6.5 正态分布
【夯实基础】
知识点 正态分布
1.已知随机变量，且，则( )
A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.9
2.已知随机变量且，则( )
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
3.已知随机变量X服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
4.2021年7月，上海天文馆开馆.假设开馆后的1个月内，每天的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，该馆的游客人数不超过2210的概率为( )
(参考数据：若，则，，)
A.0.99865 B.0.9973 C.0.9772 D.0.00135
5.设随机变量，若，则______.
6.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成责不低于90分的人数为______.
7.良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为小时的学生人数约为_____________.（结果四舍五入保留整数）
（附：若，则，，）
【提升能力】
8.某中学为做到学校疫情防控常态化，切实保障学生的身体健康，组织1000名学生进行了一次“防疫知识测试”（满分100分）.测试后，对学生的成绩进行统计和分析，结果如下：学生的平均成绩为，方差为.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中近似为样本平均数，近似为样本方差），则估计获表彰的学生人数为____________.（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量X服从正态分布，则有，，.
9.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6
10.我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山滑雪运动将给我们以速度与激情的完美展现.已知某选手高山滑雪的速度服从正态分布，若在内的概率为0.7，则该选手的速度超过120的概率为( )
A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2
11.（多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中
C.甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中
12.（多选）已知随机变量X服从正态分布，则下列结论正确的是( )(若随机变量Y服从正态分布，则，，)
A. B.
C. D.
13.在一批零件中抽取n个零件，并测量其尺寸，已知这批零件的尺寸规格为，若误差，为使这批零件的尺寸（单位：mm）在内的概率不小于0.9974，则正整数n的最小值为_____________.（若，则）
14.某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布.若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为____________.
【综合素养】
15.已知随机变量，且，则的最小值为( )
A.9 B.8 C. D.6
16.2021年，中国共产党迎来百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，教育引导党员干部学党史、悟思想、办实事、开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及数学期望.
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
参考数据：，，，.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以，所以，故选A.
2.答案：D
解析：由正态分布性质知，所以
.
3.答案：D
解析：∵随机变量X服从正态分布，
∴正态曲线关于直线对称，又，
，故选D.
4.答案：A
解析：因为该天文馆开馆后1个月内每天的游客人数X服从正态分布，所以，
所以，所以.
故选：A.
5.答案：0.68
解析：由正态分布的性质可知，所以.
6.答案：80
解析：因为X近似服从正态分布，且，
所以，
所以估计该校数学成绩不低于90分的人数为.
7.答案：26
解析：由题意，，则，，所以，则每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为26.
8.答案：23
解析：因为学生的平均成绩为，方差为，所以X近似服从正态分布，，所以估计获表彰的学生有（人）.
9.答案：D
解析：随机变量服从正态分布，，.
10.答案：C
解析：由题意，可得，且，，，即该选手的速度超过120的概率为0.15.故选C.
11.答案：BC
解析：由图像可知，甲类水果质量的均值，乙类水果质量的均值，且，则B，C正确，A，D不正确.故选BC.
12.答案：ABC
解析：随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，
根据题意可得，，，
，故C正确；
，
故D错误.易知A，B都正确.故选ABC.
13.答案：50
解析：零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，等价于误差在内的概率不小于0.9974，则，且，所以，解得.
14.答案：
解析：根据正态曲线的对称性，每个安检入口每天超过1100人的概率为，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为.
15.答案：B
解析：由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B.
16.答案：（1）的分布列见解析，
（2）在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79
解析：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，
，
则的分布列为：
0 1 2
P
数学期望.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有k个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，；
当时，，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
