浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标
4.2平面直角坐标系（2）
【知识重点】
一、根据已知条件建立适当的直角坐标系解决实际问题：
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有严格的规定，但有以下几条常用的方法：
1.以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；
2.以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；
3.以已知线段中点为原点；
4.以两直线交点为原点；
5.利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等.
二、平行（或垂直）于坐标轴的直线上的点有如下特征：
1.平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的各点的纵坐标相等（等于这条直线与y轴的交点在y轴上的坐标）， 横坐标不相等；若
2.平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的各点的横坐标相等（等于这条直线与x轴的交点在x轴上的坐标）， 纵坐标不相等.
三、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
1.第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，一般记为（a,a）
2.第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相反，一般记为（a,a）
【经典例题】
【例1】若 ，则点（x，y）在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【例2】已知点的坐标为， 下列说法正确的是（ ）
A．若点在轴上， 则
B．若点在一三象限角平分线上， 则
C．若点到轴的距离是3 ， 则
D．若点在第四象限， 则的值可以为-2
【例3】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2018,2） B．（2019,0） C．（2019,1） D．（2019,2）
【例4】如图,将一块含 45° 角的直角三角板 放置在直角坐标系中，直角顶点 ,点 在第一象限，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【例5】在平面直角坐标系中，已知 ， ，则该平面直角坐标系中满足“ 为 且两条直角边长之比为 ”的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例6】仔细观察图形，以点为圆心的弧线与x轴交于P点，则P点的坐标为 .
【例7】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是 ．
【例8】如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，点B的纵坐标是4，则B点的横坐标是 .
【例9】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于点B（0，b），且（a﹣3）2+|b+4|=0，S四边形AOBC=16，求C点坐标．
【例10】已知当、都是实数，且满足，则称点为“智慧点”．
（1）判断点是否为“智慧点”，并说明理由．
（2）若点是“智慧点”．请判断点在第几象限？并说明理由．
【例11】如图，是规格为8×8的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为；
（2）在网格上，找一格点C，使点C与线段AB组成等腰三角形，这样的C点共有 个；
（3）在（1）（2）的前提下，在第四象限中，当是以AB为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，的周长是 ，面积是 .
【基础训练】
1．如图，已知小华的坐标为，小亮坐标为，则小东坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（3，5） D．（﹣1，5）
3．如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣1）
4．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则点 一定在第二、第四象限角平分线上
B．点 到 轴的距离为
C．若 中 ，则 点在 轴上
D．点 可能在第二象限
5．在平面直角坐标系内，已知点在第三象限的角平分线上，则点P的坐标为 ．
6．如图，△ABO是边长为4的等边三角形，则A点的坐标是 ．
7．如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（2，3），B（5，4），C（8，2），试确定这个四边形的面积．
8．已知点是平面直角坐标系中的点．
（1）若点A在第四象限的角平分线上，求a的值；
（2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为11，请确定点A的坐标．
【培优训练】
9．有甲、乙、丙三人，它们所在的位置不同，他们三人都以相同的单位长度建立不同的平面直角坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，乙的位置是(4，3)．”丙说：“如果以我为坐标原点，乙的位置是(-3，-4)．”如果以乙为坐标原点，那么甲和丙的位置分别是（ ）
A．(3，4)，(-3，-4) B．(4，-3)，(3，-4)
C．(-3，-4)，(4，3) D．(-4，-3)，(3，4)
10．在平面直角坐标系中，点，，，，若的对称轴是直线，且，则的值为（ ）
A．15或21 B．9或11 C．15或20 D．15或19
11．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣1，2)，B(﹣1，﹣1)，C(1，﹣1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(﹣1，0) C．(1，2) D．(0，﹣1)
12．在等腰 中， ，点 ， 为坐标原点，若 平分 ，则 的值（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．4或5
13．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，，若点在轴的正半轴上，则位于第四象限的点的坐标是 ．
14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点的坐标为，若，则的值为 .
15．由图可知，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板如图放置，其中，则点的坐标为 ；
16．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为 ．
17．如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为 ．
18．如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于D，若点B(m，3)，C(n，-5)，A(4，0)，则AD·BC= 。
19．如图1.在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m与∠xOM的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样健的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，AB＝4，则点B的极坐标为 .
