湖北省部分高中高二九月联考 转动）时， PA QC的最小值为（ ）
A．-39 B．-48
数 学 试 题 C．-57 D．-60
★祝考试顺利★ 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
合题目要求的。 9．下列说法正确的有（ ）
1．已知直线 l1 : 2x 2y 1 0,l2 : 4x ny 3 0 ，l3：mx 6y 1 0，若 l //l 且 l l ，则m n的值为（ ） A．若直线 y kx b1 2 1 3 经过第一、二、四象限，则 k,b 在第二象限
A．10 B． 10 C．2 D． 2 B．直线 kx y 2k 3 0不过定点
2．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间 0,10 内 C．过点(2,-1)，且斜率为 3的直线的点斜式方程为 y 1 3 x 2
的一个数来表示，该数越接近 10表示满意度越高．现随机抽取 10位某市居民，他们的幸福感指数
D．斜率为 2，且在 y轴上的截距为3的直线方程为 y 2x 3
为 3，4，5，5，6，7，7，8，10，11则这组数据的第 80百分位数是（ ）
A．7.5 B．8 C．8.5 D．9 10．在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 a 1, A
，则（ ）
33 ．已知三棱锥O ABC中，点 M为棱OA的中点，点 G为 ABC的重心，设OA a，OB b，OC c， A．b 2sinB B． sinB bsinA
则向量MG （ ） uuur uuurC． ABC 1周长的最大值为 3 D． AB AC的最大值为
1 1
2
a b 1 c 1 a 1
b 1 1 1
1 1 1 1
A． B． c C． a b c D． a b c 11．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字 1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两
6 3 3 6 3 3 6 3 3 6 3 3
4 2 次，记事件 A为“第一次向下的数字为 2 或 3”，事件 B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件 C．从装有 个红球、4 个白球的袋子中任意摸出 2 个球，事件 A “至少有 1个红球”，事件 B “至
1 为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于 15”，则下列结论正确的是（ ）多有 个白球”，则（ ）
A．事件 A与事件 B相互独立 B．事件 A与事件 B互斥
A． P A P B B． P A P B C．P A B P A P B D． P A P B 1
3 5
5．数学家欧拉 1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同 C． P A B D． P C 4 8
一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为 A 3,1 ， B 4,2 ，C 2,3 ，则 12．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 1，点 M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的
△ABC的欧拉线方程为（ ） 是（ ）
A． x y 5 0 B． x y 5 0 C． x y 1 0 D． x 2y 7 0 A．若 M为棱CC1的中点，则直线 AC1 平面 BDM
6．一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水面在 B．若 M在线段 BC1上运动，则CM MD1的最小值为2 2
容器中形成的所有可能的形状是（ ） π
①三角形 ②非正方形的菱形 ③五边形 ④正方形 ⑤正六边形 C
5
．当 M与D1重合时，以 M为球心， 为半径的球与侧面 BB1C1C的交线长为2 4
A．②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②③④⑤ D．若 M在线段BD1上运动，则 M到直线CC1的最短距离为1
7．定义空间两个向量的一种运算 a b a b sin a,b ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立 三、填空题：本題共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
的是（ ） 13．若直线 l的一个方向向量为（1, 3），则它的倾斜角为 ．
A． a b a b B． a b c a b c 14 ．已知 a (2, 1,3),b ( 1,4,2),c ( 3,5, ) ，若 a,b,c三向量共面，则实数 = ．
C． a b c r r a c b c D．若 a = (x1, y1)， b = (x2 , y2)，则 a b x1y x y 15．某校高二年级有男生 400人和女生 600人，为分析某次数学专题测试成绩，将男女按比例分层随机2 2 1
8．八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图 1），其轮廓分别为正八边形 抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为 80分，方差为 10，女生的平均成绩为 60分，
ABCDEFGH和圆O（图 2），其中正八边形的中心是点O，鱼眼（黑白两点） P、Q是圆O半径的 方差为 20，由此可以估计该校高二年级此次数学专题测试成绩的方差为
中点，且关于点O对称．若OA 8 2 ，圆O的半径为 6，当太极图转动（即圆面O及其内部点绕点O
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16．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为 21．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”
Y
矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马 P ABCD（如图）， 的计算公式为 L 1 ，其中 L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为 100分或
W
PA 平面 ABCD，PA AB 2，AD 6，点 E，F 分别在 AB， 150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共 5套测试卷（总分 150分），用于对该校高二年级 480
BC PEFD P ADF 名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：上，当空间四边形 的周长最小时，三棱锥 外
试卷序号 i 1 2 3 4 5
接球的表面积为 .
