2023-2024学年八年级数学上册《第11章 三角形》单元测试题（人教版）
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的（ ）
A．7cm，8cm，15cm B．15cm，20cm，5cm
C．6cm，7cm，5cm D．7cm，6cm，14cm
2．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．35° C．25° D．20°
3．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（ ）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
4．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
5．如图所示，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝27°，则∠AEC的大小应为（ ）
A．23° B．70° C．77° D．80°
6．一个多边形每个外角都是 ，则该多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．若多边形的边数由3增加到n时,其外角和的度数( ).
A．增加 B．减少
C．不变 D．变为
9．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
10．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，内角β为友好角。如果一个"友好三角形"中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形的”友好角β的度数为（ ）
A．108°或27° B．108°或54°
C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．一副三角板如图放置，，，，则 ．
12．若一个多边形的每个外角都是40°，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线．
13．如图，在 中， 点 在 上， ，点 在 的延长线上， ，连接 ，则 的度数为 .
14．如图，在 中， 是边 上任意一点， 、 、 分别是 、 、 的中点， ，则 的值为 .
三、解答题（满分90分）
15．（8分）一块三角尺的形状和尺寸如图所示，如果圆孔的半径是r，三角尺的厚度是h，用式子表示这块三角尺的体积V．若，求V的值（取3）．
16．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长.
17．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝36°，∠C＝70°．求∠EAD的度数．
18．（8分）阅读下列内容，并答题：
我们知道计算n边形的对角线条数公式为，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程=20，去分母得n（n﹣3）=40；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）=40的整数n=8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？
19．（10分）如图， 村在 村的正东方， 村在 村的北偏东 方向，且在 村的西北方， ,垂足为点 ， 村在 上，连接 ，恰好平分 ，那么 村在 村的什么方向？
20．（10分）如图，已知在六边形 中， ， ， ， ， ，求 的度数.（提示：延长 交 的延长线于点 ）
21．（12分）如图，已知：平分，点F是反向延长线上的一点，，．求：和的度数．
22．（12分）如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．
（1）若∠F=80，则∠ABC+∠BCD= ；∠E=
（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F所添加的条件为
23．（14分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图（1）若∠BOD=35°，求∠AOC的度数，若∠AOC=135°，求∠BOD的度数。
（2）如图（2）若∠AOC=140°，求∠BOD的度数
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由．
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、7+8=15，不能组成三角形，故此选项错误；
B、15+5=20，不能组成三角形，故此选项错误；
C、5+6＞7，不能组成三角形，故此选项错误；
D、7+6＜14，不能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边可得答案．
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，
∴∠ADC=∠C，
∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∠DAC=80°，
∴∠ADC=（180°-80°）÷2=50°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=（50÷2）=25°．
故答案为C．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】如图所示：要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，故选：B
【分析】根据三角形的稳定性可得答案．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：依题意得∠A-∠B=∠C，即∠A=∠B+∠C，
又∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴三角形为直角三角形，
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和及∠A=∠B+∠C，求出∠A=90°，即可得到三角形为直角三角形。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABC＝∠C＝27°，
∵∠A＝50°，
∴∠AEB＝180°﹣27°﹣50°＝103°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝77°，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质可求解∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理及平角的定义可求解．
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：边数n＝360°÷72°＝5．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角性质得：边数=外角和÷每个外角的度数。
7．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】根据n边形的对角线条数．
【解答】设多边形有n条边，
则，
n=7或n=-4（负值舍去)．
故选C．
【点评】熟悉n边形的对角线条数的公式，根据条件列方程求解，熟练运用因式分解法解方程．
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的外角和定理即可解决．
【解答】任何多边形的外角和都是360°．故选C．
【点评】多边形的外角和是360度，并不随边数的变化而变化．
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵当三角形中一个内角β是另外一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，内角β为友好角，
∴β=2α；
当α=54°时，则友好角β=2×54°=108°；
当友好角β=54°时，
当β和α都不是54°时，
∴β+α+54°=180°，
∵3α=126°，
解之：α=42°，
∴β=2×42°=84°.
∴这个“友好三角形的”友好角β的度数为54°或84°或108° .
故答案为：D.
【分析】利用友好角的定义可知β=2α；再分情况讨论：当α=54°时；当友好角β=54°时；当β和α都不是54°时，利用β=2α和三角形的内角和定理，分别求出友好角β的度数.
11．【答案】105
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴ ，
， ，
，
故答案为：105.
【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠2=∠A=45°，由内角和定理可得∠D=60°，由外角的性质可得∠1=∠2+∠D，据此计算.