20．如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于点D，于点F，已知点，，，，求的长度．
21．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B．
（1）如图1，△ABC的面积是 ；
（2）如图1，在y轴上找一点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，请直接写出P点坐标： ；
（3）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，则∠BAC+∠ODB的度数为 度；
（4）如图3，BD∥AC，若AE、DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数．
22．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的三个顶点的坐标分别为，，
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系，并将画出来．
（2）在图中找一点D，使，，并将点D标记出来．
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
（4）在y轴上是否存在点Q，使得，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由．
23．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰 .
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰 ，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰 .连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长.
24．对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义，若存在点，为正数），称点B为点A的等距点．例如：如图，对于点，存在点，点，则点B，C分别为点A的等距点．
（1）若点A的坐标是，写出当时，点A在第一象限的等距点坐标；
（2）若点A的等距点B的坐标是，求当点A的横、纵坐标相同时的坐标；
（3）是否存在a的值，当将某个点的所有等距点用线段依次连接起来所得到的长方形的周长为，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【直击中考】
25．如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在平面直角坐标系 中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点 的坐标为 ，点 在 轴的上方， 的面积为 ，则 内部（不含边界）的整点的个数为 .
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第4章图形与坐标（解析版）
4.2平面直角坐标系（2）
【知识重点】
一、根据已知条件建立适当的直角坐标系解决实际问题：
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有严格的规定，但有以下几条常用的方法：
1.以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；
2.以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；
3.以已知线段中点为原点；
4.以两直线交点为原点；
5.利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等.
二、平行（或垂直）于坐标轴的直线上的点有如下特征：
1.平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的各点的纵坐标相等（等于这条直线与y轴的交点在y轴上的坐标）， 横坐标不相等；若
2.平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的各点的横坐标相等（等于这条直线与x轴的交点在x轴上的坐标）， 纵坐标不相等.
三、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
1.第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，一般记为（a,a）
2.第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相反，一般记为（a,a）
【经典例题】
【例1】若 ，则点（x，y）在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
解得： ，
则点（1，1）在第一象限，
故答案为：D．
【例2】已知点的坐标为， 下列说法正确的是（ ）
A．若点在轴上， 则
B．若点在一三象限角平分线上， 则
C．若点到轴的距离是3 ， 则
D．若点在第四象限， 则的值可以为-2
【答案】B
【解析】A、若点在轴上，则，解得，
故此选项错误，不符合题意；
B、若点在一三象限角平分线上，则，解得，
故此选项正确，符合题意；
C、若点到轴的距离是3，则或，解得或，
故此选项错误，不符合题意；
D、若点在第四象限，则，解得，
故此选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【例3】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2018,2） B．（2019,0） C．（2019,1） D．（2019,2）
【答案】D
【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次纵坐标循环一次，横坐标等于运动的次数，
∴2019=4×504+3，
当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2），
故答案为：D．
【例4】如图,将一块含 45° 角的直角三角板 放置在直角坐标系中，直角顶点 ,点 在第一象限，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵含45°角的直角三角板ABC放置在直角坐标系中，直角顶点C(-1,0)
∴A点在第二象限
∴
∵B(a，b)在第一象限，得到a＞0，b＞0
依此判断：
A、a-1有可能大于0也有可能小于0，b+1＞0 ， 故此选项错误；
B、-b-1＜0 ，a+1＞0 ，故此选项正确；
C、b+1＞0，a+1＞0 ，故此选项错误；
D、-b-1＜0，a-1不确定，故此选项错误.
故答案为： B.
【例5】在平面直角坐标系中，已知 ， ，则该平面直角坐标系中满足“ 为 且两条直角边长之比为 ”的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】当AB:BC=2:1时，可知此时C点有两个；
AB:BC= 时，可知此时C点也有两个；
故总有4个.
故答案为：C.
【例6】仔细观察图形，以点为圆心的弧线与x轴交于P点，则P点的坐标为 .
【答案】
【解析】由题意得，扇形的半径＝，
∵点P在x轴的负半轴，
∴P点坐标为.
故答案为：.
【例7】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是 ．
【答案】（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）
【解析】如图，当点D的坐标为或或时，均满足与全等．
故答案为：（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
【例8】如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，点B的纵坐标是4，则B点的横坐标是 .
【答案】-2
【解析】【解答】过点A作AD⊥y轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，
交x轴于点F，则四边形 是矩形，∴OD=EF，∠AEB=∠ADO=90°，∴∠AOD+∠DAO=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AO，∠BAO=90°，∴∠BAD+∠DAO=90°，∴∠BAE=∠AOD，
∴△ABE≌△AOD，
∴AE=OD，BE=AD，
∵A（-3，1），B的纵坐标为4，∴AD=3，OD=1，BF=4，
∴DE=2，
∴点B的横坐标是-2，
故答案为-2.