考前预估难度系数 Li 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 测试后，随机抽取了 50名学生的数据进行统计，结果如下：
17．（1）求经过点 A 2,1 ，且在 x轴上的截距和 y轴上的截距相等的直线的方程． 试卷序号 i 1 2 3 4 5
（2）己知 ABC的顶点 A 2,1 ， AB边上的中线CM 所在的直线方程为 2x y 1 0， AC边上的高
平均分/分 102 99 93 93 87
BH 所在直线方程为 x y 0，求直线 BC的方程；
（1）根据试卷 2的预估难度系数估计这 480名学生第 2套试卷的平均分；
（2）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设 Li 为第 i套试卷的实测难度系数，并
S 1定义统计量 L1 L1
2 L 22 L2 Ln L
2
n ， 若 S 0.001，则认为试卷的难度系数预估合n
理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这 5套试卷难度系数的预估是否合理．
18．在 ABC中， a,b,c分别为内角 A，B，C的对边， acosC 2b c cos A 0 ． （3）聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则
（1）求A； 如下：双方轮换选题，每人每次只选 1道题，先正确解答者记 1分，否则计 0分，先多得 2分者为胜方。
7 2 1
（2）若D是线段BC的中点，且 AD ， AC 5，求 ABC的面积． 若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为 3 ，明明选题时聪聪得分的概率为 2 ，各题的结果相互2
独立，二人约定从 0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪 3:1获胜的概率 .
19．已知函数 f (x) ax2 bx 1，集合 P {1,2,3,4},Q {2,4,6,8}，若分别从集合 P，Q中随机抽取一个
数 a和 b，构成数对 (a ,b)．
（1）记事件 A为“函数 f x 的单调递增区间为 1, ”，求事件 A的概率；
（2）记事件 B为“方程 f x 2 有 4个根”，求事件 B的概率． 22．如图，菱形 ABCD的边长为 2， BAD 60 ，E为 AB的中点．将V ADE沿 DE折起，使 A到达 A ，
连接 A B， A C，得到四棱锥 A BCDE．
（1）证明：DE A B；
π 2π
（2）当二面角 A DE B的平面角在
, 内变化
3 3
时，求直线 A C与平面 A DE所成角的正弦值的取值范围．
20．如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧面
π
PAD为等腰直角三角形，且 PAD ，点 F 为棱 PC上的点，平面
2
ADF与棱 PB交于点 E．
（1）求证： EF //AD；
（2）若 PB FD， AE 2，求证：平面 PAD 平面 ABCD．
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{#{QQABJQQEggAgQBAAAAhCQQVwCgEQkAAACIoOxAAIMAAAgRNABCA=}#}2022级高二湖北省部分高中九月联考
数学参考答案
1．D 2．D 3．A 4．B 5．A 6． C 7．D 8．C 9． AC 10．BCD 11． ACD 12．AC
13．60或 14． 15． 16．
17．【详解】（1）设直线在轴上的截距分别为，
当时，直线经过原点，则直线斜率，
直线方程为，即；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）
当时，可设直线方程为，则，
直线方程为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）
（2）由题意知：点在直线上，则可设，
中点为，，解得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）
，，直线方程为：，即，
由得：，即；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）
直线的方程为：，即；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）
18．【详解】解：（1）因为，
所以根据正弦定理边角互化得，
整理得，即，
因为，
所以，
所以；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）
（2）法一：如图，取中点，连接，
因为是线段的中点，
所以，
因为，，，，
所以在中，，
所以，设，
代入数据整理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）
解得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）
所以的面积为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
法2： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）
即 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
19．【详解】（1）由题知，所以，数对的可能取值为：
共16对．．（2分）
若函数的单调递增区间为，则函数的对称轴为，即
所以，满足条件的基本事件有：，共4对，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）
所以，事件A的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）
（2）因为，二次函数开口向上，
所以，方程有4个根，即为和各有2个根，
所以，二次函数的最小值小于．
所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）
满足条件的基本事件有：，共11对，（10分）
所以，事件B的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
20．【详解】（1）因为底面是正方形，所以，
平面，平面，所以平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）
又因为平面与交于点，平面，
平面平面， 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）
（2）侧面为等腰直角三角形，且，即，，
因为，，且两直线在平面内，可得平面，
因为平面，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）
又因为，，且两直线在平面内，
则平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）
因为平面，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）
因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点．
又因为，所以为等腰直角三角形，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）
因为平面，
所以平面，因为平面，所以面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
21．解：（1）由试卷2的难度系数得，
解得平均失分，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）
所以根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分为分；．．．．．．．．．．（4分）
（2），
，
，
，
，
则
，
所以这5套试卷难度系数的预估合理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）
（3）聪聪先答对第一题：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）
聪聪没先答对第一题：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
22．【详解】（1）在菱形中，因为为的中点，，所以，．．．．．．．．（2分）
在翻折过程中，恒有，，
又，平面，所以平面，
而平面，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）
（2）由（1）知为二面角的平面角，记其为，则，
以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
， ,
设平面的法向量，则，得
令，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）
，则．．．．．．．．（7分）
则上式
令，，得．
，
当且仅当时，等号成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）
设直线与平面所成角为 ，则
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
当时，，当时，
因为，所以直线与平面所成角的正弦值的范围为．．．．（12分）
试卷第1页，共3页
