2023-2024学年陕西省汉中市高三(上)第一次校际联考数学试卷(文科)
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.已如集合,,则( )
A. B. C. D.
2.若复数是纯虚数,则实数( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.若圆的周长被直线平分,则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂,现有芳香度分别为,,,的四种添加剂可供选用,则选用的两种添加剂芳香度之和为的概率为( )
A. B. C. D.
7.某部门调查了名学生每周的课外活动时间单位:,制成了如图所示的频率分布直方图,其中课外活动时间的范围是,并分成,,,,五组根据直方图,判断这名学生中每周的课外活动时间不少于的人数是( )
A. B. C. D.
8.已知,是两条直线,,是两个平面,下列说法正确的是( )
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
9.若实数,满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.若在区间上是减函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.年月日时分,搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭,在我国文昌航天发射场点火发射,约分钟后,天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道已知火箭的最大速度单位:与燃料质量单位:、火箭质量单位:的函数关系为若已知火箭的质量为,火箭的最大速度为,则火箭需要加注的燃料质量为( )
参考数值为,,结果精确到,
A. B. C. D.
12.已知定义在上的奇函数满足,则以下说法错误的是( )
A. B. 的周期为
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知双曲线:的一条渐近线方程为,则曲线的离心率为______ .
14.在正三角形中,,,分别为,的中点,则 ______ .
15.已知圆锥的母线长为,高为,则这个圆锥的侧面积为______ .
16.已知函数在区间上恰有三个零点,则的取值范围是______ .
三、解答题(本大题共7小题,共82.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.本小题分
已知数列为等差数列,且,.
Ⅰ求数列的通项公式;
Ⅱ若等比数列满足,,求数列的前项和公式.
18.本小题分
仓廪实,天下安习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题,始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”粮食安全是国家安全的重要基础从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取株,分别测量它们的株高如下单位::
甲:,,,,;
乙:,,,,.
请根据平均数和方差的相关知识,解答下列问题:
哪种玉米苗长得高?
哪种玉米苗长得齐?
19.本小题分
如图,长方体的底面是正方形,点在棱上,.
证明:平面;
若,,求四棱锥的体积.
20.本小题分
已知函数.
若曲线在点处的切线方程为,求的值;
当时,求在上的最大值.
21.本小题分
已知椭圆经过点,.
求椭圆的方程及其离心率;
若为椭圆上第一象限的点,直线交轴于点,直线交轴于点,且有,求点的坐标.
22.本小题分
已知曲线的极坐标方程为,,是曲线上不同的两点,且,其中为极点.
求曲线的直角坐标方程;
设点的极坐标为,,求的值.
23.本小题分
已知函数.
Ⅰ当时,求不等式的解集;
Ⅱ当不等式的解集为时,求实数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题.
根据交集的定义,计算即可.
【解答】
解:集合,,
则.
故选:.
2.【答案】
【解析】解:是纯虚数,
则,解得.
故选:.
根据已知条件,结合纯虚数的定义,即可求解.
本题主要考查纯虚数的定义,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:.
故选:.
利用两角差的余弦公式求解即可.
本题主要考查两角差的余弦公式,考查运算求解能力,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:若圆的周长被直线平分,
则圆心在直线上,
所以,
解得.
故选:.
判断圆心在直线上,将圆心坐标代入直线方程即可求解的值.
本题主要考查直线与圆的位置关系,考查运算求解能力,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:,
函数为偶函数,排除选项B和;
由于,排除选项D,
故选:.
先根据函数奇偶性的概念判断为偶函数,排除选项B和,再计算的值即可作出选择.
本题考查函数的图象与性质,一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:根据题意,从芳香度为,,,的四种添加剂中随机抽取两种添加剂,
其可能结果有,,,,,共个,
其中选用的两种添加剂芳香度之和为的结果有,共个,
则所求概率为.
故选:.
根据题意,利用列举法列出所有可能情况,再根据古典概型的概率公式即可得解.
本题考查古典概型的计算,注意列举法的应用,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:每周的课外活动时间不少于的频率为,
故所求人数,
故选:.
根据频率分布直方图确定每周的课外活动时间不少于的频率,再根据频率、频数、总数的关系即可求.
本题考查频率分布直方图,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:选项,若,,则可能含于,选项错误;
选项,若,,则可能含于,选项错误;
选项,若,,则,可能异面,选项错误;
选项,若,,由线面垂直的性质定理可知,选项正确.
故选:.
据线线、线面、面面位置关系的有关知识对选项进行分析,从而得解.
本题主要考查直线与平面之间的位置关系,属于基础题.
9.【答案】
【解析】解:根据题意作可行域如图,
作直线:,由图可知,平移直线到位置,即过点时,取得最大值.
解方程组得,
代入.
故选:.
先作可行域,再作直线:,平移直线确定最优解,然后可得.
