人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度
2．为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
4．已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
6．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
9．下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．三个向量共面，即它们所在的直线共面
C．若，则存在唯一的实数，使
D．零向量是模为，方向任意的向量
10．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
11．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
12．下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
二、填空题
13．已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数__________．
14．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，，则的值为______．
15．“A，B，C，D四点构成平行四边形”是“”的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
16．下面几个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若向量满足，则．
其中正确命题的是________
17．已知，若，则________.
三、解答题
18．判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若向量与同向，且||>||，则>；
②若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意||＝||，且与的方向相同，则＝；
④向量与向量平行，则向量与方向相同或相反．
19．如图所示，已知向量，求作向量．
20．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
21．判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量 与 同向，且，则；
（2）若向，则 与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若 与的方向相同，则 =；
（4）由于 方向不确定，故 不与任意向量平行；
（5）向量 与平行，则向量 与方向相同或相反．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
解：向量是既有大小，又有方向的量，
海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
加速度是向量，
故选：．
2．B
共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.
分别表示与同方向的向量，
，则有共线，
而共线，则的方向不一定相同，即两向量不一定相等，
“”为“共线”的充分不必要条件.
故选:B.
本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.
3．D
根据向量的基本概念辨析可知.
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确.
故选：D
4．C
根据单位向量的概念进行分析即可.
单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，
故选：C．
5．B
根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
6．C
既有方向，又有大小的量为向量
①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.
故选：C
7．D
根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
8．D
根据向量相等、向量共线的定义或性质，结合各选项的描述判断正误即可.
A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；
B：时，，不一定相等，错误；
C：若为零向量时，，不一定有，错误；
D：说明，同向，即，正确.
故选：D
9．D
假设为零向量，即可判断A选项；根据向量的特征，可判断B选项；根据共线向量定理，可判断C选项；根据零向量的定义，可判断D选项.
A选项，若，则根据零向量方向的任意性，可的与共线，与共线；但与不一定共线，故A错；
B选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；
C选项，根据共线向量定理，若，其中，则存在唯一的实数使；故C错；
D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为，方向任意的向量；即D正确.
故选：D.
本题主要考查向量相关命题的判定，熟记向量的概念，向量的特征，以及共线向量定理即可，属于基础题型.
10．A
根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
11．D
表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
12．B
利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.
对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
13．
根据向量的共线定理表示出与的关系，然后列出关于的方程组求解出的值即可.
因为与共线，设，
又因为不共线，所以，所以，
故答案为：.
本题考查根据向量共线求解参数值，难度较易.向量与非零向量共线时，有且仅有一个实数使得.
14．
设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，用坐标表示，即可求出的值，进而得到答案．
设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，，，则，，，
即，
则即，解得，，则.
本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题．
15．既不充分也不必要
分析由“A，B，C，D四点构成平行四边形”与“”构成的互逆的两个命题的真假即可作答.
当时，A，B，C，D可能共线，即A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形，
当A，B，C，D四点构成平行四边形时，.A，B，C，D作为平行四边形的顶点在不同的位置下，也不一定有，
所以“A，B，C，D四点构成平行四边形”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要
16．①
对于①，由相等向量的定义判断即可；对于②，若，则可得，而不是向量为零；对于③，当两向量的模相等时，不一定有两个向量相等；对于④，当两共线向量的模相等时，则这两向量相等或是相反向量
解：对于①，由相等向量的定义可知，时，则有，所以①正确；
对于②，当时，则有，所以②错误；
对于③，当时，与的方向不一定相同，所以③错误；
对于④，当向量满足时，有或，所以④错误．
故答案为：①
17．
由勾股定理可知，，即.
故答案为：.
18．①不正确；②不正确；③正确；④不正确，理由见解析.
根据向量的概念判断①，根据向量模的概念判断②，根据向量相等判断③根据共线向量判断④.
①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．
它由两个因素来确定，即大小与方向，
所以两个向量不能比较大小，故①不正确．
②不正确．由||＝||只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．
③正确．因为||＝||，且a与b同向．由两向量相等的条件可得＝.
④不正确．因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不确定．
19．答案见解析
平面内将的起点都移至O点，令，即可作.
如图所示，在平面内任取一点O，，
∴，即为所求．
20．（1）5；（2）2.
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
21．（1）不正确，理由见解析 （2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析 （4）不正确，理由见解析 （5） 不正确，理由见解析
（1）根据平面向量的定义判断.（2）只能判断两向量长度相等，方向不确定.（3）根据平面向量的定义判断.（4）规定：与任意向量平行（5）考虑零向量的情况.
（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
（3）正确．因为|，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =
（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．
（5）不正确．因为向量 与若有一个是零向量，则其方向不定．
本题主要考查平面向量的相关概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
