专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训
【题型目录】
题型一 用“SSS”证明三角形全等问题
题型二 全等的性质与“SSS”综合问题
题型三 用“SAS”证明三角形全等问题
题型四 全等的性质与“SAS”综合问题
题型五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题
题型六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题
题型七 灵活选用判定方法证全等
题型八 结合尺规作图的全等问题
题型九 与角平分线相关的全等证明问题
题型十 全等三角形的综合问题
【知识梳理】
知识点、全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△.
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【经典例题一 用“SSS”证明三角形全等问题】
【例1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）画的平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交于M点，交于N点；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C；
③过点C作射线．射线就是的角平分线．
请你说明这样作角平分线的根据是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022春·四川雅安·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件_______________．（填一个即可）
3．（2023·全国·九年级专题练习）小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分、可将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．
【经典例题二 全等的性质与“SSS”综合问题】
【例2】（2023春·七年级课时练习）如图，已知，，是上两点且，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2022秋·天津和平·八年级统考期中）如图，等边三角形中，，为内一点，且，为外一点，且，，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（填序号）______．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，D是上的一点，于点E，交的延长线于点F，若，，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
【经典例题三 用“SAS”证明三角形全等问题】
【例3】（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：
①；
②和面积相等；
③；
④；
⑤．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形中，，则的度数是（ ）
A．50° B．54° C．60° D．72°
2．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为__________．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【经典例题四 全等的性质与“SAS”综合问题】
【例4】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在中，，点D是外一点，连接，且交于点O，在上取一点E，使得，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为___________．
3．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）已知O是四边形内一点，且，，．
(1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：
①；
②平分；
(2)如图2，若，E是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上．
【经典例题五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题】
【例5】（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
2．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是______（写出一个条件即可）．
3．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【经典例题六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题】
【例6】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在四边形中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为（ ）
A． B．6 C．9 D．12
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，在中，，，，平分，于点D，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为___________．
3．（上海市徐汇区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）问题：如图，在中，，，平分，于点E，说明的理由．
分析：要说明“一条线段等于另一条线段的两倍”，我们容易想到“线段的中点”和“等腰三角形的三线合一”两个基本图形．
如图1，若点C是线段AB的中点，则．
如图2，在中，若，于点D，则．
要求：请根据上述分析完成上述问题的解答．
【经典例题七 灵活选用判定方法证全等】
【例9】（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）下列条件中，可以确定和全等的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知，则图中全等的三角形有（ ）对．
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件：
，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______，作为结论的条件序号为：______．
3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，．
(1)写出与全等的理由；
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
【经典例题八 结合尺规作图的全等问题】
【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）已知，按图示痕迹作，得到．则在作图时，这两个三角形满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
2．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______
3．（2023春·七年级课时练习）如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：
(1)画直线AB，射线BD，连接AC；
(2)在线段AC上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)过点P作直线l，使得；（保留作图痕迹）
(4)请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据．
【经典例题九 与角平分线相关的全等证明问题】
【例11】（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，连结，则的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【变式训练】
1．（2021秋·全国·八年级阶段练习）如图，D为BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①CDE≌BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交 于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．
3．（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．
(1)若是的角平分线，求证：是的角平分线；
(2)若，求证：．
【经典例题十 全等三角形的综合问题】
【例12】（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分．其中正确的个数为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知，如图，，，，，，DE与AC的延长线交于点F，若，求______．
3．（2023春·安徽宿州·八年级校考阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；
(2)当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；
(3)当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是___（直接写出答案）．
【重难点训练】
1．（2022秋·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，△ACB≌△A'CB'，∠A'CB＝30°，∠A'CB'＝70°，则∠ACA'的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
2．（2022秋·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，，，且，BE、CD交于点F．若∠BAC＝35°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使与全等，则x的值为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．6或10
5．（2022秋·七年级单元测试）如图，在和中，，，，直线交于点M，连接．下列结论：①；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
7．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③
C．①② D．①②③
9．（上海市徐汇区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是________．
10．（2023·湖北孝感·校考三模）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可求______．
11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，边的中垂线分别交于点的周长为，则的周长是 __．
12．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以/的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为___/时，能够使与全等．
13．（2022秋·江西南昌·八年级统考期末）如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是__________．（填序号）
①；②；③若，则；④．
14．（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，．
求证：
(1)；
(2)；
(3)．
15．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，，，，求的面积．
16．（2023春·山东枣庄·七年级校考期末）如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒．
(1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由．
17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O．
(1)若，，求的度数；
(2)写出与的关系，并说明理由；
18．（2020秋·广东惠州·八年级广东惠阳高级中学初中部校考期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．
(1)线段的长度等于___________．
(2)求证：．
(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训
【题型目录】
题型一 用“SSS”证明三角形全等问题
题型二 全等的性质与“SSS”综合问题
题型三 用“SAS”证明三角形全等问题
题型四 全等的性质与“SAS”综合问题
题型五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题
题型六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题
题型七 灵活选用判定方法证全等
题型八 结合尺规作图的全等问题
题型九 与角平分线相关的全等证明问题
题型十 全等三角形的综合问题
【知识梳理】
知识点、全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△.
