兆麟中学2023—2024学年度上学期第一次月考
高 二 学年 数学 学科试题答案
1 D.解：∵直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，a，3）和B（﹣1，2，b）两点，
＝（﹣1，2﹣a，b﹣3），∴，解得a＝，b＝，
∴a+b＝＝3．故选：D．
2.B【详解】解：联立，解得，即交点为，
因为直线的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即．
3.A 两条平行线，与，有：，
得：平行线，与
平行线距离为：,解得或-9（舍）则.
4．A【详解】因为，所以，解得，又，所以，
解得.所以.
5．D【分析】以为一组基底，表示求解.
【详解】解：以为一组基底，
则，，，
，，，
，所以.
6．C【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.
【详解】
直线l：经过定点，，．
又直线l：与线段相交，所以或，
7．【详解】由题意可得：已知圆与圆相交，∴，∴，
解得且，
8．B【详解】，，
设，，，
则为点分别到点，的距离之和，
点关于轴的对称点的坐标为，连接，
则，当且仅当，，三点共线时取等号，
9.BCD【详解】对于A，，，A错误；
对于B，，，，B正确；
对于C，，，C正确；
对于D，，，D正确.
10.BCD【详解】选项A：直线，即，
所以恒过定点，故A正确；
选项B：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，此时，与互相垂直，
当时，直线的斜率，直线的斜率，
因为两直线互相垂直，所以，解得，所以或，故B错误；
选项C：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，此时，与互相垂直，舍去，
当时，直线的斜率，直线的斜率，
因为两直线互相平行，所以，解得，
当时，两直线重合，故舍去，所以，故C错误；
选项D：根据题意，直线的斜率，
因为，所以，所以，倾斜角的取值范围是，故D错误；
11.ABD【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正确；
，，，
设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
12.．ABD 【详解】对于A选项，圆上的一点到直线的最大距离为圆的半径，故的最大值为，A对；对于C选项，如下图所示：
点到直线的距离为，
圆的圆心为原点，当直线与圆相切时，此时最大，则点到直线的距离取最大值，
连接，则，则，故，因此，点到直线的距离为，C错；
对于D选项，设点，则，
所以，
，D对；
对于B选项，，
当且仅当点为直线与圆的交点，且点在线段上时，等号成立，
所以，的最大值为，B对.
13【详解】由题意可得，直线的方程为，即，则直线与之间的距离故答案为.
14.（x+1）2+（y+4）2＝3
解：设对称圆的圆心为（a，b），
则依题意，得，解得a＝﹣1，b＝﹣4，
对称圆的圆心（﹣1，﹣4），半径为，对称圆的方程为（x+1）2+（y+4）2＝3．
15.【详解】如图所示，
由正四面体的性质可得，PA⊥BC，可得，
∵E是棱AB中点，∴=－1，
16.【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，
可设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
即点、，由题意可得，解得，
的面积为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.故答案为：.
17.【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.
且因为向量与垂直,所以.即.
所以实数和的值分别为和.
(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.
因为,
所以 所以实数的值为.
18、【详解】（1）取AC得中点O，连接SO，OB，
，，，，
又SO，BO交于点O，平面，平面，于是可知平面，
又平面，；
（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,
那么，
∴，
设为平面CMN的一个法向量，
那么，取，那么，∴，
又为平面的一个法向量，
，，即二面角的正弦值为.
19.详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
20.答案：(1)以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
由为的中点，，得，，
，即的长为.
(2)设，且点在线段上，
，
，，.
21.．(1)，直线的方程为 (2)
【详解】（1）由题意可设，则，由直线，的方程可知：
，即，
设点B关于直线的对称点，
则中点坐标为，，
依题意有，解之得，即，
易知在直线上，故由两点式可得，化简得；
（2）由（1）所得方程，不妨设，
则，
由二次函数的性质可知当，上式取得最小值，此时.
22.【详解】（1）如图，设交于点，连接，易知底面，，所以，
又是底面圆的内接正三角形，由，可得，.
又，，所以，即，
又，所以，
所以，即，
又平面，直线平面，平面，
所以直线平面.
.