【例9】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于点B（0，b），且（a﹣3）2+|b+4|=0，S四边形AOBC=16，求C点坐标．
【答案】解：∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∴a﹣3=0，b+4=0，解得：a=3，b=﹣4，∴点A（3，0）、B（0，﹣4），则OA=3，OB=4，∵S四边形AOBC=16，即 （OA+BC） OB=16，∴ ×（3+BC）×4=16，解得：BC=5，∵点C在第四象限，且CB⊥y轴，∴C（5，﹣4）．
【例10】已知当、都是实数，且满足，则称点为“智慧点”．
（1）判断点是否为“智慧点”，并说明理由．
（2）若点是“智慧点”．请判断点在第几象限？并说明理由．
【答案】（1）解：点P不是“智慧点”
理由：由题意得：
∴
∴，
∴
∴点不是“智慧点”．
（2）解：点M在第四象限．
理由：∵点M（，）是“智慧点”
∴
∴
∵
∴
解得
∴点
∴点M在第四象限 ．
【例11】如图，是规格为8×8的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为；
（2）在网格上，找一格点C，使点C与线段AB组成等腰三角形，这样的C点共有 个；
（3）在（1）（2）的前提下，在第四象限中，当是以AB为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，的周长是 ，面积是 .
【答案】（1）解：如图建立直角坐标系，
（2）10
（3）；4
【解析】（2）分三种情况讨论，如图，若AB=AC或AB=BC，或BC=AC，此时的点C在线段AB的垂直平分线上，
符合条件的点C共有10个，
故答案为：10；
（3）在（1）（2）的前提下，在第四象限中，当是以AB为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，符合条件的点是点
故答案为：，4.
【基础训练】
1．如图，已知小华的坐标为，小亮坐标为，则小东坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得，如图所示，
∴小东的坐标是，
故答案为：．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（3，5） D．（﹣1，5）
【答案】C
【解析】∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，
∴点B的横坐标为：﹣1+4＝3，纵坐标为：1.
∴点B的坐标为（3，1）.
∴点C的横坐标为：3，纵坐标为：1+4＝5.
∴点C的坐标为（3，5）.
A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误.
故答案为：C.
3．如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣1）
【答案】A
【解析】如图所示：
点C的坐标为（1，-2）．
故答案为：A．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则点 一定在第二、第四象限角平分线上
B．点 到 轴的距离为
C．若 中 ，则 点在 轴上
D．点 可能在第二象限
【答案】C
【解析】A.∵ ，∴ ，即点在二、四象限的角平分线上；
B.∵点P的横坐标是 ，∴到y轴的距离是2；
C.点P也可能在y轴上；
D.∵ ， ，∴点A可能在第二象限内．
故答案为：C．
5．在平面直角坐标系内，已知点在第三象限的角平分线上，则点P的坐标为 ．
【答案】(-1，-1)
【解析】∵在第三象限的角平分线上，即点P的横坐标等于纵坐标，
∴，
解得，
故点P坐标为．
故答案为：．
6．如图，△ABO是边长为4的等边三角形，则A点的坐标是 ．
【答案】（﹣2，2 ）
【解析】【解答】过点A作AC⊥OB于点C，
∵△AOB是等边三角形，OB＝4，
∴OC＝BC＝2，∠OAC＝ ∠OAB＝30°，
在Rt△AOC中，
∵∠OAC＝30°，OA＝4，
∴OC＝2，AC＝OA cos30°＝4× ＝2
∵点A在第三象限，
∴A（﹣2，2 ）．
故答案为：（﹣2，2 ）．
7．如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（2，3），B（5，4），C（8，2），试确定这个四边形的面积．
【答案】解：∵SABCO=SOEGF﹣S△ADO﹣S△OCF﹣S△BGC﹣SDEBA，∴SABCO=8×4﹣ ﹣ ﹣ ﹣ =14.5．
8．已知点是平面直角坐标系中的点．
（1）若点A在第四象限的角平分线上，求a的值；
（2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为11，请确定点A的坐标．
【答案】（1）解：∵点A在第四象限的角平分线上，
∴，
解得：；
（2）解：∵点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为11，
∴点A到x轴距离为，到y轴的距离为：，
∴，
解得：，
∴．
【培优训练】
9．有甲、乙、丙三人，它们所在的位置不同，他们三人都以相同的单位长度建立不同的平面直角坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，乙的位置是(4，3)．”丙说：“如果以我为坐标原点，乙的位置是(-3，-4)．”如果以乙为坐标原点，那么甲和丙的位置分别是（ ）
A．(3，4)，(-3，-4) B．(4，-3)，(3，-4)
C．(-3，-4)，(4，3) D．(-4，-3)，(3，4)
【答案】D
【解析】以甲为坐标原点，乙的位置是（4，3），则以乙为坐标原点，甲的位置是（ 4， 3）；
以丙为坐标原点，乙的位置是（ 3， 4），则以乙为坐标原点，丙的位置是（3，4）．
故答案为：D.
