沁阳名校2023—2024学年高二年级上学期数学第二次考试试卷 对的得 2分，有选错的得 0分)
9.以下四个命题表述正确的是（ ）
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分)
A. x y x y 1 = 过（ 1， 1），（ 2， 2）两点的直线方程为 1
2 2
2 1 2 1
1.椭圆 + = 1的长轴长为（ ）
16 4 B.已知直线 过点 P（2,4），且在 x，y轴上截距相等，则直线 l的方程为 x+y-6=0
C.“直线 ax+2y-1=0与直线（a+1）x-2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件
A.2 B.4 C.8 D.4 5
D.两直线 1: + + 1 = 0， 2: + 1 = 0之间的距离为 2
2.若经过 A（1-a，1+a）和 B（3，a）的直线的倾斜角为钝角，则实数 a的值可能为（ ） 10.已知直线 : + 4 4 = 0与圆 M: x2 + y2 4x 4y + 4 = 0，则下列说法正确
A.0 B.-2 C.-4 D.-6 的是（ ）
3.如果 AC<0，BC<0，那么直线 Ax + By + C = 0不经过（ ） A.直线 与圆 M一定相交
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B.若 k=0，则直线 与圆 M相切
4.下列双曲线中，渐近线方程为 y =± 2x的是（ ） C.当 K=1 时，直线 被圆 M截得的弦最长
A.
2
2 = 1 B.
2
2 = 1 C. 2
2 2
= 1 D. 2 = 1 D.圆心 M到直线 的距离的最大值为 2 2
8 4 4 4
11.已知曲线 C: 2 = 2 4 ，其中 m为非零常数，则下列结论中正确的是（ ）
5.设点 A（ 3，0），B（ 3，0），M为动点，已知直线 AM与直线 BM的斜率之积为
A.当 m=-1 时，曲线 C是一个圆
1
定值 ，则点M的轨迹方程是（ ） B.当 m>0 时，曲线 C是一个双曲线
3
C.当 m=-3 时，曲线 C是焦点为 0， ± 2 2 的椭圆
2 2 2
A. 2 = 1( ≠ 0) B. 2 = 1( ≠ 0) C. 2 = 1( ≠ 0) D.
2
2 = 2
9 9 3 3 D.若曲线 C是离心率为 的椭圆，则 m=-2
2
1( ≠ 0) 2 2
12.已知双曲线 C： 2
2 = 1( > 0， > 0)的左右焦点分别为 F1，F2，那么下列说法中6.在平面直角坐标系中，动圆 C：( 1)2 + ( 1)2 = 2与直线 y + 1 = m(x 2)(m ∈
R) C 正确的有（ ）相切，则面积最大的圆 的标准方程为（ ）
2
A.( 1)2 + ( 1)2 = 4 B. ( 1)2 + ( 1)2 = 5 A.若点 P在双曲线 C上，则 1 2 = 2
C. ( 1)2 + ( 1)2 = 6 D.( 1)2 + ( 1)2 = 8 2 2B.双曲线 2 2 = 1的焦点均在以| |为直径的圆上 1 2
27. +
2
椭圆 2 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 F1、F2，且与 y 轴正半轴的交点为 A， C.双曲线 C上存在点 P，使得 1 + 2 = 2
D.双曲线 C上有 8个点 P，使得 PF1F2为直角三角形
AF1F2的面积为 3，且∠F1AF2=∠AF1F2，则椭圆的焦距为（ ） 三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
A.1 B.2 C. 15 D.2 15 13.已知直线 : = + ， : =
2
1 2 3 + 1，若 1∥ 2，则 a的值为______________.2
5 5
14.若抛物线 2 = 4 上的一点 M到坐标原点 O的距离为 5，则点 M到该抛物线焦点的距
2 2
8. 已知抛物线 2 = 4 与双曲线 2 2 = 1( > 0， > 0)有相同的焦点 F，点 A是它们的 离为_______.
2 2
一个交点，且 AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ） 15.双曲线 2 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F 1的直线 交双曲线于 A，
A.2 2 1 B. 2 + 1 C.8 2 8 D.2 2 2 B 两点，A，B分别位于第一、二象限， ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率 e为_____.
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．全部选对的得 5分，部分选
{#{QQABYQaEogAgQgBAAQhCUQViCgCQkBGACKoOxAAAsAAAgBFABCA=}#}
2
2
16.已知双曲线： = 1,右焦点为 F，点 P是直线 x = 2在第一象限内的动点，直线 为原点），求双曲线 C的离心率.
4 12
PF 与双曲线的一条渐近线在第一象限内的交点为 Q，若 = 2 ，则|FQ|=__________.
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分)
17.（10 分） ABC中， A 2,a ， B b, 4 ，C 4,0 ，BC 边上的中线 AD 所在直线的方
2
程是 4x 3y 11 0
2
. 20.（12 分）已知圆C1 : x y
2 8x m与圆C2 : x 1 y2 9 .
（1）求 a，b的值； （1）若圆C1与圆C2相外切，求实数m的值；
（2）求 AB 边上的高 CH 所在直线的方程.