本题主要考查简单线性规划,考查转化能力,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:设,
因为在定义域上为增函数,
又因为在区间上是减函数,
所以在区间上是减函数,
所以,解得.
故选:.
设,由题意可得在区间上是减函数,列出不等式组求解即可.
本题考查了复合函数的单调性,也考查了二次函数的性质,属于中档题.
11.【答案】
【解析】解:由题意知,,,
所以,即,
所以,即.
故选:.
代入已知数据,结合指数和对数的运算法则,即可得解.
本题考查函数的实际应用,熟练掌握指数和对数的运算法则是解题的关键,考查运算能力,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:因为函数是上的奇函数,
所以,且,故A正确;
因为,所以的周期为,故B正确;
由,
令,则,所以,
所以,故C错误;
,,
所以,故D正确.
故选:.
由函数是上的奇函数,可得,且,即可判断,根据即可判断,根据,令,求出,再结合函数的周期性即可判断.
本题主要考查抽象函数及其应用,考查运算求解能力,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:双曲线:的一条渐近线方程为,
可得,
所以,
则双曲线的离心率为.
故答案为:.
利用双曲线:的一条渐近线方程为,即可得与的关系,再由离心率公式求解.
本题主要考查了双曲线的渐近线、离心率性质.属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:在正三角形中,,,分别为,的中点,
,,,,
.
故答案为:.
根据数量积的运算求得正确答案.
本题考查了向量的数量积的定义,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:根据题意,圆锥的母线长为,高为,则圆锥的底面半径,
则这个圆锥的侧面积.
故答案为:.
根据题意,求出圆锥的底面半径,由圆锥的侧面积公式计算可得答案.
本题考查圆锥的侧面积计算,注意圆锥的结构特征,属于基础题.
16.【答案】
【解析】解:因为,则,
又因为函数在区间上恰有三个零点,
则,解得,
所以的取值范围为.
故答案为:.
由可得,再由函数在区间上恰有三个零点可得,化简求解即可.
本题考查了正弦函数的图象性质,属于基础题.
17.【答案】解:Ⅰ设等差数列数列的公差为,
由,,可得,,
解得,,
所以;
Ⅱ设等比数列的公比为,
由,,可得,
则,
数列的前项和为.
【解析】Ⅰ由等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求;
Ⅱ由等比数列和等差数列的通项公式可得公比,再由等比数列的求和公式可得所求和.
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
18.【答案】解:甲的平均值,
乙的平均值,
因为,
故乙种玉米苗长得高;
甲的方差,
乙的方差,
因为,
故甲种玉米苗长得齐.
【解析】根据已知数据分别求甲乙的平均值,比较大小即得结论;
根据已知数据分别求甲乙的方差,比较大小即得结论.
本题主要考查了平均数和方差的计算,属于基础题.
19.【答案】证明:在长方体中,平面,由于平面,,
,,平面,平面,
平面;
解:长方体的底面是正方形,
取中点,连接,,则;
平面,
四棱锥的体积为:.
【解析】由平面,得,再由,能证明平面;
根据棱锥的体积公式即可求解四棱锥的体积.
本题考查线面垂直的证明,四棱锥的体积的求解,属中档题.
20.【答案】解:由,得,
,
又曲线在点处的切线方程为,
故,
.
当时,,,
由、在上分别单调递增、单调递减可得:
在上单调递增,
而,,
,使得,
故在上单调递减,在上单调递增,
又,
在上的最大值为.
【解析】根据切线的斜率求得的值.
利用导数判断出在上的单调性,从而求得在上的最大值.
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、切线方程、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21.【答案】解:依题知:,,所以.
所以椭圆方程为,离心率.
如图:
设,第一象限有,,;
由得:,
又,,
因此,
联立解得,故.
【解析】由题意可得,,继而求出,即可得方程和离心率;
设,则,又由可得,继而得到,联立即可解得,的值.
本题主要考查椭圆离心率的求解,直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于基础题.
22.【答案】解:曲线的极坐标方程为,
根据,得:,
曲线的直角坐标方程为.
,
,
将,极坐标代入方程得:,
,得,
的值为.
【解析】根据极坐标和直角坐标的转化公式求得正确答案.
先得到点的极坐标,将,的极坐标代入曲线的极坐标方程,解方程求得.
本题主要考查简单曲线的极坐标方程,属于基础题.
23.【答案】解:Ⅰ时,
当时,,即,此时,
当时,,得,,
当时,,无解,
综上,的解集为.
Ⅱ,
即的最小值为,
要使的解集为,
恒成立,即或,
得或,
即实数的取值范围是.
【解析】Ⅰ根据的范围得到分段函数的解析式,从而分别在三段区间上求解不等式,取并集得到所求解集;
Ⅱ由绝对值三角不等式得到的最小值,则最小值大于,得到不等式,解不等式求得结果.
本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题,属于常规题型.
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