2023-2024学年陕西省宝鸡实验高级中学高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为( )
A. B. C. D.
4.已知是奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.在公比大于的等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知点在圆：上，过作圆的切线，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
9.某学校举办作文比赛，共个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A. B. C. D.
10.用模型拟合一组数据组，其中；设，得变换后的线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是( )
A. B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减 D. 是奇函数
12.设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数的图象在处的切线方程为 ．
14.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：
若，，则．
若，，则．
若，，则．
若，，则．
其中正确命题的序号是______ 写出所有正确命题的序号
15.函数在一个周期内的部分取值如表：
则的最小正周期为 ； ．
16.已知等差数列是递增数列，且满足，，令，且，则数列的前项和 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
世界上的能源消耗有是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有的零件因磨损而失效报废零件磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加现根据相关统计，得到一组数据如表．
使用时间年
磨损指数
求关于的线性回归方程；
在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超过，则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理根据中的回归方程，估计该零件使用多少年后需要进行报废处理？
参考数据：，．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若的面积为，求的最小值．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，是的中点，，，．
证明：平面．
求点到平面的距离．
20.本小题分
设抛物线：，直线与交于，两点，且．
求；
若在轴上存在定点，使得，求定点的坐标．
21.本小题分
已知函数，是自然对数的底数．
当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
若，且，求的最小值和最大值．
22.本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求出的普通方程和的直角坐标方程；
若与有公共点，求的取值范围．
23.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由得，，
由得，，
因为，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】
解：向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，
则所得向量对应的复数为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：函数是奇函数，满足，
即，化简为，得，，
此时，函数的定义域为，成立．
故选：．
根据奇函数的定义，即可求解参数的值．
本题考查了函数的奇偶性的定义，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：在公比大于的等比数列中，
，，
，是方程的两个根，且，
解得，，
，解得，
．
故选：．
由已知条件推导出，是方程的两个根，且，由此求得，，进而得到，由此能求出．
本题考查等比数列的第项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的灵活运用．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除，．
当时，则，可得，
所以，排除．
故选：．
根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断．
本题考查函数奇偶性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．
根据已知条件，先求出，再结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】
解：圆：，
则圆的圆心为，
，
过作圆的切线，
则，即，
故的倾斜角为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
利用两角差的正弦公式展开求出，然后利用两角和的正弦公式计算即可．
本题主要考查两角和与差的正弦函数，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：某学校举办作文比赛，共个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数，
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为．
故选：．
利用古典概型、排列组合等知识直接求解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，，
即，
所以．
故选：．
根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值．
本题考查线性回归方程的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为点在的图象上，所以又，所以，
因为图象的一个对称中心是，所以，，
则，又，所以，则，A正确；
，则直线不是图象的一条对称轴，不正确；
当时，，单调递减，C正确；
，是奇函数，D正确．
故选：．
由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，，
则的中点，设直线的斜率为，
可得，
，在双曲线上，，
两式相减得，．
对于，可得，，则：，
