人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
2． 设椭圆 的离心率分别为.若 ， 则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知分别是椭圆的左，右焦点，M，N是椭圆上两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．分别是双曲线的左 右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且在以为圆心 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知双曲线，则（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标是
C．离心率为 D．实轴长为4
10．若抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上且在第一象限，直线的斜率为，在直线上的射影为，则下列选项正确的是（ ）
A．到直线的距离为 B．的面积为
C．的垂直平分线过点 D．以为直径的圆过点
11．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（ ）
A．的周长为 B．
C．平分线的斜率为 D．椭圆的离心率为
12．已知为抛物线的顶点，直线交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点，则N，O，P三点不共线
B．若直线过焦点，则
C．若直线过焦点，则抛物线在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若，则直线恒过点
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 ．
14．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
15．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
16．过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于两点，点在抛物线准线上的射影分别为，，点P在抛物线的准线上.若AP是的角平分线，则点P到直线l的距离为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
18．已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
19．已知双曲线C：的离心率为，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动点M，N在双曲线C上，直线PM，PN与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线MN上，，证明：存在定点T，使得为定值．
20．已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.
（1）求p和m；
（2）若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
21．如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求使取最小值时直线的方程．
22．已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
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人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 培优卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故答案为：D．
2． 设椭圆 的离心率分别为.若 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意结合可得，
又∵，即，解得.
故选：A
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知条件可得双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为又因为 一条渐近线方程为 ，即y=2x，所以
故答案为：D
4．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为抛物线方程为：，即，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
又因为抛物线上的点M到其焦点的距离为2，即，
所以，即点M的横坐标为，
故选：C.
5．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得 ，点 在垂直平方线上，，即， ，解得 .
故答案为：A.
6．已知分别是椭圆的左，右焦点，M，N是椭圆上两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：连接，设
，则，
因为，即，则
，
可得，解得，
所以
，
在
中，因为，
可得
，则，所以椭圆的离心率为.
故答案为：C.
7．分别是双曲线的左 右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且在以为圆心 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】解： 与关于渐近线的对称，又为，中点，与渐近线平行， ，
，
，即，
，化简得
双曲线的离心率.
故答案为：D.
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设椭圆的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c，
故其方程为：，
令，则，结合A在y轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，可得直线.
设，
因为A在y轴的正半轴上，在x轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，整理得到：，故，
故答案为：D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知双曲线，则（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标是
C．离心率为 D．实轴长为4
【答案】A,B,D
【解析】由双曲线方程为：，焦点在轴，
所以，
所以渐近线方程为，A符合题意，
焦点坐标为，B符合题意，
离心率为：，C不符合题意，
实轴长为：，D符合题意，
故答案为：ABD.
10．若抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上且在第一象限，直线的斜率为，在直线上的射影为，则下列选项正确的是（ ）
A．到直线的距离为 B．的面积为
C．的垂直平分线过点 D．以为直径的圆过点
【答案】B,C
【解析】解：
对A：因为抛物线的焦点，直线即为，
所以 到直线的距离为 ，故A错误；
对B，直线MF方程为，
联立方程，解得或，
且点M在第一象限，即，可知，
所以，故B正确；
对C：根据抛物线定义可知，则AF的垂直平分线过点M，故C正确；
对D：因为，可知MF的中点为，且，
所以以MF为直径的圆的圆心，半径为2，
可知以MF为直径的圆到y轴的距离为2，故圆与y轴的唯一交点为，故D错误.
故答案为：BC.
11．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（ ）
A．的周长为 B．
C．平分线的斜率为 D．椭圆的离心率为
【答案】A,B,D
【解析】由点F1关于∠F1MF2平分线的对称点N在直线MF2上，又点F1关于∠F1MF2平分线的对称点N也在椭圆E上，得点N为直线MF2与椭圆E的交点，故△F1MN的周长为4a，可得A正确；
设∠F1MF2的平分线交F1N于点D，
设，则，即得，
故，又得
设|NF1| =2n，则|NM|=3n=|MF1|，
得|NF1|+|NM|+|MF1|= 8n=4a，即，可得B正确；
在△F1MF2，由余弦定理可得：|F1F2|2=|MF1|2 +|MF2|2-2|MF1| |MF2 |cos2a
得，即a2=3c2，可得，可得D正确；
不妨设点M在x轴上方，由题意可知，点N在椭圆的下顶点处，则N(0，b)，
由a2=3c2=3（a2-b2），得，，即kMN=，
设直线MD的倾斜角为θ，则
由对称性知 平分线的斜率为 或，可得C不正确.
