石嘴山市重点中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试卷
时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若全集且，则集合的真子集共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数的定义域为
A. B. C. D.
4. 已知集合，若，则中所有元素之和为
A. B. C. D.
5. 如果，，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
6. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
7. 设，则的值是( )
A. B. C. D.
8. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设集合，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是( )
A. B. 或 C. D.
10. 下列说法正确的是( )
A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B. “”是“”的充要条件
C. 命题“，”的否定是“，”
D. “”是“”的充分不必要条件
11. 下列结论错误的是( )
A. 若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为；
B. 不等式在上恒成立的条件是且；
C. 若关于的不等式的解集为，则；
D. 不等式的解为．
12. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，当时，都有；则下列选项成立的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. ，，使得
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 ．
14. 若函数在处取最小值，则________．
15. 若关于的方程的一个根大于、另一个根小于，则实数的取值范围为______．
16. 若“ ，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知实数：，：
若，那么是的什么条件；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知集合，集合．
若，求集合；
，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知是定义在上的偶函数，且当时，．
求的解析式；
若，求实数的取值范围．
20. 本小题分
全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为矩形市民休闲广场全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为的草坪，南北边缘都留有的空地栽植花木．
设占用空地面积为单位：，矩形休闲广场东西距离为单位：，，试用表示为的函数；
当为多少，用占用空地的面积最少？并求最小值．
21. 本小题分
已知恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式．
22. 本小题分
已知二次函数在上的最小值为，．
求的解析式：
若在区间上不单调，求的取值范围；
若，试求的最小值．答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查集合的补集运算及集合的真子集个数求解，属于基础题目．
由集合的补集运算得出集合，由集合中的元素个数得出集合的真子集个数即可．
【解答】解：，，
，
集合的真子集共有个，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题“，”的否定是，
故选A
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域及其求法，对数函数的定义域，解题时应根据函数的解析式进行解答，是基础题
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】
解：函数，
，解得；
函数的定义域是 ， ，
故选 B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，考查集合中元素的性质，属于基础题．
根据元素与集合的关系，求得的值，得到，即可得到答案．
【解答】
解：若，则，不满足集合中元素的互异性，不符合；
若，则，不满足集合中元素的互异性，不符合；
若，则，取，，
故中所有元素之和为，
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，属于基础题．
根据已知条件分别对、、、，四个选项利用特殊值代入进行求解．
【解答】
解：、如果，，那么，，故A正确；
B、取，，可得，故B错误；
C、取，，可得，故C错误；
D、取，，可得，故D错误；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
则．
故选：．
先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题以分段函数为载体，考查函数的解析式以及函数值的计算，属于较难题．
根据题意代值计算即可．
【解答】
解：由题意，而，
计算可知
所以
从而
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题与集合相结合的题目，以及对含有全称量词命题的理解．
解题的关键是明确充分不必要条件的定义，首先找到使命题成立的充要条件，再结合选项即可得解．
【解答】
解：命题“”为真命题，
可化为命题“”恒成立，
即只需，
命题“”为真命题的一个充要条件是，
而要找的一个充分不必要条件，即为集合的真子集，
由选项可知符合题意．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：，，
要使，则或，解得或，
结合选项可得，实数的取值范围可以是或．
故选：．
由题意可得或，由此求得的范围，结合选项得答案．
本题考查交集及其运算，考查化归与转化思想，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题，例如，则，故A错误．