10．在平面直角坐标系中，点，，，，若的对称轴是直线，且，则的值为（ ）
A．15或21 B．9或11 C．15或20 D．15或19
【答案】A
【解析】∵点，，，，
∴点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，
∴，
∵的对称轴是直线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或9，
∴或21.
故答案为：A.
11．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣1，2)，B(﹣1，﹣1)，C(1，﹣1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(﹣1，0) C．(1，2) D．(0，﹣1)
【答案】B
【解析】长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0），
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（﹣1，0），
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2），
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，﹣1），
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（﹣1，2），
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0），
∴五次相遇一循环，
∵2022÷5＝404......2，
∴M2022的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：B．
12．在等腰 中， ，点 ， 为坐标原点，若 平分 ，则 的值（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．4或5
【答案】C
【解析】【解答】∵点A（0，m），B（n，12-2n），C（2m-1，0），0＜a＜b＜6，
∴点A在y正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，
∵OB平分∠AOC，
∴n=12-2n
∴n=4
∵AB=BC，
∴AB2=BC2，
即 ，
∴m=3或1，
∴m+n=7或5，
故答案为：C.
13．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，，若点在轴的正半轴上，则位于第四象限的点的坐标是 ．
【答案】（3，-2）
【解析】∵点，的坐标分别是，，
∴，，，
∵，
∴，，，
∵点在第四象限，
∴点的坐标是（3，-2），
故答案为：（3，-2）．
14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点的坐标为，若，则的值为 .
【答案】1或
【解析】∵点的坐标为，
∴点A在x轴上，
∵，
∴点P在第一象限或第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
解得：或1.
故答案为：1或.
15．由图可知，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板如图放置，其中，则点的坐标为 ；
【答案】(5，3)
【解析】如图，过点C作轴于H．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为 ．
【答案】（4，0）或（6，0）
【解析】【解答】因为点A（4，3），点C（5，3），
所以AC∥OB
如图，当CE∥AB时，由平移性质可得：E（3+1，0）即（4，0）；BE⊥AE
当CE与AB不平行时，作CD⊥BE，则四边形AEDC是矩形，故ED=AC=1，根据等腰三角形性质得DE’=DE=1，BE’=3；
所以E’（6，0）
故E的坐标是（4，0）或（6，0）
故答案为：（4，0）或（6，0）
17．如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为 ．
【答案】（2，4）或（4，2）
【解析】【解答】①当点P在正方形的边AB上时，在Rt△OCD和Rt△OAP中，∵OC=OA，CD=OP，∴Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵点D是OA中点，∴OD=AD= OA，∴AP= AB=2，∴P（4，2）；
②当点P在正方形的边BC上时，同①的方法，得出CP= BC=2，∴P（2，4）．
综上所述：P（2，4）或（4，2）．故答案为（2，4）或（4，2）．
18．如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于D，若点B(m，3)，C(n，-5)，A(4，0)，则AD·BC= 。
【答案】32
【解析】如图，作BH⊥x轴，BK⊥x轴，
∵S△ABC=BC×AD=OA×（BH+CK），
AD·BC =4×（3+5）=32.
故答案为：32.
19．如图1.在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m与∠xOM的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样健的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，AB＝4，则点B的极坐标为 .
【答案】(4，60°)
【解析】如图，
∵在等边△AOB中，OB=4，∠O=60°，
∴点B的极坐标为（4，60°）.
故答案是：（4，60°）.
20．如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于点D，于点F，已知点，，，，求的长度．
【答案】解：如图，过点C作轴于点G，
∵点，，，
∴，，，
∴．
由题意，得，．
∵，∴是直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴长.
