南菁高中2023-2024学年第一学期9月阶段性检测
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则＝（ ）
A. {3} B. {0，1，2，3} C. {1，2，﹣3} D. {1，2，3}
2.若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.若则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知为非零实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.若存在x使得有正值，则m取值范围是（ ）
A. 或 B. C. D.
6.如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
7.关于的不等式的解集是一切实数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
8.已知,不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9. 已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
10. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 若、且，则、至少有一个大于
B. ，
C. “”是“”的必要条件
D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
11. 关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（ ）
A. 不等式的解集可以是
B. 不等式的解集可以是
C. 不等式的解集可以是
D. 不等式的解集可以是
12. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.命题“”的否定是____________.
14.若，则的取值范围是 _______________.
15.设集合,把的所有元素的乘积称为的“容积”（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的“容积”，规定空集的“容积”为0）.若的“容积”是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，则的所有偶子集的“容积”之和为__________________.
16.若对任意恒成立，则的最大值为________.
解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本题满分10分）设集合
(1)用列举法表示集合;
(2)若是的充分条件，求实数的值.
18.（本题满分12分）已知
(1)若不等式的解集为（），且，求的值；
(2)已知实数，求关于的不等式的解集.
（本题满分12分）已知全集,集合
集合集合
(1)求与
(2)当，求实数的取值范围.
（本题满分12分）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.设甲每次购买这种物品的数量是，乙每次购买这种物品所花的钱数为.
若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品的平均价格分别为多少？
设两次购买这种物品的价格分别是元，元，甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为.通过比较，的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算.
21.（本题满分12分）已知关于的不等式的解集为
(1)当为空集时，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)当不为空集，且时，求实数实数的取值范围.
22.（本题满分12分）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：
，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数满足求的最小值；
（2）若正实数满足且，试比较和的大小，并说明理由；
（3）若利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.南菁高中2023-2024学年第一学期9月阶段性检测
高一数学 参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C A A B D
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 BC AD BD ACD
填空题
13. 14.
15. 16.
四、解答题
17解：
（1）由得或
. ...................................................................2分
若是的充分条件，
对于方程，可知非空....4分
若为单元素集，则
此时集合符合题意；.......................................................6分
若为双元素集，则.
即和是方程的两个根，..8分
综上，或.............................................................................................................10分
18解：
（1）不等式的解集是，
且， ..................................................................................2分
此时的解集为，满足题意. ...........................................4分
（2）当时，不等式，可化为
若，不等式为，此时不等式的解集是；........................................6分
若，则，解得，即不等式的解集是；.............8分
若，则，解得，即不等式的解集是，....10分
综上所述，当时，解集是；
当时，解集是；
当时，解集是. .............................................................12分
19解：
(1）由可得 ................................................................2分
化简集合，得
， （补集算对给1分）
则； .........................................................4分
（2）由（1）知，，因为，
当时，解得， .........................................................6分
当时，， .........................................................8分
解得， ............................................................10分
综上所述，的取值范围是. .........................................................12分
20解：
（1）若两次购买这种物品的价格是元，元，
则甲两次购买这种物品的平均价格为， ....................................2分
乙两次购买这种物品的平均价格为 ...........................................4分
（2）由题意可知，甲两次购物总花费为购物总量为，
则平均价格是， ...........................................6分
乙两次购物总花费为，购物总量为
则平均价格是 ..........................................8分
..........................................10分
故第二种购物方式比较划算. ...........................................12分
21解：
（1）为空集，
所以实数的取值范围是 ....................................2分
（2）由（1）知，，则，
.......................................4分
当且仅当时等号成立. （不写等号成立的条件扣1分）
所以的最小值为4 ............................................6分
（3）令
当不为空集时，由，得，...........................10分
即 解得，
综上,实数的取值范围是 .......................................12分
（用求根公式求出不等式的解并求出正确答案的也同样给分）
22解：
（1）若正实数满足则
所以，
当且仅当，
即时取等号，所以的最小值是 ............................2分
（2）若正实数满足且，
............................4分
因为，当且仅当=时取等号.
,
所以 ...........................6分
（3）若
令，则 ...........................8分
所以 ...........................10分
当且仅当时取等号.结合，
解得
所以 ...........................12分