对于：“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误．
对于：命题“，”的否定是“，”，故C正确．
对于：“当”时，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：．
直接利用举例法和充分条件和必要条件及命题的否定的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：举例法的应用，命题真假的判定，充分条件和必要条件，命题的否定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质与一元二次不等式恒成立和有解问题的解法，考查了分式不等式，属于基础题．
由一元二次函数的图象、方程和不等式之间的关系能判定、、，由分式不等式能确定选项D．
【解答】
解：对于选项 A，函数对应的方程没有根，若，则解集为，若，则解集为空集，故选项A错误
对于选项 B，不等式可知图像开口向下，说明并且至多与轴有一个交点，故，故选项B正确；
对于选项C，当时，，显然不符合题意，当时，由二次函数的图象特点可知，解得，故选项C正确；
对于选项D，，解得，故选项D错误；
故选AD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数，不等式求解，函数的最值，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性和数形结合思想．
结合题目条件得函数为偶函数，在上单调递减，利用偶函数在上单调递减对进行判断，利用偶函数在上单调递减，结合题目条件得，再利用不等式求解，对进行判断，利用题目条件作出函数的图象，再利用数形结合和不等式求解，对进行判断，利用的图象，结合函数的最值，对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：因为函数定义在上的函数，
所以由：，得函数为偶函数．
又因为由知：，，当时，都有，
因此，，不妨设 ，有，即，
所以函数在上单调递减．
对于、因为函数为偶函数，所以，
而函数在上单调递减，因此，
即，因此A正确；
对于、因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且，
所以，解得或，因此不正确；
对于、因为，函数为偶函数，所以．
因为函数为偶函数，在单调递减，
所以作函数的草图如下：
所以由，得或，因此C正确；
对于、由知：是函数的最大值，
因此，，使得，因此D正确，
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
分，，由方程有两个不等实数根可得结果．
【解答】解：当时，不成立；
当时，因为的解集不是空集，
结合题意方程有两不等实数根，即 ，
解得．
故答案为．
14.【答案】
15.【答案】
【解析】解：关于的方程的一个根大于、另一个根小于，令，
则，求得，
故答案为：．
令，则由题意可得，求得的范围．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，基本不等式求最值的应用，体现了等价转化数学思想，属中档题．
根据题意在上恒成立”是真命题，即，利用基本不等式求出在上的最小值即可．
【解答】
解：命题“，使成立”是假命题，
即在上恒成立”是真命题，
即，则只需求的最小值即可，
，当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围是，
故答案为．
17.【答案】解：实数：，解得：，
：，解得：，
令，，
Ⅰ若，则，
因为，所以是的必要不充分条件；
Ⅱ若是的充分不必要条件，
即，则，解得：，
实数的取值范围．
【解析】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．
Ⅰ分别解出关于，的不等式，将代入，结合集合的包含关系判断，的充分必要性即可；
Ⅱ根据集合的包含关系解出关于的不等式组，从而求出的范围．
18.【答案】解：当时，，
所以或，
所以或．
当时，满足，
此时，
即；
当时，满足，
则应有
所以．
综上，实数的取值范围为．
【解析】本题考查了交集、补集的运算，含参数的集合关系问题，属于基础题．
由补集和交集运算求解即可；
分和两种情况讨论，由建立不等式组求解即可．
19.【答案】解：当时，，
所以；
当时，，因此当时，该函数单调递增，
因为是定义在上的偶函数，且当时，该函数单调递增，
所以由，
因此或，
所以实数的取值范围是或．
【解析】本题考查函数的解析式，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间．
利用函数的奇偶性易求出函数的解析式，
利用函数的单调性及奇偶性，由得出，两边平方即可解出的取值范围．
20.【答案】解：因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，
所以；
由知，
当且仅当时，等号成立．
即当休闲广场东西距离为时，用地最小值为．
【解析】本题主要考查函数模型以及利用基本不等式求最值，属于基础题．
由广场面积可得矩形广场的南北距离为，进而可求得结果；
根据基本不等式可求得结果．
21.【答案】解：因为恒成立．
当时，恒成立，合乎题意；
当时，则，解得．
综上所述，．
由得
当时，即当时，原不等式的解集为；
当时，即当时，原不等式的解集为；
当时，即当时，原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【解析】【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可，在时，由已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
将所求不等式变形为，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集．
22.【答案】解：是二次函数，且，
图象的对称轴为，
又的最小值为，设，
又，，
．
要使在区间上不单调，则，
解得，故实数的取值范围是．
由知，图象的对称轴为，
若，则在上是增函数，
若，即，则在上是减函数，
若，即，则．
综上：．
【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．属于中档题．
由已知可得函数图象的顶点为，设函数的顶点式，将代入，可得的解析式；
若在区间上不单调，则，解得实数的取值范围；
结合二次函数的图象和性质，分析动区间与定轴的位置，可得函数在区间上的最小值的分段函数，可得答案．
