2023-2024学年福建省三明重点中学高二（上）月考数学试卷（一）（8月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知点，，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为( )
A. 或 B. 或
C. D.
3.若直线：与直线：互相平行，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
4.圆与圆内切，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.设，，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知正方体的棱长等于，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线：，，，则下列结论错误的是( )
A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为
C. 当时，直线的斜率不存在 D. 当时，直线与直线平行
10.已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线与圆相切
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 点在圆外
D. 圆上的点到直线的最小距离为
11.在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断正确的是( )
A. 若平面，则为的中点
B. 平面平面
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 若，则
12.过原点的直线与圆：交于，两点，且不经过点，则( )
A. 弦长的最小值为
B. 面积的最大值为
C. 圆上一定存在个点到的距离为
D. ，两点处圆的切线的交点位于直线上
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.过点且与直线垂直的直线方程为______ ．
14.已知空间向量、、共面，则实数的值为______ ．
15.若，，，则的形状是______ 选填：锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：
如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为 ；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知，．
求；
当时，求实数的值．
18.本小题分
已知的顶点，，边的垂直平分线所在直线方程为．
求边所在直线方程；
求的面积．
19.本小题分
如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于，．
设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
求异面直线与所成角的余弦值．
20.本小题分
已知圆心为的圆经过三个点、、．
求圆的方程；
若直线的斜率为，在轴上的截距为，且与圆相交于、两点，求的面积．
21.本小题分
正三棱柱中，，为的中点，点在上
证明：平面；
若二面角大小为，求以，，，为顶点的四面体体积．
22.本小题分
如图，圆：，点为直线：上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
若，求切线所在直线方程；
若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
设直线的倾斜角是，
且，
．
故选：．
根据斜率公式以及定义即可求出．
本题考查了斜率公式问题，考查直线的倾斜角，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率公式、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为，由此能求出直线的方程．
【解答】
解：点和点，，
点和点到直线的距离相等，且过点，
直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为，
直线的方程为：，或，
整理得：或．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：直线：与：互相平行，
则，解得或，
当时，直线，重合，不符合题意，
当时，直线，平行，符合题意．
故选：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题知，
所以，，，，
因为圆与圆内切，
所以，即，
因为，
所以，
故选：．
由圆，内切得即可解决．
本题主要考查联立圆与圆位置关系的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，向量，，且，，
可得，，解得，，
则，
则，
故选：．
利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解即可．
本题考查空间向量的垂直与共线，向量的模的求法，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，
建立空间直角坐标系：
则，，，
，，
．
故选：．
如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．
本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
上式可看成是一个动点到定点的距离，
即为点到直线上任意一点到定点的距离，
的最小值应为点到直线的距离，
即：．
故选：．
因为，原式的最小值即为点到直线的距离，即可得答案．
本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，也考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，属于拔高题．
由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时与直线垂直．写出所在直线方程，与直线的方程联立，求得点坐标，然后写出以为直径的圆的方程，再与圆的方程联立可得所在直线方程．
【解答】
解：化圆为，
圆心，半径．
，
要使最小，则需最小，此时与直线垂直．
直线的方程为，即，
联立，解得．
则以为直径的圆的方程为．
联立，
可得直线的方程为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：直线：，令，可得，故直线恒过定点，故A错误；
当时，直线即，它的斜率为，故它的倾斜角为，故B正确；
当时，直线即，它的斜率为，故C错误；
当时，直线即，即，
由，，可得直线的方程为，即，
故当时，直线与直线重合，故D错误，
故选：．
由题意，利用直线的斜率和倾斜角，直线的斜率公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的斜率公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由圆：得，
所以圆心，半径，
对于：圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，故A不正确；
对于：圆心在轴上，故圆截轴所得的弦长为，故B正确；
对于：把点到圆心的距离，所以点在圆外，故C正确；
对于：圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径，
又圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，故D错误．
故选：．
首先将圆的方程化为标准方程，即可确定圆的半径，利用圆心到直线的距离可判断，利用轴过圆心可得圆截轴的弦长可判断，求出圆心到的距离可判断，求得圆心到直线的距离即可确定圆上的点到直线距离的最小值可判断．
本题考查圆的切线的判断方法，过圆心的弦长的求法，点与圆的位置关系，圆上的动点到直线的距离的最小值的求法问题，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，
所以，，，，，，，
对于选项，所以，
设是平面的法向量，
则，即，故令，则，
所以，解得，此时为的中点，故A选项正确；
对于选项，设是平面的法向量，
由于，则，即，
令得，由于，所以，所以平面平面，故B选项正确；
对于选项，，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误；
对于选项，若，则，故D选项正确．
故选：．
根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，进而根据坐标法依次讨论各选项即可得答案．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：：化为标准方程：：设到直线的距离为，则，
对于：由垂径定理，即，当且仅当，即时取等号，故弦长的最小值为，故A正确；
对于：面积为，令，则：面积为，，而在上单调递增，所以，于是面积的最大值为，B正确；
对于：当时，，到的距离为的点由个，C错误；
对于：，两点处圆的切线的交点坐标为，则直线为切点弦所在直线方程，为：，由于直线过原点，所以，即，两点处圆的切线的交点位于直线上．
故选：．
化简圆的方程为标准方程，结合已知条件求解选项即可．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长、面积、点到直线距离、切点弦直线方程，属于综合性较强的中档题．
13.【答案】
【解析】解：设与直线垂直的直线的方程为：，
将代入可得，可得，
所以所求直线方程为：．
故答案为：．
求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程．
本题考查两条相互垂直的直线的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：共面，
存在实数，，使得，
所以，
，解得
故答案为：．
利用空间向量共面的条件，设，列出方程组求出的值．
本题考查了空间向量共面的条件，属于基础题目．
15.【答案】锐角三角形
【解析】解：因为，，，
则，，，
所以，，，，
所以，中，边最长，内角最大，
所以，，
显然、不共线，故C为锐角，故为锐角三角形．
故答案为：锐角三角形．
利用空间中两点间的距离公式可知，中，边最长，内角最大，求出，可判断出为锐角，即可得出结论．
本题考查了三角性的形状的判断，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间动点轨迹问题，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．
若点在平面内运动时，如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可得，设，由可得即，即可求得半径．
若点在长方体内部运动，由可得点在半径为，球心为球上．建立空间直角坐标系，求得到面的距离，即可求得到面的距离的最小值，从而求出到面的距离的最小值，最后利用体积公式即可求解．
【解答】
解：若点在平面内运动时，
如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可得，．
设，由可得．
即，．
则点所形成的阿氏圆的半径为．
若点在长方体内部运动，由可得点在半径为，球心为球上．
如图以为原点，，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，，，，
则，
设面的法向量为，
，可取．
到面的距离为．
则到面的距离的最小值为，
为的中点，到面的距离的最小值为．
则三棱锥的体积的最小值为．
故答案为：，．
17.【答案】解：已知，，
则，，，
所以；
因为，
所以，
解得或．
【解析】根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算即可；
由，得，再根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算即可．
本题考查了空间向量数量积的运算律，重点考查了空间向量数量积的坐标运算，属中档题．
18.【答案】解：由题意边的垂直平分线所在直线方程为，
则，
又
边的直线方程为，
即，
由题意是边的垂直平分线，
所以点与点关于对称，
设，则中点为，
代入得，
所以，
，
点到的距离为
，
所以．
【解析】由题意先求的斜率，再求方程即可，
先求点坐标，再求的长度，再求三角形的高即点到的距离，再求面积即可．
本题考查了直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：
，．
，，，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】，，即可．
先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，
然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．
题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力．
20.【答案】解：设所求圆的方程为，
则
解得，，．
圆的方程为；
圆的圆心坐标为，半径为．
直线的方程为，即．
圆心到直线的距离，
．
原点到直线的距离，
的面积．
【解析】本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．
设圆的一般式方程，把点的坐标代入圆的方程，求解方程组可得，，的值，则圆的方程可求；
写出直线的方程，求出圆心到直线的距离及弦长，还有原点到直线的距离，则的面积可求．
21.【答案】证明：正三棱柱，则平面，又平面，，
又为的中点，则，、平面，，
平面．
解：由题意，为正三角形，为的中点，，如图建立空间坐标系，
由易知平面法向量，
设，则，，，则，
设为平面的一个法向量，
则，取，则，
由题意，解得或舍去，
，点到平面距离为，
以，，，为顶点的四面体体积为．
【解析】由线面垂直的判定定理可证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求出长度，再求以，，，为顶点的四面体体积．
本题主要考查线面垂直的证明，二面角的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得或，
故所求切线方程为，；
设切线方程为，即，，的斜率为，，
故圆心到切线的距离，得，
，，
在切线方程中令可得，
故，
，此时，
故的最小值为．
【解析】设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；
利用的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，可得最值．
此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，有一定的难度．
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