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【经典例题一 用“SSS”证明三角形全等问题】
【例1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）画的平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交于M点，交于N点；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C；
③过点C作射线．射线就是的角平分线．
请你说明这样作角平分线的根据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．
【详解】解：如图，
从画法①可知，
从画法②可知，
又，由可以判断，
∴，
即射线就是的角平分线．
故选：A．
【点睛】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2022春·四川雅安·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由D为BC中点可得BD=CD，利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∵AB=AC，AD为公共边
∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正确，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件_______________．（填一个即可）
【答案】或（填其中任一个均可）
【分析】根据定理、线段的和差即可得．
【详解】由题意，有以下两种情况：
（1）当时，由定理可证得；
（2）当时，
，
，即，
则当时，也可利用定理证得；
故答案为：或（填其中任一个均可）．
【点睛】本题考查了定理，熟练掌握定理是解题关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分、可将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．
【答案】见解析
【分析】先用证明，然后由全等的性质得到，即可得到结果．
【详解】解：在和中，
，
，
，
平分，
是的平分线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知定理判定三角形全等．
【经典例题二 全等的性质与“SSS”综合问题】
【例2】（2023春·七年级课时练习）如图，已知，，是上两点且，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证，得，再证，得，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】先证明与全等，再证明与全等即可判断．
【详解】解：在与中，
，
，故①正确；
，
在与中，
，
，
，，
，故②正确；
四边形的面积，故③错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据证明与全等和利用证明与全等．
2．（2022秋·天津和平·八年级统考期中）如图，等边三角形中，，为内一点，且，为外一点，且，，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（填序号）______．
【答案】①③④
【分析】连接，证≌得出；再证≌，得出；其他两个条件运用假设成立推出答案即可．
【详解】解：连接，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
由此得出正确．
，
，
，，
设，
，
，
，
在中三角的和为，
，
，
，这时是边上的中垂线，结论错误．
边上的高，
，结论正确．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，D是上的一点，于点E，交的延长线于点F，若，，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】．理由见解析
【分析】证明，可得，再根据，利用等量代换可得即可．
【详解】解：．理由如下：
，，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键．
【经典例题三 用“SAS”证明三角形全等问题】
【例3】（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：
①；
②和面积相等；
③；
④；
⑤．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确
∴，故①正确，
∵，
∴，故⑤正确，
∴，故③正确，
∵，点A到的距离相等，
∴和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形中，，则的度数是（ ）
A．50° B．54° C．60° D．72°
【答案】B
【分析】连接，，正五边形中，得到，，证得根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：连接，，
五边形是正五边形，
，，
在和中
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为__________．
【答案】70°
【分析】（1）证△BED≌△CDF；
（2）利用AB=AC得到∠B与∠C
（3）利用整体法求得∠EDF
【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED
∵∠A=40°
∴∠B=∠C=70°
∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110°
∴∠EDB+∠FDC=110°
∴∠EDF=70°
【点睛】求角度，常见的方法有：
（1）方程思想；
（2）整体思想；
（3）转化思想
本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度
3．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得到，证明即可；
（2）推导，即解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
【经典例题四 全等的性质与“SAS”综合问题】
【例4】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质及平行线的性质得到，最后根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵在正方形中，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在中，，点D是外一点，连接，且交于点O，在上取一点E，使得，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：；
在和中，
，
∴（），
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为___________．
【答案】8
【分析】延长到点E，使，连接，先由证明，再由得，即可证明，再证明，得，，再证明，得，即可推导出．
【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：8．
【点睛】此重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）已知O是四边形内一点，且，，．
(1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：
①；
②平分；
(2)如图2，若，E是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)见解析
【分析】（1）①根据题意证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可；
