人教版八年级数学上册第十二章全等三角形单元复习题
一、选择题
1．如图，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
2．已知Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，Rt△EDF的一条直角边等于3，则另一直角边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．下列所给条件中，能画出唯一的的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±3
B．三个角分别相等的两个三角形全等
C．带根号的数都是无理数
D．8的立方根是2，即＝2
5．如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上.若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（ ）cm.
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
9．如图，的三边、、的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD= 度．
12．如图，已知，，，则 °．
13．如图，与相交于点，与相交于点，，垂足为．现要证明，若只添加一个条件，这个条件可以是 ．（不作辅助线，写出一个即可）
14．如图，已知：中，平分交于D，，则D点到的距离是 ．
三、解答题
15．已知：如图,在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．，若∠AOB=∠COD=60°，
①求证：AC=BD；
②求∠APB的度数．
16．如图，已知，是延长线上一点，，，，连接，求证：．
17．如图，是的角平分线，垂足为E，的面积为70，，，求的长.
四、综合题
18．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
19．如图，，，三点在同一直线上，且，
（1）线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想满足什么条件时，，并证明．
20．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接DE并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接平分平分，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：，，
；
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的对应角相等可得∠B=∠D，据此解答.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，
∴Rt△EDF的面积为12，
设Rt△EDF的另一直角边的长为x.
∵Rt△EDF的一条直角边等于3，
∴ ×3x＝12，
∴x＝8，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的面积相等及直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列出方程，求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据能画出唯一，故此选项符合题意；
C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系可判断A；根据全等三角形的判定方法ASA可判断B；能画出唯一三角形至少需要三个条件，据此判断C，给出的三个条件是SSA，不能判断两个三角形全等，故画出的三角形不唯一，据此判断D.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、 =9的平方根是±3，正确，符合题意；
B、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
C、无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无限不循环，不符合题意；
D、8的立方根是2，即 ＝2，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】“”求的是81的算术平方根，根据算术平方根的定义先化简，进而再根据平方根的定义算出化简结果的平方根，据此可判断A；三个角相等的三角形只是形状一样，大小不一定一样，故不一定全等，据此可判断B；无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无限不循环，据此可判断C；立方根的符号是三次根号，据此可判断D.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥AB于H ，如图，
平分 ， ， ，
，
点E是边AB上一动点，
.
故答案为：D.
【分析】过P点作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PD=6，进而根据垂线段最短即可得出PE的取值范围.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，，，，
，即，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的性质及角的运算逐项判断即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
∴BE＝CF，
∵BE＝2cm，
∴CF＝BE＝2cm，
∵BF＝8cm，
∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm）.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形的性质可得BC＝EF，结合线段的和差关系可得BE＝CF=2cm，然后根据
CE＝BF-BE-CF进行计算.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点O是三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF.
∵，
，
，
∴.
故答案为：A.
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，由点O是三条角平分线的交点，可得OD=OE=OF，由三角形的面积公式分别求出，，，继而求出其比值.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等得DE=DF，据此可判断①；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可判断出AD平分∠BAC，据此判断②；根据HL判断出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，然后根据线段的和差即可得出AC-AB＝2BE，据此可判断④；根据垂线段最短即可判断③.
11．【答案】95
【解析】【解答】解：根据三角形内角和定理可得：∠OBC=180°－20°－65°=95°，根据三角形全等的性质可得：∠OAD=∠OBC=95°.
【分析】根据三角形内角和定理可得：∠OBC=180°－20°－65°=95°，根据三角形全等的性质可得：∠OAD=∠OBC=95°.
12．【答案】105
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴在中，．
故答案为：105．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用三角形的内角和求出∠AEC的度数即可。
13．【答案】AP=BP（答案不唯一）
【解析】【解答】添加AP=BP，理由如下：
∵，
∴
在和中，
∴
故答案为：AP=BP．（答案不唯一）
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
14．【答案】15
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵平分交于D，
∴D点到的距离是15．
故答案为：15．
【分析】先求出，再利用角平分线的性质可得D点到的距离是15。
15．【答案】解：①证明：∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=60°
【解析】【分析】①根据题意，证明得到△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质，即可得到AC=BD；
②根据全等三角形的性质，根据等量代换，即可得到∠APB的度数。
16．【答案】证明：，
，
在和中，
，
，
．
【解析】【分析】先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。
17．【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
S△ABC=×16 DE+×12 DF=70，
所以，14×DE=70，
解得DE=5.
【解析】【分析】过点D作DF⊥BC于F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得DE=DF，再利用△ABC的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，利用三角形的面积公式建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
18．【答案】（1）解：∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，
∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）解：∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，再利用线段的和差可得AE＝AB﹣BE＝6；
（2）根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，再利用角的运算可得∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°。
19．【答案】（1）解：．
理由：∵，
∴，．
∵，，三点在同一直线上，
∴，
∴．
（2）解：假如，
则．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴当满足时，．
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质得出，，再根据线段的和差关系得出 ， 即可得到结论；
(2)利用假设法逆推， 假如， 由平行线的性质得出， 再由全等三角形的性质得出 ， 从而得出 ，然后根据平角的定义列式即可推出∠AED=90°，即可解答．
20．【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CFE，可得∠A=∠ECF，根据平行线的判定即证；
（2）由（1）知∠A=∠ECF，由角平分线的定义可得，利用等量代换即可求解.
