2022-2023学年度第一学期期末调研考试
八年级数学试题
一、选择题（本大题共16个小题，共42分．1~10小题各3分，11~16小题各2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的选项填在下表中）
1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A 打喷嚏 捂口鼻 B. 勤洗手 勤通风
C. 戴口罩 讲卫生 D. 喷嚏后 慎揉眼
2. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要使钉上（ ）根木条
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 下列分式中属于最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A，B，E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ①②④
6. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 某物质的密度a用科学记数法表示为，则数a用小数表示为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，，要使，还需添加一个条件是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，正五边形ABCDE点D、E分别在直线m、n上．若m∥n，∠1＝20°，则∠2为（ ）
A 52° B. 60° C. 58° D. 56°
11. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A. a2-1
B. a2+a
C. a2+a-2
D. (a+2)2-2(a+2)+1
12. 将两个全等的含角的直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起．若它们的最短边长为3，则以下结论错误的是（ ）
A. 是等边三角形 B.
C. D.
13. 在中，多项式A等于（ ）
A B.
C. D.
14. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是 上的一个动点，当 最小时，的度数是 （ ）
A. B. C. D.
15. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D. 且
16. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A. 2017 B. 2016 C. 191 D. 190
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分．把答案写在题中横线上）
17. 当x_______时，分式的值为零．
18. 如图，边长为a，b矩形的周长为，面积为．
（1）的值为______；
（2）的值为______．
19. 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．
（1）若一个“特征三角形”的“特征角”为，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为______；
（2）若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为______；
（3）一个“特征三角形”的“特征角”的度数的取值范围为______．
三、解答题（本大题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 计算：
（1）
（2）
（3）
21. （1）解方程：；
（2）先化简：，再从中选取一个合适的整数代入求值．
22. 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）如图1，已知：，线段．求作：，使．
（2）某市为方便民生，要在区建一个集贸市场，如图2，使它到两条公路的距离相等，并且到两个村庄的距离也相等．这个集贸市场应建在何处？
23. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式===，
小强：原式==，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，
请你接着小强的方法完成化简．
24. 如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．
（1）求证：．
（2）连接，求证垂直平分．
（3）若，，求的长．
25. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
26. 数学课上，李老师出示了如下的题目．
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图．试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论．
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：____（填“”，“”或“”）．
（2）特例启发，解答题目．
解：题目中，与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题．
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．
答案
1. C
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. B
过五边形的一个顶点作对角线，有5-3=2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
3. D
解：A、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、=，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D、是最简分式，故此选项符合题意，
故选：D．
4. B
∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（-4，6），
∴D（4，6），
故选B．
5. B
解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，
故选：B．
6. C
解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
7. D
解：由题意可得，
，故A选项不正确，不符合题意；
，故B选项不正确，不符合题意；
，故C选项不正确，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意，
故选D．
8. C
解：；
故选：C．
9. B
解：∵，
∴，
又公共边，
当时，无法证明，故A不符合题意；
当时，利用SAS证明，故B符合题意；
当时，无法证明，故C不符合题意；
当时，无法证明，故D不符合题意；
故选：B．
10. D
解：如图所示，延长AB交直线n于点F，
∵正五边形ABCDE，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
11. C
先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．
12. D
解：A、图中是两个全等的含角的直角三角尺
，
是等边三角形，故该选项正确，不符合题意；
B、由A知是等边三角形，即，
，
，
，故该选项正确，不符合题意；
C、由B知，
，
在含角的直角三角尺，，则，
由A知是等边三角形，即，
，
在中，，则，故该选项正确，不符合题意；
D、由C知，在中，，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
13. A
解：根据题意得，
故选：A．
14. C
如图，连接，与交于点，此时 最小，
∵是等边三角形，是边上的高，
∴，
∴，
∴，
即的长度即为与和的最小值，
∵ 是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
15. B
解：∵，
∴，
解得：，
∵解正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
16. D
解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19=190，
故选 D．
17. = 3
解：根据题意，
∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
18. ①. ②.
解：（1）∵边长为a，b的矩形的周长为，面积为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）得，
，
∴，
∴，
故答案为．
19. ①. ②. 或 ③.
解：（1）∵“特征三角形”的“特征角”为，
∴其中一个内角为，
根据三角形内角和定理可得，
另一个内角为：，
故答空1答案为：；
（2）①当直角为“特征角”时，另外两个内角为，
②当直角不是“特征角”时，设特征角为x度，则另一个内角为度，
∴，解得，
故答空2答案为：或；
（3）设特征角为m度，则与特征角相关的角为度，另一个内角为度，由题意可得，
，
解得，
故答空3答案为：；
20. （1）
解：原式
（2）
原式
（3）
原式
．
21. （1）解：
方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
（2）解：
．
由于从中选取一个整数，且，，，
∴x不能取，0，1，
∴x可取2，3．
当时，
原式．
（或当时，原式．）
22. （1）
解：如图所示：
即为所求；
（2）
解：如图所示：
在点处建集贸市场．
23. （1）②分式=，不可约分，
∴分式是和谐分式，
故答案为②；
（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a=4，a=﹣4（舍），a=5；
（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式====
故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
24. （1）
证明：∵于点E，
∴，
又平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）
证明：连接，如图
在和中，
，
∴，
∴
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分
（3）
解：设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：
∴
25. （1）
解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
依题意得：
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．
∴购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
（2）
解：设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，
解得：m≤6．
∴甲种农机具最多能购买6件．
26. （1）
解：∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
（2）
解：与的大小关系是：，理由如下：
如图，过点作，交于点，
∵是等边三角形，
又∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（3）
解：①如图，当点在的延长线上，点在的延长线上时，
∵的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴是的中点，
∴，
∴是直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点在的延长线上，点在的延长线上时，
过点作于，过点作于，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵的边长为，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如图，当点在的延长线上，点在的延长线上时，
∵，
∴，
即此时，
∴此种情况不存在；
④如图，当点在的延长线上，点在的延长线上时，
∵，，
又∵，
∴，
即此时，
∴此种情况不存在，
综上所述，可得：的长为或．
