2023-2024学年宁夏吴忠市盐池中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知命题：，，则的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.使不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. 或 C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. 或 D.
4.设全集为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D. ，或
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知正数、满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设是虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
9.已知，，则( )
A. B. C. D. 不能确定
10.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.若实数，满足约束条件，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若集合，，且，则实数取值的集合为______ ．
14.“，”为真命题，则实数的最大值为______ ．
15.已知正数，满足，则的最小值是______ ．
16.已知，，则的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解不等式；
解不等式；
已知求的最小值；
已知，求最大值．
18.本小题分
已知命题：，命题：．
当时，命题和中至少有一个为真命题，求的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，，求；
已知集合，，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知函数满足，求函数的解析式．
已知在定义域上是减函数，且，求实数的取值范围．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
若直线与曲线交于、两点，求的值．
22.本小题分
已知函数．
作出函数的图像；
若不等式的解集不是空集，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据含有量词的命题的否定可知，的否定是：，．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由得，使不等式成立的一个充分不必要条件是的真子集，
对照各选项，、、都不是的真子集，只有项符合题意．
故选：．
由题意利用充分必要条件的概念，可知所求的条件对应的集合是的真子集，从而得出答案．
本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，或，
若，解得或，
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立，
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，
综上所述，．
故选：．
由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可．
本题主要考查元素与集合关系的判断等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：集合，或，
集合，
又图中阴影部分所表示的集合是，
而，或，
所以，或．
故选：．
根据集合交集和补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可．
本题考查了集合的概念与应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，
，
．
故选：．
由，结合分段函数的性质得，由，结合分段函数的性质得．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
6.【答案】
【解析】解：当时，在时，随的增大而减小，符合题意；
当时，若在时，随的增大而减小，则，解得，
综上，．
故选：．
由已知对的正负进行分类讨论，然后结合一次函数及二次函数的单调性即可求解．
本题主要考查了函数单调性在参数范围求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为正数、满足，在等式两边同时除以可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为．
故选：．
由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，
则，
又因为，所以，
所以，可得，
所以．
故选：．
根据题意，结合作差比较法，即可求解．
本题主要考查了作差法比较大小，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由知，，即，故错误；
对于，如，，则不成立，故错误；
对于，如，，则不成立，故错误；
对于，由幂函数为增函数，所以若，则有，故正确．
故选：．
对利用不等式性质进行判断，对于选项举反例即可，对选项结合幂函数的单调性，进行判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：作出可行域，如图所示：
由此可得目标函数在点处取最小值，
由，可得，
即，
所以．
故选：．
作出可行域，找出最优解，代入计算即可．
本题考查了简单的线性规划，作出可行域是关键，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，，
令，，
所以，
则，
当且仅当，即，此时，时取等号．
故选：．
先换元，令，，代入到所求式子后进行变形，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：若，，满足；
若，，
集合，且，
，
．
或．
故答案为：
因为，所以可以为空集，时；时，，则，所以，所以或．
考查空集的概念，子集的概念，不要漏了为空集的情况．
14.【答案】
【解析】解：因为“，”为真命题，
所以，即．
所以实数的最大值为．
故答案为：．
由可求出结果．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，所以，即，
因为正实数，，所以，，
所以，
当且仅当等号成立．
故答案为：．
将转化为，然后利用基本不等式求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得，又，
由不等式的同向可加性可得．
故答案为：．
利用不等式的性质计算即可．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
17.【答案】解：不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为．
对于方程，，
此方程无解，所以不等式的解集是．
由于，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
依题意，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故最大值为．
【解析】不等式化为，求解即可；
根据一元二次不等式的解法求解即可；
利用基本不等式求得的最小值；
利用基本不等式求得最大值．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式应用问题，是基础题．
18.【答案】解：当时，命题：，即为，
命题：，即为，
因为命题和中至少有一个是真命题，
所以，即的取值范围．
因为是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集，
当时，，解得，此时满足题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，即实数的取值范围．
【解析】通过解一元二次不等式以及真命题的知识求得的取值范围．
根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围．
本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得，解得，
所以；
存在，，理由如下：
因为，则，
若，则，此时，不合题意；
(ⅱ)若，则或，
当时，则，，符合题意；
当时，此时，不合题意；
综上所述：．
【解析】根据题意结合交集运算求解；
由题意可得：，根据子集关系分析运算，注意集合的互异性．
本题考查补集、并集定义、集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：依题意，，
以替换得，
由消去得．
依题意，，解得，
所以的取值范围是．
【解析】通过构造方程组的方法求得．
根据函数的定义域和单调性化简不等式，由此求得的取值范围．
本题考查求函数的解析式，考查利用函数单调性解不等式，属于中档题．
21.【答案】解：直线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，根据，转换为转换为直角坐标方程为．
把直线的参数方程为为参数代入曲线的直角坐标方程，
得到，
所以，，
故．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
22.【答案】解：函数，如图所示：
由的图知，不等式的解集不是空集时，，
所以的范围为．
【解析】去绝对值符号，可得函数的解析式，画出图象；
由的图可知的范围．
本题考查分段函数的数形结合的应用，属于基础题．
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