联立方程，得，
此时，
直线与双曲线没有交点，故A错误；
对于，可得，则，
联立方程，得，
此时，
直线与双曲线没有交点，故B错误；
对于，，则，
联立方程，得，
此时，故直线与双曲线有交两个交点，故C正确；
对于，可得，，则：，
由双曲线方程可得，，则：为双曲线的渐近线，
直线与双曲线没有交点，故D错误．
故选：．
根据点差法分析可得，对于、、，通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于，结合双曲线的渐近线分析判断．
本题考查直线与双曲线的位置关系，训练了点差法的应用，解题的关键是根据点差法得到，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，则，，
故的图象在处的切线方程为．
故答案为：．
根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：若，，则此命题正确，因为，知在面内必存在一线与平行，由知，此线与垂直，故可得；
若，，则此命题错误，因为，只能得出与面内有些线垂直，不能得出它垂直于面内任意一条直线，故不正确；
若，，则此命题正确，因为，，一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个；
若，，则此命题正确，因为，，而垂直于同一直线的两个平面必平行故可得结论；
综上是正确命题
故答案为
由题意，若，，则此命题由线面垂直判断线线垂直，由性质判断即可
若，，则此命题由线线垂直，线面平行判断线面垂直，由线面垂直的判定定理判断即可；
若，，则此命题由线面垂直与面面平行判断线面垂直，由线面垂直的条件判断即可；
若，，则此命题由线面垂直判断面面平行，由面面平行的条件判断即可．
本题考查线线垂直，线面垂直，面面平行的判断，解题的关键是熟练掌握判断线线垂直，线面垂直，面面平行的条件，作出正确判断，本题需要有着较好的空间感知能力，考查了推理判断的能力，空间想像能力．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数解析式的应用，利用五点对应法建立方程进行求解是解决本题的关键，是基础题．
根据条件先求出函数的周期和解析式，然后直接代入求即可．
【解答】
解：由表格知，即，
即，得，
则，
由五点对应法得，得，
则，
则．
故答案为：，．
16.【答案】
【解析】解：由题意，递增数列满足，，
可得，是方程的两根，且，解得，，
设数列的公差为，可得，
所以数列的通项公式为，
可得，
又，
所以．
故答案为：．
根据题意，求得，，设数列的公差为，得到，求得数列的通项公式，得到，结合裂项法求和，即可求解．
本题考查数列的求和，考查裂项相消法求数列的前项和，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：因为，所以，
又，，
所以，
所以，
故关于的线性回归方程为；
由可知，当时，，
当时，，
故估计该零件使用年后需要进行报废处理．
【解析】根据题中所给的公式和数据进行求解即可；
运用代入法进行求解判断即可．
本题主要考查了求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以，即，
由正弦定理得，，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以．
因为的面积为，
所以，所以，
由余弦定理知，当时，取“”，
所以，
即的最小值是．
【解析】结合三角恒等变换公式与正弦定理，化简已知等式，可得，从而得解；
先由三角形的面积公式求出，再利用余弦定理与基本不等式，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角恒等变换公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：在直三棱柱中，平面，平面，故CC，，
又因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，所以．
又是的中点，，所以，所以，则，
因为，，平面，所以平面；
．，
所以，
设点到平面的距离为，由，得，
解得，
即点到平面的距离为．
【解析】确定，根据相似得到，得到线面垂直；
计算，，再根据等体积法计算得到距离．
本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
20.【答案】解：不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
即，
因为，
解得；
假设轴上存在定点使得，
联立消去并整理得，
由韦达定理得，，
易知，
此时，
即，
解得，
故存在定点或．
【解析】由题意，不妨设，，将直线方程与抛物线方程联立，再利用弦长公式可得答案；
假设轴上存在定点，将直线方程与抛物线方程联立，根据的坐标运算即可求解．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：当，时，，
，
当时，，
，
故是上的增函数，
同理是上的减函数，
，，，，，
故当时，，当时，，
故当时，函数的零点在内，
满足条件．
同理，当时，函数的零点在内，
满足条件，
综上，．
由已知，
当时，由，可知，，
；
当时，由，可知，，
；
当时，，
在上递减，上递增，
当时，，
而，
设，
仅当时取等号，
在上单调递增，而，
当时，，即时，，
，
即．
【解析】求导得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求解，
由导数可得函数的单调性，进而可得最小值，构造函数，利用导数求解单调性，进而可得最大值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：对于曲线，，
因为曲线的参数方程为为参数，
所以，，两式相减得，
所以的普通方程为，
因为，所以，故C的直角坐标方程为；
因为与有公共点，且不在上，且圆心为，半径为，
所以，
解得，
故的取值范围为．
【解析】消参法求的普通方程，公式法求的直角坐标方程；
根据与有公共点，即圆心到直线距离小于等于半径列不等式求参数范围．
本题主要考查了曲线参数方程与普通方程的互化，考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题．
23.【答案】解：因为，所以，
当时，原不等式转化为，不等式无解；
当时，原不等式转化为，解得；
当时，原不等式转化为，解得．
综上所述，不等式的解集为．
因为，
所以恒成立等价于，
当时，则，解得；
当时，则，解得．
综上所述，的取值范围为．
【解析】根据绝对值的性质，分类讨论进行求解即可；
根据绝对值的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
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