13.3 等腰三角形本节综合题
一、单选题
1．已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
2．用一条长为16cm的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
3．下列命题中：1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线；3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．等腰三角形两边长分别为 3，7，则它的周长为 ( )
A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定
5．一个角是 的等腰三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．上述都正确
6．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．50°或65°
7．一个等腰三角形的三边长分别为3cm、acm、6cm，则它的周长是（ ）
A．12cm B．15cm C．12cm或15cm D．不能确定
8．等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为（ ）
A． a B．2a C．2a-1 D．a
9．如图，以的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若，，则的度数是（ ）
A．26° B．27° C．28° D．29°
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH.
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二、填空题
11．在Rt 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB= .
12．如图，在 中， ，点 在 延长线上， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长度为 .
13．已知：如图， 为 的角平分线，且 ，E为 延长线上的一点， ，过E作 ，F为垂足，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是 .（填序号）
三、计算题
14．如图． 平分 ， ，垂足为E， 交 的延长线于点F，若 恰好平分 ．求证：
（1）点D为 的中点；
（2） ．
四、解答题
15．如图，在四边形ABDC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：DB=DC.
16．设等腰三角形顶角为α，一腰上的高线与底边所夹的角为β，是否存在α和β之间的必然关系？若存在，则把它找出来；若不存在，则说明理由。
小明是这样做的，解：不存在，因为等腰三角形的角可以是任意度数。
亲爱的同学，你认为小明的解法对吗？若不对，那么你是怎么做的，请你写出来。
五、作图题
17．图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．
（2）在图2中画出以AC为腰的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上．
六、综合题
18．如图，△ABC中，AB=AC．
（1）以点B为顶点，作∠CBD=∠ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：AC∥BD．
19．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2 ．
（1）作∠ABC的角平分线BM交⊙O于点M，连接MA，MC，并求⊙O半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB+BC＝BM．
20．在等边三角形 中， 于 ， ．
（1）如图①，点 为 的中点，则点 到 的距离为 ；
（2）如图②，点 为 上一动点，求 的最小值．
（3）（问题解决）
如图③， 两地相距 ， 是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点 到 的距离为 ．今计划在铁路线 上修一个中转站 ，再在 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由 到 再通过公路由 到 的总运费达到最小值，中转站 应修在使 （千米）处．
七、实践探究题
21．
（1）如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是 度；
（2）如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．求证：BE=CD；
（3）在图③中，若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°﹣80°﹣80°＝20°.
故答案为：C.
【分析】由于80°的角是锐角，故可以做为底角，也可以作为顶角，从而根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：4cm是腰长时，底边为16-4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为12×（16-4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：（1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误；
（2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误；
（3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误；
（4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确.
故答案为：A.
【分析】由轴对称图形的概念，由于两个全等三角形位置关系不确定，所以无法判定命题1））说法的正误；由对称轴是直线， 底边上的中线是线段，可判定命题2）说法的正误；由垂直平分线是直线， 等边三角形一边上的高 是线段可判定命题3）说法的正误；由轴对称图形的概念可知线段是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 ，由此可判定命题4）说法的正误.
4．【答案】B
【解析】【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解答】当7为腰时，周长=7+7+3=17；
当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；
故三角形的周长是17．
故选B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要进行分类讨论．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有一个角为60°，
∴此三角形为等边三角形.
故答案为：B.
【分析】根据“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可判断求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】若50°为顶角，则底角为 ，符合题意；
若50°为底角，则顶角为 ，故答案为C.
【分析】锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，分情况讨论即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：当a=3时，三角形的三边为3，3，6
而3+3=6，不能组成三角形，
当a=6时，三角形的三边为3，6，6
所以周长为3+6+6=15（cm）
故答案为：B．
【分析】（1）等腰三角形：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形；（2）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，此题没有明确告知谁是底边，谁是腰，故需要分类讨论.
8．【答案】D
【解析】【分析】由已知可知顶角是150°，则腰上的高是2a的一半为a．
【解答】解：
如图，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD⊥AB
∴∠DAC=2∠ABC=30°
∴CD=×AC=a．
故答案为：D．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵BA=BD，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=94°，由BA=BD可得，再利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数，由即可求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝ ，△BCE的面积＝ AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故答案为：D.
【分析】利用三角形的中线定义可证得AE=CE，利用等底同高的两个三角形的面积相等，可证得△ABE的面积＝△BCE的面积，可对①作出判断；利用三角形高的定义可证得∠ADC＝90°，利用余角的性质可证得∠FAG＝∠ACB，可对②作出判断；再证明∠AFG＝∠AGF，利用等角对等边，可对③作出判断；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，因此不能得到HB＝HC，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
11．【答案】8
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
∴ ，
∵BC=4，
∴AB=8.
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半，据此求解即可.
12．【答案】4
【解析】【解答】证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE=3，
∴△AEF是等腰三角形.
又∵CE=10，
∴CA=AB=7，
∴BF=AB-AF=7-3=4，
故答案为：4.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据等角的余角相等得出∠E=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案.
