嘉兴市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次教学调研考试
数学试卷解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.）
1. 直线的倾斜角为 （ C ）
A. B. C. D.
2.已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（ B ）
A.，9 B.，3
C.，3 D.，9
3. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是 （ D ）
A. B. C. D.
4. 如果将正方形沿对角线折成直二面角，则异面直线与夹角的余弦值是 （ A ）
A. B. C. D.
5. 在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量运算不正确的是 （ B ）
A.
B.
C.
D.
6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ D ）
A. B. 2 C. D.
7. 正方体的边长为2，点E，F分别为棱CD，的中点，点P四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面BEF，则点P的轨迹长为（ A ）
A. B. 2 C. D. 1
8. 已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，P为直线l：上的动点，设P的坐标为，
过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AC，PB⊥BC，
则点A、B在以PC为直径的圆上，
又由C（0，0），，
则以PC为直径的圆的方程为：，
变形可得：，
则有，联立可得：，变形可得：，
即直线AB的方程为，
变形可得：，
则有，解可得， 故直线AB过定点.
二、多选题（共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，多个选项正确.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分.）
9. 下列说法正确的是 （ BCD ）
A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
B. 设点，若直线与线段没有交点，
则的取值范围是
C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ AD ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ABD ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为0
C. 的最大值为 D. 的最大值为
12. 如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（ CD ）
A. B.
C. D. 1
解：根据三角形面积公式得到，
可得到内切圆的半径为1；
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
可得到点的坐标为：，，，，，
，，，
∵
∴，
∴，，
∴，
，
，
，
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标
是___．
14. 已知空间四点，，，共面，则 6
15. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，
则r的取值范围是 （4，6）
设，圆，若动直线与圆交
于点A、C，动直线与圆交于点B、D，
则的最大值是________．
解：，
圆心M(1，3)，半径r＝，
过定点E(2,1)，
过定点E(2,1)，
且⊥，
如图，设AC和BD中点分别为F、G，
则四边形EFMG为矩形，
设，，
则，
则＝
，
当且仅当即时取等号.
四 解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.
17. 已知直线．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间距离．
解：（1）∵，且，
∴，
解得．
（ 2）∵，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为．
18.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形， 与相交于点E，点F在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
故,
由得,所以,
， ，
由于
因此，
进而,
又平面,
故平面；
（2），
设平面的法向量，，，
则，取，得，
平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面的夹角，
则．
．
19. 在中，已知顶点，AB边上的中线所在直线方程为，内角的平分线所在直线方程为．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的一般式方程．
解：由内角的平分线所在直线方程为知，
点B在直线上，
设，
则AB中点D的坐标为．
由AB边上的中线所在直线方程为知，
点D在直线上，
，解得．
点B的坐标为．
设点与点关于直线对称，
则，
，解得．
点E的坐标为．
由直线为内角平分线所在直线，知点E在直线BC上．
直线BC方程为，即．
20. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）若，求到平面的距离.
解：（1）证明：取中点，连接，.
为等边三角形，.
，是的中点，为中点，
∴.
又，平面.
（2）到平面的距离为.
21. 已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分；
（1）求圆E的方程；
（2）过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
解：（1）由直线方程可知，，
故直线恒过点，
因为圆E恒被直线平分，
所以圆E的圆心为，
因为在圆上，故圆的半径，
从而圆E的方程为：；
（2）因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．
因为，，
所以以EP为直径的圆的方程为：，
由，
所以M的轨迹方程为：，.
22. 如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠ADC=60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是的重心，连结AC，BE交于点F.
（1）求证：GF平面CDE；
（2）求直线GF与平面BCD所成角的正弦值.
解：（1）证明：连接并延长交于，连结，
因为点是的重心，所以，
由题意可知，，
所以，
所以，所以.
所以.
又平面，平面,
所以GF平面CDE.
解：（2）
因为，
所以是等边三角形，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
连接,由等边三角形三线合一, 故,
因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE平面ABCE，
,平面ADE，
所以平面ABCE .
所以以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.
因为，所以，所以.
.
设向量为平面的一个法向量，
则，令可得，
设直线与平面的夹角为，则.
所以直线与平面的夹角的正弦值是.嘉兴市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次教学调研考试
数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.）
1. 直线的倾斜角为 （ ）
A. B. C. D.
2.已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（ ）
A.，9 B.，3
C.，3 D.，9
3. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是 （ ）
A. B.
C. D.
4. 如果将正方形沿对角线折成直二面角，则异面直线与夹角的余弦值是 （ ）
A. B. C. D.
5. 在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量运算不正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. 2
C. D.
7. 正方体的边长为2，点E，F分别为棱CD，的中点，点P四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面BEF，则点P的轨迹长为（ ）
A. B. 2
C. D. 1
8. 已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，多个选项正确.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分.）
9. 下列说法正确的是 （ ）
A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
B. 设点，若直线与线段没有交点，
则的取值范围是
C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为0
C. 的最大值为 D. 的最大值为
12. 如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（ ）
A. B.
C. D. 1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标
是
14. 已知空间四点，，，共面，
则
15. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，
则r的取值范围是
设，圆，若动直线与圆交
于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________．
四 解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.
17. 已知直线．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间距离．
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形， 与相交于点E，点F在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
19. 在中，已知顶点，AB边上的中线所在直线方程为，内角的平分线所在直线方程为．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的一般式方程．
20. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）若，求到平面的距离.
21. 已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分；
（1）求圆E的方程；
（2）过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
22. 如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠ADC=60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是的重心，连结AC，BE交于点F.
（1）求证：GF平面CDE；
（2）求直线GF与平面BCD所成角的正弦值.
