人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
2．在x，y轴上的截距分别为－3，4的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．设直线，，若，则（ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．0
4．若，则直线可能是（ ）
A． B． C． D．
5．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
7．平行于直线且过的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知过点的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当最小时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
11．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
二、填空题
13．过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为________．
14．直线恒过的定点坐标是______.
15．直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.
16．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
17．过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为___.
三、解答题
18．写出满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，且与x轴垂直；
（3）斜率是，在y轴上的截距是7；
（4）经过，两点；
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；
（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．
19．已知直线不经过第二象限，求实数a的取值范围．
20．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
21．已知直线l：
（1）若直线l的斜率是2，求m的值；
（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据两直线垂直的公式，即可计算结果.
【详解】
因为两条直线互相垂直，则，得.
故选：B
2．A
根据直线方程的截距式判断．
【详解】
由截距式方程可得，所求直线方程为．
故选：A．
3．D
由得，当斜率存在时，，计算可得.
【详解】
，
当时，，矛盾，
当时，符合题意，
故选：D.
此题考直线垂直的性质，属于简单题.
4．C
将直线转化为斜截式，结合斜率和纵截距的正负可得解.
【详解】
由题意知，直线方程可化为,
，
故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．
故选:C．
本题主要考查了直线的一般方程转化为斜截式方程判断图像，属于基础题.
5．D
就直线与平行或过的中点可求直线的方程.
【详解】
若过的直线与平行，因为，
故直线的方程为：即.
若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，
故直线的方程为：即.
故选：D.
6．C
根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
7．D
两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，根据点斜式方程可得解.
【详解】
两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故，
根据点斜式方程可得，化简得
故选：D
本题考查了过定点与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
8．A
直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
9．B
由题意结合三角函数的知识可得，，结合正弦的二倍角公式可得，求出后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解.
【详解】
设，如图：
则，，
所以，
所以当即时，最小，
此时，直线的倾斜角为，斜率，
所以直线l的方程为即.
故选：B.
本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.
10．B
先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】
已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
11．D
根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.
【详解】
将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解.
12．C
首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
13．
根据已知两点可直接得出.
【详解】
解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为.
故答案为：.
14．
直线方程可化为，从而可得，解方程组即可.
【详解】
直线方程可化为
因为对任意，方程恒成立，所以
解得故直线恒过定点
故答案为：
15．
先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后求直线方程.
【详解】
设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.
联立
即解得即.
所以直线l的方程为，即.
故答案为：
本题考查中点坐标公式，直线的交点，直线的方程，是中档题.
16．
由已知得出直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，根据两点的斜率公式可求得答案.
【详解】
由x＋my＋m＝0得，x＋m（y＋1）＝0，所以直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，如下图所示，kAP＝＝－2，kAQ＝＝，
则－≥(m＜0)或－≤－2(m＞0)，所以－≤m≤且m≠0．当m＝0时，
直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，所以实数m的取值范围是－≤m≤．
故答案为：
方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
17．x+2y-6=0
设直线l的方程为+=1(a>0，b>0),由题得 +=1，再利用基本不等式求解.
【详解】
设直线l的方程为+=1(a>0，b>0).
由P点在直线l上，得+=1，
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5++≥5+2=9，
当且仅当=，即a=6，b=3时取“=”，
∴直线l的方程为+=1，即x+2y-6=0.
故答案为：x+2y-6=0
18．（1）（2）（3）（4）（5）；（6）
（1）利用点斜式求出直线方程；
（2）依题意直接得到直线方程为；
（3）利用斜截式求出直线方程；
（4）首先求出斜率，再利用点斜式求出直线方程；
（5）依题意可知斜率为，即可得到直线方程；
（6）利用截距式求出直线方程；
【详解】
解：（1）经过点，斜率是；则直线方程为，即
（2）经过点，且与x轴垂直；则直线方程为
（3）斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即
（4）经过，两点；则斜率，所以直线方程为，即
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为
（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．则直线方程为，即
19．
根据直线方程形式对分情况讨论，利用不经过第二象限的直线的斜截式方程得出关于斜率与截距的不等式进行求解得出范围.
【详解】
当时，直线方程为，不过第二象限，满足题意；
当即时，直线方程可化为．
由题意得，解得．
综上可得，实数a的取值范围是，即．
20．（1）；（2）；（3）；（4）
（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；
【详解】
（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为；
21．（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出；
（2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出.
【详解】
解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，
则，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，
则.
当m＝2时，S有最大值，
故直线l的方程为x＋y－2＝0.
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