13．【答案】①②④
【解析】【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中， ，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
故①正确；
②∵ ，
∴
∵ 为 的角平分线
∴
∴
∵△ABD≌△EBC，
∴
又∵ ，
∴ ，
故②正确；
③∵ ，
∴ ，
∵△ABD≌△EBC，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∴AD=AE>EF，
故③错误；
④如图，过E作EG⊥BC于G，
∵ ，EG⊥BC，且BD平分 ，
∴EF=BG，
∴ 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确，
故答案为：①②④
【分析】由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，证明△ABD≌△EBC，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠BAE=∠BEA，∠BDC=∠BCD，由角平分线的概念可得∠ABE=∠DBC，推出∠BEA=∠BCD，由全等三角形的性质可得∠ADB=∠ECB，然后根据角的和差关系可判断②；由∠EAC=∠ECD可得AE=CE，由全等三角形的性质可得AD=EC，推出AD=AE，△AFE为直角三角形，据此判断③；过E作EG⊥BC于G，由角平分线的性质可得EF=BG，证明△CEG≌△AFE，得到AF=CG，据此判断④.
14．【答案】（1）解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE=DH，
∵BF∥AC，DE⊥AC，
∴BF⊥DF，
∵BC平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，
∴DF=DH，
∴DE=DF，
∴点D为EF的中点；
（2）解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠DBF，
∵∠C=∠DBF，∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△DCE≌△DBF，
∴CD=BD，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABD=∠DBF，
∴∠C=∠ABD，
∴AC=AB，且CD=BD，
∴AD⊥BC；
【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质可得DE=DH，DF=DH，可得结论；（2）由“AAS"可证△DCE≌△DBF，可证CD=BD，由等腰三角形的性质可证AD⊥BC；
15．【答案】解：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD ∠ABC=∠ACD ∠ACB，
即∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC.
【解析】【分析】 连接BC， 根据等边对等角得出 ∠ABC=∠ACB， 根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出 ∠DBC=∠DCB ，进而根据等角对等边得出结论DB=DC。
16．【答案】解：不对证明：设底角为υ则α+υ+υ=180°又∵υ+β=90°∴α=2β故小明的解法不对．
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理和直角三角形的两锐角互余
17．【答案】（1）解：如下图1，以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
（2）解：如上图2，以C为圆心，CA为半径作⊙C，过C作AC的垂线，垂直平分线与圆的交点即为点B．
【解析】【分析】（1）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D．（2）以C为圆心，CA为半径作⊙C，过C作AC的垂线，与⊙C相交于点B．
18．【答案】（1）解：解:如图,∠CBD为所作
（2）解：证明:由(1)得∠CBD=∠ABC,
又∵AB=AC,
∵.∠ABC=∠C
∠CBD=∠C,
∵AC∥BD
【解析】【分析】（1）按要求作图即可；（2）由已知条件可证得∠CBD=∠C,根据内错角相等，两直线平行即可得证 。
19．【答案】（1）解：尺规作图如下：连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180° ∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝ ∠AOC＝60°，
∵AH＝ AC＝ ，
∴OA＝AH÷sin60°＝2，
∴⊙O的半径为2；
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD＋∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝∠ABM =60°，
∴∠ECM＋∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图，作出图形即可，继而利用角平分线的性质，求出圆的半径即可；
（2）根据角平分线的性质，证明得到△EBC为等边三角形，继而由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定和性质，计算得到答案即可。
20．【答案】（1）
（2）解：如图，作 ，垂足为N，此时 最小，最小值等于 ，
∵在正三角形ABC中， ， ，
，
由勾股定理得，
由（1）知，
，即 的最小值为
（3）
【解析】【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
∵
∴∠BAD=30°，BD=1，
∴AD=
过E作EM⊥AB，垂足为M，
∵E为AD的中点，
∴AE= ，
∴EM= ，
故答案为： ； （3）如图，作 ，垂足为点D，在 异于点B的一侧作 ，作 ，垂足为点F，交 于M，则点M 即为所求；
在 中， ， ，
易知
在 中， ， ，则
由勾股定理得 ，
【分析】（1）先求出AD的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）作 ，此时 最小，最小值等于 ，求出 的长即可；（3）作 ，在 异于点B的一侧作 ，作 ，交 于M，求出AM的长即可．
21．【答案】（1）解：如图1． ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°． ∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°． 故答案为：90．
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED．
在△BDE和△CFD中，∵ ，∴ ，∴BE=CD．
（3）解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2． ∵D为BC中点，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由[探究]知 ，∴BE=CD=1，DE=DF． ∵∠B=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DF=1，则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4． 故答案为：4．
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质知∠B=∠C=60°，根据DE⊥BC，∠EDF=60°知∠BED=∠CDF=30°，据此可得答案．（2）由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案．（3）先得出BD=CD=CF=AF=1，再由[探究]知△BDE≌△CFD，据此得BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60°知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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