故答案为：.
17.
【分析】依题意可得，由斜率公式得到方程，解得即可.
【详解】依题意可得，即，解得，，
所以.
18.（1）；
（2）或.
【分析】（1）由两线垂直，设所求直线为，根据点在直线上求参数，即可得直线方程；
（2）由两线平行，设所求直线为，求截距并利用三角形面积公式求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）因为，所以直线l可设为.
将点代入方程得，
因此所求的直线方程为.
（2）因为，所以直线l可设为.
令，得，令，得，
所以三角形的面积，解得.
因此直线l的方程为或.
19.（1）；
（2）或.
【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【详解】（1）由圆C：，可得，
其圆心为，半径，
若直线l与圆C相切，则圆心C到直线l距离，即，可得：.
（2）由（1）知：圆心到直线的距离，
因为，即，解得：，
所以，整理得：，解得：或，
则直线l为或.
20.（1）或
（2）或
（3）证明见解析.
【分析】（1）讨论直线方程斜率不存在时，根据直线与圆相交弦长公式求弦长，检验是否符合；直线斜率存在时，设直线方程，根据直线与圆相交弦长公式，求出参数的值，即得直线的方程；
（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离d，进而求出弦长的表达式，代入面积公式中，由二次函数的最值求出其最大值，进而求出参数的值，求得直线的方程；
（3）设点，，可得以M为圆心，为半径的圆的方程，则线段为该圆与圆C相交形成的相交弦，两圆方程作差可得直线的方程，即可求得直线过定点.
【详解】（1）解：圆C：，圆心，半径
当直线l的斜率不存在时，l的方程为：，此时圆心到直线的距离，
则相交弦长为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为：，即
此时圆心到直线的距离，
则相交弦长为，解得：
所以此时直线l的方程为：，即.
综上，直线l的方程为或.
（2）解：B在圆外，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为：，
则圆心到直线的距离，
所以弦长，
所以，
当时S最大，即，即，解得或，
的最大值为1，
所以直线l的方程为：或.
（3）解：如图，连接，，
设点，
以M为圆心，为半径的圆的方程为①
又（②，则线段为两圆相交弦，
故由①②得为直线的方程，即
所以，解得
直线过定点.
21.（1），
（2）
【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案；
（2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点B的坐标，代入圆方程，可得答案.
【详解】（1）方程：可变为：
由方程表示圆，
所以，即得，
.圆心坐标为.
（2）当时，圆C方程为：，
设，又M为线段的中点，A的坐标为则，
由端点B在圆C上运动，
即
线段中点M的轨迹方程为.
22.（1）
（2）或.
【分析】（1）设圆心，由圆与y轴相切易得C方程为
，再由点在圆上求参数，即可得方程；
（2）讨论直线l的斜率，结合点线距离、圆的弦长公式求参数，即可确定直线方程.
【详解】（1）设圆心，
圆C与y轴相切，
圆C的半径，则圆C的方程为.
又点在圆上，
，
即，解得（舍）或.
圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离为1，
半径为2，则，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即.
由弦长，半径为2，得圆心C到直线l的距离为.
即，解得.
直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