（2）在（1）的条件下，若直线 x 2 y n 0被圆C1所截得的弦长为2，求实数n的值.
18.（12 分）某市湿地公园内有一直角梯形区域 ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC 2AD 40m.
相关部门欲在 A，B两处各建一个景点，将 CD 边建成人行步道（人行步道宽度忽略不计）.
（1）若分别以 A，B为圆心的两个圆都与直线CD相切，且这两个圆外切，求|AB|；
（2）若 = 20 2 ，今欲在人行步道（线段CD）上设一观景台 P，已知观景台 P在 2 p
21.（12 分）若抛物线C : x 2 py p 0 上的一点 P x0 , 到它的焦点的距离为 5.
过 A，B两点的圆与直线CD相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台 P设 3
在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？ （1）求 C的标准方程；
1 1
（2）若过点Q 0,6 的直线 l与抛物线 C相交于 A，B两点.求证： AQ 2 BQ 2 为定值.
22.（12分）在平面直角坐标系中，A( 1，0)，B(1，0)，M为平面内的一个动点，且 =
4，线段 AM 的垂直平分线交 BM 于点 N，设点 N 的轨迹是曲线 C.
x2 y2 （1）求曲线 C的方程；
19.（12 分）已知双曲线C : 2 1 a 0,b 0 的左 右焦点分别为F Fa b2 1
， 2 . （2）设动直线 : = + 与曲线 C有且只有一个公共点 P，且与直线 x = 4相交于点
Q，问是否存在定点 H，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 H？若存在，求出点 H 的坐标；若
（1）若点 A的坐标是 0,b ，且△AF1F2的面积为 2a2，求双曲线 C的渐近线方程； 不存在，请说明理由.
（2）若以 F1F2 为直径的圆与 C的渐近线在第一象限的交点为 P，且 F1P 3 OP （O
{#{QQABYQaEogAgQgBAAQhCUQViCgCQkBGACKoOxAAAsAAAgBFABCA=}#}沁阳名校2023一2024学年高二年级上学期数学第二次考试试卷
(2)解法一：因为以FF2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,所以
x2+y2=c2,
数学答案
y三6。解得P(a,b),…”9分
单选1~4CACC5~8CBBB
又|FP|=3|OP|,所以(a+c)+b=3a2+,
又a2十b=c2,所以c=2a,e=C=2,即双曲线C的离心率为2.…12分
多选9.CD10.BCD11.ABC12.BD
解法二：因为以FF2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,如图，|FO=
填空13._-214._215._V7_16.2V3
IOP|=c,所以|FP=3IOP|=3c,
在△POF,中，由余弦定理可得ms∠POF,=JOPOOROR5=+0=-名，
2OP·1ODF1
2XcXc
17.解：(1)由巾线AD所在直线过点A(2,a),得8十3a一11=0，解得a=1.…2分
所以∠POE=,则∠POP:=,
…9分
由B6,-40.C(4,0),得边BC的中点为D(生.-2)，所以4x生4+3×(-2)-1=0，解得6=号.
2
…5分
所以经=.6=5a.3a==-d,所以2=d2,e=台=2，所以双曲线C的离心率为2。…12分
2)1加A2.1B(号，-4）小.所以ke=是=-2，…7分
22
20.(1):圆C的方程可整理为：(x-4)+y2=16-m,
因为CHLAB,.所以ar·Ae=-1,即ka=之
圆心C(4,0),半径5=V16-m；其中m<16,
所以高CH所在直线的方程为y一0=2（一4）即x一2-4=0，…10分
由圆C2方程知：圆心C2（-1,0),半径r2=3
18.解：(1)因为分别以A、B为圆心的两个圆都与直线CD相切，
所以这两个侧的半径分别为20m和0m,…2分
~圆G与圆C2相外切，CC2=万+52=V16-m+3=5,解得：m=12.
又因为两个圆外切，所以两个圆心A,B之间的距离|AB引=40十20=60(m.…4分
(2)由(1)知：圆心C(4,0),半径1=2，
(2)以CD所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，
则A(x,20)(x0),B(0,40.
由AB=20w2,得√x2十400=20w2,解得x=20.…7分
:圆心C到直线x+v2y+n=0的距离d=4+列
设过A,B的圆的方程为(x一a)2十(y一b)=序，已知此圆与线段CD切于点P(a,0》,则0a20,
C(O)P
1∫(20-a)2+(20-b)2=,
由A,B两点在圆上，得{。2十(40-b2=,
得2支到p分
…2-d2=214-
(n+4)2
=2,解得：n=-1或n=-7.
3
所以圆的方程为x2十(y一20)3=400，切点为(0,0)，所以观景台P应设在梯形的项点C处.…12分
19.解：(1)肉为A(0,),△AF上的面积为2a2,所以5·2c·b=2a°，
即（公2+}）8=2公，所以(）十(）'=2，…3分
解得（么）-1或（么）=一2（舍去），所以之=1.所以双曲线C的渐近线方程是x士y=0.…6分