12．【答案】6
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是40°，
∴该多边形的边数为360°÷40°=9，
则从这个多边形的一个顶点出发可以画9﹣3=6条对角线.
故答案为6.
【分析】根据多边形的外角和为360°求得多边形的边数，然后即可求得答案.
13．【答案】45
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
根据题意可知 .
∴ ，
∴ .
故答案为：45.
【分析】根据三角形外角的性质推出 ，再根据余角的的性质求出，结合等腰三角形的性质推出，最后由三角形外角的性质，即可推出结果.
14．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AG的中点，
∴S△ABD= S△ABG，S△ACD= S△AGC，
∴S△ABD+S△ACD= S△ABC=24，
∴S△BCD= S△ABC=24，
∵点E是BD的中点，
∴S△CDE= S△BCD=12，
∵点F是CE的中点，
∴S△DEF= S△CDE=6.
故答案为：6.
【分析】连接CD，利用三角形的中线分得的两三角形的面积相等，可求出S△ABD+S△ACD= S△ABC=24，同理可求出△BCD的面积，再利用点E是BD的中点，可求出△CDE的面积；由点F是CE的中点，可证得S△DEF= S△CDE，代入计算求出△DEF的面积.
15．【答案】解：整个三角板的体积为，圆孔的体积为，
所以，所求三角板的体积，
若a=6cm，r=0.5cm，h=0.2cm，把它们代入上式，得：
．
答：V的值是3.45cm3．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值
【解析】【分析】 利用这块三角尺的体积=三棱柱的体积-圆孔（圆柱）的体积，进行计算即可.
16．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD.
∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm.
∴AC-AB=5cm.
又∵AB+AC=13cm，
∴AC=9cm.
即AC的长度是9m.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据中线的定义知CD=BD.结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm.易求AB的长度.
17．【答案】解： ， ，
，
是角平分线，
，
是高，
，
．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先用三角形的内角和求出∠BAC和∠CAD的度数，再利用角平分线的性质求出∠CAE，再利用∠CAE-∠CAD即可求出∠EAD。
18．【答案】解：（1）方程=14，去分母得：n（n﹣3）=28；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，符合方程的整数n=7，即多边形是七边形．（2）解：A同学说法是不正确的，∵方程=30，去分母得n（n﹣3）=60；符合方程n（n﹣3）=60的正整数n不存在，即多边形的对角线不可能有30条．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】（1）由题意得=14，进而可得n（n﹣3）=28，然后再找出满足积为28且相差3的因数即可；
（2）由题意得=30，进而可得n（n﹣3）=60，然后再找出满足积为60且相差3的因数，发现没有这样的两个数，因此A同学说法是不正确的．
19．【答案】解：根据题意，可得： ， ，
因为在 中， ，
所以 ，
所以 ，
(或利用 与正北方向平行，可得： )
因为 平分 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为在 中， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 村在 村的南偏东
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】在△CAB中，根据三角形内角和定理，可得∠ACB=70°，由角平分线的定义，可得∠ACE=∠ACB=35°，在△CAD中，根据三角形内角和定理，可得∠ACD=25°，利用角的和差关系求出∠DCE的度数即可.
20．【答案】解：如解图，延长 交 的延长线于点 ，
，
，
，
根据多边形内角和可知 ，
，
.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】延长CB与FA的延长线交于点G，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠G，根据垂直的定义可得∠ABG＝90°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAF，即∠D的度数，再根据五边形的内角和公式列方程求解即可.
21．【答案】解：∵平分，
∴．
在中，，
∴．
∵是的外角；
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据三角形的内角和是180°求出∠B=35°，再求出 ，最后计算求解即可。
22．【答案】（1）200°；100°
（2）∠E+∠F=180°．理由如下：
∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，
∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，
∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，
∴∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°
（3）AB∥CD
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠F=80，
∴∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°．
∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，
∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；
∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，
∴∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，
∴∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，
∴∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°
（3）AB∥CD．
故答案为200°；100°；AB∥CD．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°，再由角平分线定义得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．由角平分线定义得出∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA= （∠BAD+∠CDA）=80°，然后根据三角形内角和定理求出∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°；
（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；
（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．
23．【答案】解：（1）若∠BOD=35°，∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，
若∠AOC=135°，
则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠ACB与∠DCE互补．
（4）OD⊥AB时，∠AOD=30°，
CD⊥OB时，∠AOD=45°，
CD⊥AB时，∠AOD=75°，
OC⊥AB时，∠AOD=60°，
即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°；
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（2）根据∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD计算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；
（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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