21．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B．
（1）如图1，△ABC的面积是 ；
（2）如图1，在y轴上找一点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，请直接写出P点坐标： ；
（3）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，则∠BAC+∠ODB的度数为 度；
（4）如图3，BD∥AC，若AE、DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数．
【答案】（1）4
（2）（0，2）或（0，-2）
（3）90
（4）解：连接AD， ∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB， ∴∠EAO= ∠BAC， ∠EDO= ∠ODB，
∴∠EAO+∠EDO= (∠BAC+∠ODB=45°，
∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，即∠AED+∠EAO+∠OAD+∠EDO+∠ODA=180°，
∵∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠AED+45°+90°=180°，
∴∠AED=45°.
【解析】（1）∵点C的坐标为（2，2），CB⊥x轴于B，
∴点B的坐标为（2，0），即OB=2，∴AB=2+2=4，
则△ABC的面积= ，
故答案为：4.（2）设P点坐标为（0，y），由题意得，
由题意可得：
解得：y=±2，
则P点坐标为（0，2）或（0，-2），
故答案为：（0，2）或（0，-2），（3）∵BD∥AC，∴∠BAC=∠ABD，
∵∠OBD+∠ODB=90°，∴∠BAC+∠ODB=90°，
故答案为：90，
22．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的三个顶点的坐标分别为，，
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系，并将画出来．
（2）在图中找一点D，使，，并将点D标记出来．
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
（4）在y轴上是否存在点Q，使得，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如下图所示，建立平面直角坐标系，将点A，点B，点C依次标在平面直角坐标系中，再依次连接即可．
（2）解：∵，，
∴相当于两个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边长，相当于两个直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长．
∴如（1）中图所示，以点A为圆心，以为半径画圆，以点B为圆心，以为半径画圆，两圆交点或即为点D的位置．
（3）解：如（1）中图所示，作出点A关于x轴的对称点点，连接，其与x轴的交点即为点P．
∵，
∴．
设直线的的解析式为y=kx+b．
根据点和点可得
解得
∴直线的的解析式为．
∵点P在x轴上，
∴．
∴．
∴．
∴．
（4）解：如（1）中图所示，在平面直角坐标系中标出点E，点F，点G．
∴EF=EA=AG=3，EC=2，CF=1，FB=2，BG=1．
∴S正方形AEFG，，，．
∴S正方形AEFG．
∵，
∴．
∵点Q在y轴上，
∴设点Q的坐标为．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴或．
23．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰 .
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰 ，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰 .连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长.
【答案】（1）（6，14）
（2）解：过点E作 轴于F，
已知等腰 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点A的坐标为 ，
∵在等腰 中，
， ，
，
，
，
，
；
（3）解：过点C作 轴G，
由（1）可知： ，
， ，
， ，
在等腰 中， ， ，
， ，
又 ，
，
，
.
【解析】（1）如图1，过点C作 轴于H，
在 中， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点 ，
故答案为： ；
24．对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义，若存在点，为正数），称点B为点A的等距点．例如：如图，对于点，存在点，点，则点B，C分别为点A的等距点．
（1）若点A的坐标是，写出当时，点A在第一象限的等距点坐标；
（2）若点A的等距点B的坐标是，求当点A的横、纵坐标相同时的坐标；
（3）是否存在a的值，当将某个点的所有等距点用线段依次连接起来所得到的长方形的周长为，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点A的坐标是，
则点A的等距点为，，，，
即，，，，
时，点A在第一象限的等距点坐标为；
（2）解：由题意得，，或，
解得，或，
是正数，
，
当点A的横、纵坐标相同时的坐标为；
（3）解：点的所有等距点的坐标分别为，，，，
则所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长为，
由题意得，，
解得，．
【直击中考】
25．如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形OBCD为正方形，
∴OB=CB=CD=OD=3，
∴点的坐标是，
故答案为：C
26．如图，在平面直角坐标系 中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点 的坐标为 ，点 在 轴的上方， 的面积为 ，则 内部（不含边界）的整点的个数为 .
【答案】4或5或6
【解析】【解答】设B（m,n）
∵点A的坐标为（5,0）
∴OA=5，
∵△OAB的面积= ×5×n=
∴n=3，
结合图像可知：
当2＜m＜3时，有6个整点；
当2＜m＜ 时，有5个整数点；
当m=3时，有4个整数点，
故答案为4或5或6.
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