（2）因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即，
令，
则，
当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，
即当时，的最大值为1，此时点，
所以，
所以点到平面的距离，
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为.兆麟中学 2023—2024 学年度上学期第一次月考
班 级 高 二 学年 数学 学科试题 6.已知点 A(1,3)，B( 2,1)，若直线 l : kx y k 1 0与线段 AB有公共点，则 k的取值范围是（ ）
A． k 2 B． k 2
姓 名 考试用时： 120 分钟 总分：150 分 C． k 2或 k 2 D． 2 k 2
一、单选题
密 7.若圆 (x a)2 (y a)2 4上有且仅有两个点到原点的距离为 2，则实数 a的取值范围为（ ）
考场 1.已知直线 l的一个方向向量m (2, 1,3)，且直线 l过 A（0，a，3）和 B（﹣1，2，
封 A. ( 2 2，0) B. ( 2 2，0) (0，2 2)
b）两点，则 a+b＝（ ）
考号 线 3A 0 B 1 C D 3 C. ( 2 2， 1) (1，2 2) D. (0，2 2)． ． ． ．
2
内 2. 2x y 1 0 x y 2 0 2x 3y 0 8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一经过两条直线 和 的交点，且与直线 平行的直线的
座位号 个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
不 方程为（ ）
A． 2x 3y 5 0 B． 2x 3y 5 0 回到军营，怎样走才能使总路最短？试求 x2 1 x2 2x 5最小（ ）
得
C．2x 3y 1 0 D． 2x 3y 1 0 A． 5 B． 10 C．1 5 D． 2 2
答
3.若两条平行线 L1 : x y 1 0，与 L2 : 3x ay c 0 c 0 之间的距离为
题 a 3
2，则 等于（ ） 二、多选题c
A. －2 B. －6 C. 2 D. 0 9.已知空间向量 a 2, 1,1 ，b 3,4,5 ，则下列结论正确的是（ ）
4.已知过点 A( 2,m)和点 B(m, 4)
1 1
的直线为 l1， l2 : y 2x 1, l3 : y x . 若 A. 2a b //a B. 5 a 3 bn n
l 1 / /l2 , l2 l3，则m n的值为（ ）
C. a
5a 6b D. a与b 3夹角的余弦值为
6
A． 10 B． 2 C．0 D．8
10．以下四个命题表述错误的是（ ）
5.如图，在三棱锥P ABC中，△PAC是边长为 3 的正三角形，M 是 AB上一点，
1 2 A．mx 4y 12 0 m RAM MB BC 恒过定点 0,3 ，D为 的中点， N为 PD上一点且 PN PD，则 MN （ ）
2 3
3
B．若直线 l1 : 2mx y 1 0 与 l2 : m 1 x my 2 0互相垂直，则实数m 2
A．5 B．3 C 2．已知直线 l1 : ax y 1 0与 l2 : x ay a 0平行，则 a 1或 1
C． 5 D． 3 3
D．设直线 l的方程为 y xcos 3 0 R ，则直线 l的倾斜角 的取值范围是 ,
4 4
{#{QQABSQSEggAAQBAAAQhCQQkgCgKQkBCACCoOgAAEsAAAgQNABCA=}#}
11.如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 1，E是 DD1的中点，则（ ） 19.已知直线 l : 3x 2y 6 0 .
A. 直线 B1C //平面 A1BD
（1）若直线 l1过点M 1, 2 ，且 l1 l，求直线 l1的方程；
B. B1C BD1
（2）若直线 l2∥ l，且直线 l2与直线 l之间的距离为 13，求直线 l2的方程.
1
C. 三棱锥C1 B1CE的体积为 3
D. 异面直线 B1C与 BD所成的角为 60° 20.如图，OA,OB,OC 两两垂直，OA OC 3,OB 2,M 为 OB的中点，点 N在线段 AC上，AN 2NC .
(1)求 MN的长；
12.．已知 A(1,0)、 B 4,0 ， P为圆C : x2 y2 4上一动点，则（ ）
(2) P BC BP若点 在线段 上，设 ，当 AP MN 时，求实数 的值.
PC
A． S PAB 的最大值为3 B． PA PB 的最大值为9
4
C．A到直线 PB距离的最大值为 D． PB 2 PA
3
三、填空题
13.将直线 l： x 2y 1 0向左平移 3个单位，再向上平移 2个单位得到直线 l ，则直线 l与 l 之 21．三角形 ABC的顶点 B 0,2 ，边 AB上的中线CD所在直线为7x 2y 19 0，A的平分线 AE所
间的距离为__________． 在直线为 x y 1 0．
14.圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3关于直线 3x+5y+6＝0对称的圆的方程为 ． (1)求 A的坐标和直线 AC的方程；
15.在正四面体 P-ABC中，棱长为 2，且 E是棱 AB中点，则 PE BC的值为___________． (2)若 P为直线 AC上的动点，M 1,0 ， N 1,0 ，求 PM 2 PN 2 取得最小值时点 P的坐标．
16.已知过点 P 4,1 的直线 l与 x轴， y轴的正半轴分别交于 A、B两点，O为坐标原点，当 AOB的
22.如图， P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三
面积最小时，直线 l的方程为______．
四、解答题 角形，且边长为 3，点 E在母线 PC上，且 AE 3,CE 1 .
17.已知向量a ( 2, 1,2)，b ( 1,1,2)， c (x, 2, 2) . (1)求证：平面 BED 平面 ABD；
(2)若点M 为线段 PO上的动点．当直线DM 与平面 ABE所成角的
（Ⅰ）当 | c | 2 2 时，若向量 ka b与 c垂直，求实数 x和 k的值；
正弦值最大时，求此时点M 到平面 ABE的距离.
（Ⅱ）若向量 c与向量a，b共面，求实数 x的值.
18.在三棱锥 S ABC中，△ABC是边长为 4 的正三角形，平面 SAC 平面 ABC，SA SC 2 3，M 、
N分别为 AB、SB的中点．
(1)证明： AC SB；
(2)求二面角 N CM B正弦值的大小.
{#{QQABSQSEggAAQBAAAQhCQQkgCgKQkBCACCoOgAAEsAAAgQNABCA=}#}
