5.4 二项式定理
【夯实基础】
知识点1 二项式定理
1.若，则( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
2.的展开式中项的系数为( )
A.-2160 B.-1080 C.1080 D.2160
3.若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于( )
A.5 B.7 C.9 D.11
4.二项式的展开式中的系数为( )
A.-21 B.21 C.36 D.-36
5.的展开式中，的系数是__________（用数字填写答案）.
6.已知，则_____.
知识点2 二项式系数的性质
7.在如图所示的杨辉三角中，第11行中的各数的和为( )
A. B. C. D.
8.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个与第15个数的比为2:3.
【提升能力】
9.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( )
A.7 B.-7 C.21 D.-21
10.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A.-540 B.-162 C.162 D.540
11.（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为0
C.常数项为20 D.二项式系数最大的项为第4项
12.（多选）已知，则( )
A. B.
C. D.
13.在的展开式中，的系数为__________.
14.展开式中含有x的整数次幂的项的系数之和为______.（用数字作答）
【综合素养】
15.已知二项式的展开式的二项式项的系数和为64，，则( )
A.20 B.30 C.60 D.80
16.在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第________行会出现三个相邻的数的比为.
答案以及解析
1.答案：B
解析：法一：依题意，令，可得，令，可得，以上两式相加可得，所以，故选B.
法二：二项式的通项为，分别令，可分别得，，，所以，故选B.
2.答案：B
解析：，
由解得，故所求系数为.故选：B.
3.答案：A
解析：，所以，解得（负值舍去）.故选：A.
4.答案：A
解析：二项式的通项公式为：.
所以令，解得，所以展开式中的系数为.
故选：A.
5.答案：
解析：因为的展开式的通项公式为：
，
所以令，解得，
所以的系数是，故答案为：.
6.答案：-280
解析：令，则，
所以条件可整理为：，
所以.故答案为：-280.
7.答案：D
解析：第11行中各数的和为.故选D.
8.答案：34
解析：∵在第行中，即的展开式中，第14个与第15个二项式系数分别为和，即.
9.答案：C
解析：令，则，所以，所以二项式为，
其展开式的通项为，，
当时，可得，
所以展开式中的系数是21.故选：C.
10.答案：A
解析：在中令，则由题意可得，，
解得.的展开式的通项为，
令，得，所以的展开式的常数项为，故选A.
11.答案：ABD
解析：A项，二项式系数和为，故A项正确；
B项，在中令得所有项的系数和为0，故B项正确；
C项，的展开式的通项为，，令得，即展开式的常数项为，故C项错误；
D项，的展开式共有7项，最中间的为第4项，它的二项式系数最大，故D项正确.
12.答案：ACD
解析：A项，在题干所给等式中，令可得，故A项正确；
B项，在题干所给等式中，令可得，所以，故B项错误；
C项，的展开式的通项，，令，得，所以，即，故C项正确；
D项，在两端对x求导，可得，令可得，故D项正确.
13.答案：60
解析：解法一：二项式展开式的通项公式，令，解得，所以的系数为.
解法二：将二项式看成6个多项式相乘，要想出现项，则先在2个多项式中分别取，然后在余下的多项式中都取，相乘，即，所以的系数为60.
14.答案：72
解析：由题意得展开式的通项为，，
当时为整数，此时为含x的整数次幂的项，
所以展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为，
故答案为：72.
15.答案：C
解析：二项式的展开式的二项式项的系数和为64，可得，，，设，，，可得，可知.故选C.
16.答案：63
解析：根据题意，设所求的行数为，则存在自然数k，使得且，化简得且，解得，.故第63行会出现满足条件的三个相邻的数.