故选：ABD.
12．已知为抛物线的顶点，直线交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点，则N，O，P三点不共线
B．若直线过焦点，则
C．若直线过焦点，则抛物线在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若，则直线恒过点
【答案】B,C,D
【解析】解：设直线，，
联立方程，消去x得，
则，
对于A：若直线l过焦点，即，可得，
又因为，则，
则，
所以，即N，O，P三点共线，故A错误；
对于B：如图，若直线l过焦点，由抛物线的定义和平行线的性质知：
，
可得，即 ，故B正确；
对于C：设与抛物线C相切的切线方程为，
联立方程，消去x得，
因为相切，则，可得，
所以与抛物线C相切的切线方程为，
将点M坐标代入方程可得，解得，
所以过点 M的切线方程为，
同理可得：过点N的切线方程为，
联立方程，解得：
所以抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线上，故C正确；
对于D：若，则，解得，
则，所以直线l恒过点(2p，0)，故D正确.
故答案为：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】解： 由题意得，解得，即且
故答案为：且.
【分析】根据椭圆的定义列出方程组，求解可得实数k的取值范围.
14．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】解：由题意可知：，可得，
所以 双曲线的离心率为.
故答案为：.
15．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】
【解析】解：在双曲线中，，，a=2，
则
又
由双曲线的定义可得，
解得|PF2|=2，则|PF1|=6，
故
故 的大小为.
故答案为：.
16．过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于两点，点在抛物线准线上的射影分别为，，点P在抛物线的准线上.若AP是的角平分线，则点P到直线l的距离为 .
【答案】5
【解析】如图，连，，
由抛物线的定义可知，，又，，
所以，所以，，即，
所以就是点P到直线l的距离，
因为，，，
所以，所以，
所以，又，所以.
故点P到直线l的距离为.
故答案为：5
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
【答案】（1）解：设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为
（2）解：当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或
18．已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】（1）解：由椭圆的定义可得，
所以，，又因为，则，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即.
联立可得，解得，，
所以，.
19．已知双曲线C：的离心率为，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动点M，N在双曲线C上，直线PM，PN与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线MN上，，证明：存在定点T，使得为定值．
【答案】（1）解：由题意知：解得，
所以双曲线的方程为．
（2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，，
联立整理得，
则，，，．
直线PM，PN与轴相交的两点分别为，，
所以直线的方程为，
令，则，同理．
可得，所以，
，
所以，
所以，
所以，，
当时，，
此时直线MN方程为，恒过定点，不合题意，
所以，直线的方程为，恒过定点．
因为，设的中点为，所以，
所以为定值，所以存在使为定值．
20．已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.
（1）求p和m；
（2）若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
【答案】（1）解：设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得.
故抛物线C：.
因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以
（2）解：设，，，直线的斜率为，直线的斜率为.
易知，一定存在，则，.
由，得，即，化简得，即
因为D到抛物线C的准线的距离，所以，
则，即，.
，即，
解得或，则或.
故点D的坐标为或.
21．如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求使取最小值时直线的方程．
【答案】（1）解：由题意知，又
a2=b2+c2，解得a=2，b=，
∴椭圆方程为.
（2）解：①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，
另一条弦所在直线的斜率不存在，
由题意知|AB|+|CD|=7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，
设直线AB的方程为y=k(x一1)，
则直线CD的方程为，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入祁有圆方程中并整理得
(3+4x2)x2-8k2x+4x2-12=0，
则，
∴，
同理，，
∴==≥=，
当且仅当，即时，上式取等号，
∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
22．已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）解： 由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为，
所以右焦点到渐近线的距离，
又因为，所以，则依题意可得，
由离心率，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）解： 如图所示，
由（1）知，，
设直线的方程：，
由得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以解得，
，
所以，
设，且，
所以，即，所以，
又因为，所以，
由，得，
所以，同理可得，
由得，
所以，同理可得，
所以
，
令，由，得，
所以，
令，
因为在区间上为增函数，
所以的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围为.
()