②过点O作于点E，于点F，首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的性质定理的逆定理求解即可；
（2）连接，并延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论．
【详解】（1）①∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
②如图所示，过点O作于点H，于点F，
∵，，
∴，
∴点O在的角平分线上，
∴是的角平分线，
∴平分；
（2）证明：连接，并延长到，使，连接，
∵E是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
点在同一条直线上．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是善于构造全等并熟练掌握三角形全等的判定与性质．
【经典例题五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题】
【例5】（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】D
【分析】由四边形为正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，进一步得到，所以根据可以证明，所以，那么，据此求解即可．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
∴，
即：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的面积等知识点，熟悉相关知识是解题的关键．
2．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是______（写出一个条件即可）．
【答案】或或
【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：，
，
即，
又∵，，
，
∴当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
3．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件．
【经典例题六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题】
【例6】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在四边形中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为（ ）
A． B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求．
【详解】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴的面积，
∵，
∴，
∵在中，，
∴即，是直角三角形，斜边为，
∴，
∵，
∴，
当G点与H点重合时，即时，可得，
此时达到最大，
∴则的最大值为3，
∴的最大面积为：，
∵，
∴D点为中点，
∴，
∴的最大面积为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，在中，，，，平分，于点D，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【分析】延长、相交于点E，证明，可得，，从而可得，再由，求得，即可求得面积．
【详解】解：延长、相交于点E，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为___________．
【答案】13
【分析】首先证明，再利用证明，进而得到，然后再根据线段的和差关系可得答案．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵于点F，于点E，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（上海市徐汇区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）问题：如图，在中，，，平分，于点E，说明的理由．
分析：要说明“一条线段等于另一条线段的两倍”，我们容易想到“线段的中点”和“等腰三角形的三线合一”两个基本图形．
如图1，若点C是线段AB的中点，则．
如图2，在中，若，于点D，则．
要求：请根据上述分析完成上述问题的解答．
【答案】见解析
【分析】延长，，交于点F，证明，得到，再证明，得到，等量代换即可推出．
【详解】解：延长，，交于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的难点在读懂材料，适当添加辅助线，构造全等三角形．
【经典例题七 灵活选用判定方法证全等】
【例9】（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）下列条件中，可以确定和全等的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．依据上述方法进行判断即可．
【详解】A.，，，不能判定和全等，故不符合题意；
B.，，，根据能判定全等，故符合题意；
C.，，，不能判定和全等，故不符合题意；
D.，，，不能判定和全等，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知，则图中全等的三角形有（ ）对．
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴由，可得；
由，可得；
∴，
由，可得；
由，可得；
由，可得；
由，可得；
∴有6对三角形全等，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，或者是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件：
，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______，作为结论的条件序号为：______．
【答案】 ①②④（答案不唯一）； ③．
【分析】如果联合，利用易证，从而可得．
【详解】解：在和中，点B、E、C、F在同一条直线上，
如果．那么．
证明：∵，
即，
在和中，
故答案是：①②④（答案不唯一）；；③．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握判定两三角形全等的方法：，是直角三角形的还有HL．
3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，．
(1)写出与全等的理由；
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可；
（2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得．
【详解】（1）全等，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在与中
∴
（2），理由如下：
在与中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在与中
，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型．
【经典例题八 结合尺规作图的全等问题】
【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）已知，按图示痕迹作，得到．则在作图时，这两个三角形满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据所给条件直接判定即可.
【详解】解：由题可得：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
故选：D
【点睛】此题考查三角形全等的判定-三边分别相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此题的关键.
