2023年浙教版七年级上尖子生培优第16卷 实数及其运算
一、选择题
1．的平方根是（ ）
（A）9 （B）3 （C）±9 （D）±3
2．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
（A）5与6之间 （B）4与5之间 （C）3与4之间 （D）2与3之间
3．在下列结论中，正确的是（ ）
（A） （B）x2的平方根是x
（C）－x2一定没有平方根 （D）的平方根
4．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
（A）28.72 （B）0.2872 （C）13.33 （D）0.1333
5．已知|b－4|＋（a－1）2=0，则的平方根是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．如果a，b表示两个实数，那么下列命题正确的是（ ）
（A）若a2=b2，则a=b （B）若a＜b，则
（C）若，则 （D）若a＞b，则
7．实数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
（A）|a|＞|b|
（B）|b－d|=|b|＋|d|
（C）|a－c|=c－a
（D）|d－1|＞|c－a|
8．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示－3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（ ）
（A）0
（B）2
（C）4
（D）6
二、填空题
9．（－1.733）2的算术平方根是 ．
10．的最小值是 ，这时a= ．
11．下列各数：，，5.12，，0，，3.1415926，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有 个．
12．一个数的平方根是a＋4和2a＋5，则a= ，这个正数是 ．
13．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]=2，[4.1]=4，[3.99]=3．
（1）= ；
（2）若，则x的取值范围是 ．
14．对任意两个实数a，b定义新运算：a b=，并且定义新运算程序仍然是先做括号内的，那么（ 2） 3= ．
15．将一组数，2，，，，…，按下面的方式进行排列：
若的位置记为（1，4），的位置记为（3，3），则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
16．已知a=1,b=2，则= ．
17．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：
第k棵树种植在点处，其中=1，当k≥2时，，T（a）表示非负实数a的整数部分例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点x6为 ；第2017棵树种植点x2017为 ．
三、解答题
18．若a、b、c都不等于0，且的最大值是m，最小值是n，求2013（m＋n）＋m－n的值．
19．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，以这些格点为顶点分别按下列要求作图：
（1）作出一个面积为13的正方形；
（2）作出一条线段，使得它的长介于2和3之间；
（3）画钝角三角形ABC，使∠A为钝角，AB的长为整数，AC的长是无理数；
（4）画出直角三角形ABC，使∠C为直角，AB的长的平方为13，你能画出几种？
20．若实数a，b，c在数轴上所对应点分别为A，B，C，a为2的算术平方根，b=3，C点是A点关于B点的对称点，
（1）求C点所对应的数；
（2）a的整数部分为x，c的小数部分为y，求2x3＋2y的值．
21．阅读理解下面内容，并解决问题：
善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论：
①，，和都是9×4的算术平方根，而9×4的算术平方根只有一个，所以=．
②，，和都是9×16的算术平方根，而9×16的算术平方根只有一个，所以 ．
请解决以下问题：
（1）请仿照①帮助小明完成②的填空，并猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，与、之间的大小关系是怎样的？
（2）再举一个例子，检验你猜想的结果是否正确．
（3）运用以上结论，计算：的值．
22．阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013的值．
解：设S=1＋2＋22＋23＋24＋…＋22012＋22013，将等式两边同时乘2得：
2S=2＋22＋23＋24＋25＋…＋22013＋22014
将下式减去上式得2S－S=22014－1
即S=22014－1
即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013=22014－1
仿照此法计算：1＋2＋22＋23＋…＋2100．
23．如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为－5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）BP= ，点P表示的数 （分别用含t的代数式表示）；
（2）点P运动多少秒时，PB=2PA？
（3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
2023年浙教版七年级上尖子生培优第16卷 实数及其运算答案
一．选择题
1． D．2． C．3．D．4． C．5． A．6．D．7．D．8．C．
二．填空题
9．． 10．的最小值是 0 ，这时a＝ 2 ．
11．4． 12．-3 ,1
13．（1）＝ 1 ； （2）若，则x的取值范围是 9≤x＜16 ．
14． 3 ． 15． （7，2） ．
16．． 17． 2 ； 404 ．
三．解答题
18．解析：∵当a、b、c均大于0时，代数式有最大值，
∴m＝3．∵当a、b、c均小于0时，代数式有最小值，
∴n＝－3．将m、n的值代入得：原式＝2013×0＋3－（－3）＝3＋3＝6．
19．解析：（1）如图1所示：正方形DMNF面积为13；
（2）如图1所示：线段EF＝，它的长介于2和3之间；
（3）如图1所示：△ABC即为所求；
（4）如图2所示：∠C为直角，AB的长的平方为13，的只有一种．
20．解析：（1）C点所对应的数为：；
（2）∵1＜＜2，∴a的整数部分为x＝1，4＜＜5，的整数部分是4，小数部分y＝－4＝2－，
∴2x3＋2y＝2×13＋2×（2－）＝．
21．解析：（1），
（2）符合（1）的猜想；（3）．
22．解析：（1）设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2100，
将等式两边同时乘2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋2101，
将下式减去上式得：2S－S＝2101－1，即S＝2101－1，
则1＋2＋22＋23＋24＋…＋2100＝2101－1．
23．解析：（1）由题意：BP＝4t，点P表示的数－5＋4t.故答案为4t，－5＋4t．
（2）由题意：4t＝2（18－4t）或4t＝2（4t－18）;解得t＝3或9
（3）线段MN的长度不变，
理由：①当点P在线段AB上时，MN＝PB＋PA＝AB＝9．
②当点P在线段BA的延长线上时，MN＝PB－PA＝（PB－PA）＝AB＝9；
故MN的长度不变．
（第7题）
（第8题）
（第19题）
（第23题）
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