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
【答案】C
【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】解：由题意可知，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
连接OP，
，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
故选项D正确，不符合题意；
若，，
则，
而根据题意不能证明，
故不能证明，
故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
2．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______
【答案】 SAS HL
【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ．
由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ．
【详解】小刘同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理；
小赵同学画了后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理．
故答案为：①SAS；②HL．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：
(1)画直线AB，射线BD，连接AC；
(2)在线段AC上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)过点P作直线l，使得；（保留作图痕迹）
(4)请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
(4)见详解
【分析】（1）依据要求用直尺作图即可；
（2）以A为圆心、AB为半径画弧交AC于点P即可；
（3）以P为圆心、AP为半径画弧将AC于点E，再以E点为圆心、AB为半径画弧，两弧交于点F，连接PF，直线PF即为所求的直线l；
（4）连接CD交直线l于点Q，Q点即为所求．
【详解】（1）作图如下：
直线AB、射线BD、线段AC即为所求；
（2）作图如下：
点P即为所求；
（3）作图如下：
直线l即为所求；
证明：连接EF、PB，
由作图可知PE=AP，EF=PB，PF=PE，
根据（2）的作图可知AP=AB，
即有：AP=PE，AB=PF，EF=PB，
即有△PEF≌△APB，
∴∠EPF=∠PAB，
∴，
即直线l即为所求；
（4）作图如下：
直线l即为所求；
∵，
∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C、Q、D三点共线时，有，
即作图依据为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．
【经典例题九 与角平分线相关的全等证明问题】
【例11】（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，连结，则的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和已知条件证明即可得解；
【详解】如图，延长BD交AC于E，
∵平分，且，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形全等的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·全国·八年级阶段练习）如图，D为BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①CDE≌BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和DE⊥AC，DF⊥AB，即可证明CDE≌BDF；再通过证明即可得到CE＝AB+AE；根据CDE≌BDF即可得到∠BDC＝∠BAC；
【详解】∵AD平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，故③正确；
通过已知条件得不出∠ABD＝∠BDE，故④错误；
故正确的是①②③；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，准确分析证明是解题的关键．
2．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交 于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．
【答案】①②/②①
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解与的关系即可判定①；在上取一点H，使，证得，得到 ，再证得得到，进而判定②正确；如图：连接,作于H，于M，根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③错误．
【详解】解：解：∵和的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝，，
∴
＝
＝
＝
＝，故①正确；
∵，
∴，
∵和的平分线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图：连接，作于H，于M，
∵与的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
∵，不一定等于b
∴不一定成立，故③错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
3．（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．
(1)若是的角平分线，求证：是的角平分线；
(2)若，求证：．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据正方形的性质和全等三角形的性质，证明，得出；
（2）由（1）可得，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，
是由绕点顺时针旋转得到，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
又，
，
是的角平分线；
（2）由（1）可得，
，
，，
【点睛】解题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的性质与判定和正方形的性质．
【经典例题十 全等三角形的综合问题】
【例12】（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【详解】解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
又，
在和中，
，
，
，，，故②正确．
，，，
在和中，
，
，
，故③正确．
、分别平分、，
，
，
∵，不一定相等
∴不一定相等，故④不正确．
其中正确的是①②③，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分．其中正确的个数为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由证明得出，即可判断①；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，③正确；即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，
故①正确；
，
，
由三角形的外角性质得：，
，
故②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，
故③正确；
综上所述，正确的是①②③；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知，如图，，，，，，DE与AC的延长线交于点F，若，求______．
【答案】2
【分析】过点D作，交的延长线于点，通过证明，，利用全等三角形的性质分析计算．
【详解】解：过点D作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，本题综合性较强，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
3．（2023春·安徽宿州·八年级校考阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；
(2)当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；
(3)当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是___（直接写出答案）．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）先用证明，得，，进而得出；
（2）先用证明，可得，，进而得出；
（3）证明过程同（2），进而可得．
【详解】（1）证明：由题意知，，，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：．
证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
又∵,
∴．
（3）解：．
证明：∵于，于，
∴，
∴，，
∴∠ACD＝∠EBC，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．余角的性质，解题的关键在于找出证明三角形全等的条件．
【重难点训练】
1．（2022秋·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，△ACB≌△A'CB'，∠A'CB＝30°，∠A'CB'＝70°，则∠ACA'的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【分析】根据全等三角形对应角相等，得到∠ACB=∠A′CB′，再根据角的和差关系∠ACA′=∠ACB-∠A′CB即得．
【详解】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′=70°，
∵∠A'CB＝30°，
∴∠ACA′=∠ACB-∠A′CB=40°．
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等的性质，角的和差的计算．
2．（2022秋·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；
②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；
③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；
④全等三角形周长相等，正确，符合题意；
⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．
所以正确的有5个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，，，且，BE、CD交于点F．若∠BAC＝35°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】B
【分析】由全等三角形的对应角相等可证＝35°+α，＝35°+β，然后根据平行线的性质、三角形外角的性质进行解答．
【详解】解：设＝α，＝β，
∵，，
∴∠ACD＝＝α，∠ABE＝＝β，=∠BAE＝＝35°，
∴＝35°+α，＝35°+β．
∵，
∴∠ABC＝＝35°+α，∠ACB＝＝35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，即105°+α+β＝180°．
则α+β＝75°．
∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC＝35°+α+β＝35°+75°＝110°．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，以及三角形外角的性质，此熟练掌握全等三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使与全等，则x的值为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．6或10
【答案】C
【分析】分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间．
【详解】解：当 时，，即 ，
解得 ；
当 时， ，
此时 （不合题意，舍去），
综上，．
故答案为：C．
【点睛】本题考查全等三角形的概念性质，关键是要考虑到分两种全等的情况考虑．
5．（2022秋·七年级单元测试）如图，在和中，，，，直线交于点M，连接．下列结论：①；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
，
故①正确；
∴，
故②正确；
设于的交点为E，
在中由三角形外角的性质可得，
在中由三角形外角的性质可得，
∴，
∴，
故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
【答案】B
【分析】先根据点P到三边的距离得到、是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：点P到三边的距离，
、是、的角平分线，
，，
，
,
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．
7．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
8．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③
C．①② D．①②③
【答案】D
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③，利用角平分线性质和已知条件即可判断④，进而得出结论．
【详解】解：∵和的平分线，相交于点O，
∴，，
∴
，
故①正确；
∵，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
如图所示，作于H，于M，
∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
，
故③正确；
∵，分别是和的平分线，
若，则，
而所给的条件中，的三个内角都未知，
∴不一定等于，
故④错误；
综上，①②③正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
9．（上海市徐汇区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】可以添加条件为，利用等角对等边得到，再利用全等三角形的判定条件，即可证明，本题为开放题，答案不唯一．
【详解】解：可添加条件，
理由如下：，
，
在与中，
，
，
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定条件，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
10．（2023·湖北孝感·校考三模）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可求______．
【答案】
【分析】由题可得，直线DF是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线DF是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，边的中垂线分别交于点的周长为，则的周长是 __．
【答案】15
【分析】由中，边的中垂线分别交于点，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：∵中，边的中垂线分别交于点，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用．
12．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以/的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为___/时，能够使与全等．
【答案】3或
【分析】根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度；
【详解】解：设运动时间为；
当时，，
∵点在线段上以/的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
∴的运动速度等于点运动速度；
②当时，，
∵点为线段的中点，点在线段上以/的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，，
∴,
∴，
∴点的运动速度：；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13．（2022秋·江西南昌·八年级统考期末）如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是__________．（填序号）
①；②；③若，则；④．
【答案】②③④
【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故①是错误的．
【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
（SAS），
，，故②是正确的；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故①是不正确的；
设，则，
，
，
，
，
，
，故③是正确的；
，
，
，
，
，
，
故④是正确的．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的，是本题解题的关键．
14．（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，．
求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据“边角边”证明，即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，进而可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得，根据“边角边”证明，即可证得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
∵， ，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，，，，求的面积．
【答案】8
【分析】过点D作，交的延长线于点E，通过证明求得三角形高，从而求面积．
【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即的面积为8．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
16．（2023春·山东枣庄·七年级校考期末）如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒．
(1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，1
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可；
（2）分情况讨论：当时，≌，，时，≌．
【详解】（1）由题意得，，
点位于线段的垂直平分线上，
，
，
解得；
（2），
，
又，
当时，≌，
，为的中点，
，
，
解得；
当，时，≌，
，此方程组无解，
不存在≌这种情况，
综上所述，当时，≌．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O．
(1)若，，求的度数；
(2)写出与的关系，并说明理由；
【答案】(1)
(2)，平分
【分析】（1）根据三角形内角和可得，再利用内角和即可得出；
（2）由角平分线的意义及两个垂直可证明，从而有，由线段垂直平分线的判定知，，平分．
【详解】（1）解：∵
∵
∵
∵
∴
（2）解：，平分；
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
即，平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到和，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．
18．（2020秋·广东惠州·八年级广东惠阳高级中学初中部校考期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．
(1)线段的长度等于___________．
(2)求证：．
(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等
【分析】（1）由，，进行计算即可得到答案；
（2）由，可得，通过即可证明；
（3）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，即，
，
故答案为：3；
（2）证明： 是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：存在，
如图2，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
如图3，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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