2023年初中数学竞赛函数最值专题训练
一．选择题
1．当三个非负实数x、y、z满足关系式x+3y+2z＝3与3x+3y+z＝4时，M＝3x﹣2y+4z的最小值和最大值分别是（ ）
A． B． C． D．
2．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p＝+++，则（ ）
A．p＞5 B．p＝5
C．p＜5 D．p与5的大小关系不确定
3．已知y＝+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A．2﹣1 B．4﹣2 C．3﹣2 D．2﹣2
4．设x≥0，y≥0，2x+y＝6，则u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最小值是（ ）
A． B．18 C．20 D．不存在
5．代数式的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
6．设x是实数，y＝|x﹣1|+|x+1|．下列四个结论：
Ⅰ．y没有最小值；
Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；
Ⅲ．有有限多个x（不止一个）使y取到最大值；
Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．
其中正确的是（ ）
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
7．方程|x﹣1|+|y﹣1|＝1确定的曲线所围成的图形面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（ ）
A．64 B．8 C．8 D．
二．填空题
9．代数式的最小值为 ．
10．a，b是正数，并且抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是 ．
11．当|x|≤4时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是： ．
12．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，则a+b+c+d的最大值是 ．
13．函数f（x）＝λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是 ．
14．代数式的最小值是 ．
15．函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|，当x在实数范围内取值时，y的最小值是 ．
16．a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1．设m＝3a+b﹣7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．则xy＝ ．
三．解答题
17．当﹣1≤x≤2时，函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2有最小值2．求a所有可能取的值．
18．已知非负实数x，y，z满足，记W＝3x+4y+5z．求W的最大值与最小值．
19．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？
20．阅读材料：
若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．
∴a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
举例应用：
已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．
解：y＝2x+≥＝4．当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．
当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．
问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．
（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．
21．设x1、x2、x3、x4、x5均为正整数，且x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．试求x5的最大值．
22．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．
23．已知：实数x，y，z满足：x+y+z＝0，xy+yz+zx＝﹣3，求z的最大值．
参考答案
一．选择题
1．解：由得：
，
代入M的表达式中得，
M＝3x﹣2y+4z＝3x﹣（1﹣x）+4（2x﹣1）＝﹣，
又因x、y、z均为非负实数，
所以，
即≤x≤1，
当x＝时，M有最小值为﹣，
当x＝1时，M有最大值为7．
故选：B．
2．解：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，
∴必有0＜a，b，c，d＜1
∵p＝+++，
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x）＝的图象，
显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y＝x+1，
∴可以发现在（0，1）上恒有＞x+1，
当然这样只是画图所得，未必准确，
∴还要严格证明，证之如下：
上式两边平方得：3x+1＞x2+2x+1，
∴x2﹣x≤x（x﹣1）＜0，
而此时x∈（0，1），可见上式显然成立．
所以我们有：
＞a+1，＞b+1，＞c+1，＞d+1，
以上四式相加得p＝+++＞a+b+c+d+4＝5，
即有P＞5．
故选：A．
3．解：∵y＝+，
∴y2＝4+2＝4+2×，
∵1≤x≤5，
当x＝3时，y的最大值为2，当x＝1或5时，y的最小值为2，
故当x＝1或5时，y取得最小值2，
当x取1与5中间值3时，y取得最大值2，
故y的最大值与最小值的差为2﹣2，
故选：D．
4．解：由已知得：y＝6﹣2x，代入u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，
整理得：u＝2x2﹣6x+18，
而x≥0，y＝6﹣2x≥0，则0≤x≤3，
u＝2（x﹣）2+，
当x＝0或x＝3时，u取得最大值，umax＝18，
当x＝时，u取得最小值，umin＝．
故选：A．
5．解：由题意得：，
解得x≥0，
又∵、、都是随x的增大而增大，
∴当x＝0时，代数式取得最小值，
此时式（）min＝+＝1+．
故选：B．
6．解：从数轴上可知，区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；区间[﹣1，1]之外的点x 到点1与点﹣1的距离之和均大于2．
所以函数y＝|x﹣1|+|x+1|当﹣1≤x≤1时，取得最小值2．
Ⅰ、y在区间[﹣1，1]上取得最小值2；故本选项错误；
Ⅱ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；故本选项错误；
Ⅲ、y在区间[﹣1，1]之外的点x 到点1与点﹣1的距离之和均大于2，且无限大，所以y在区间[﹣1，1]之外的点没有最大值；故本选项错误；
Ⅳ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为最小值2，所以有无穷多个x使y取到最小值．故本选项正确；
故选：D．
7．解：先考虑简单的情况：
当|x|+|y|＝1时：
当x＞0，y＞0时，x+y＝1，
当x＞0，y＜0时，x﹣y＝1，
当x＜0，y＞0时，y﹣x＝1，
当x＜0，y＜0时，x+y＝﹣1，
∴四条直线与坐标轴的交点分别为（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），
∴正方形边长为：＝，
∴正方形面积为：×＝2．
∵|x﹣1|+|y﹣1|＝1的在坐标系内的图象只不过是将|x|+|y|＝1的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，
∴其面积依然为2．
故选：C．
8．解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，
∵m+n≥2，当且仅当m＝n时取得最小值，
故可得①当a＝1时，a+1取得最小值2；
②当b＝1时，b+1取得最小值2；
③当c＝1时，c+1取得最小值2；
又∵a＝1，b＝1，c＝1可能满足条件abc＝1，
∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值＝2×2×2＝8．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．解：求代数式，即+的最小值，
实际上就是求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，
而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，﹣2）到点（12，3）的距离即为所求，
即＝13．
故答案为：13．
10．解：由题设知a2﹣8b≥0，4b2﹣4a≥0．
则a4≥64b2≥64a，
∵a，b是正数，
∴a3≥64，
∴a≥4，b2≥a≥4．
∴a2+b2≥20．
又∵当a＝4，b＝2时，抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x轴有公共点，
∴a2+b2的最小值是20．
故答案为：20．
11．解：∵|x|≤4，
∴﹣4≤x≤4，
∴，
∴当x＝﹣4时，y取最大值18，
当x＝2时，y取最小值2．
则最大值与最小值的差是18﹣2＝16．
故答案为：16．
12．解：∵a+b＝c，①
b+c＝d，②
c+d＝a，③
由①+③，得
（a+b）+（c+d）＝a+c，
∴b+d＝0，④
b+c＝d；⑤
由④+⑤，得
∴2b+c＝b+d＝0，
∴c＝﹣2b；⑥
由①⑥，得
∴a＝c﹣b＝﹣3b，⑦
由④⑥⑦，得∴a+b+c+d＝（a+c）+（b+d）＝a+c＝﹣5b；
∵b是正整数，
∴b≥1，
∴﹣b≤﹣1，
∴a+b+c+d≤﹣5，
∴a+b+c+d的最大值是﹣5．
故答案为：﹣5．
13．解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，
又∵f（x）＝λ（x+）2+1﹣，
∴f（x）的最大值为1﹣，
又∵f（x）≤f（λ），
∴f（λ）＝λ3+（λ﹣3）λ+1＝1﹣，
解得：λ＝1（舍去）或λ＝﹣，
将λ＝﹣，代入可得f（x）的最大值为．
故答案为：．
14．解：若代数式有意义，
则，
解得：x≥2，
∵，，是增函数，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即＝2+1+0＝3．
故答案为3．
15．解：设y1＝|x﹣1|+|x﹣10|，则y1可以看作数轴上点x到点1与10的距离和，即可得当x＝＝5.5时，y1取最小值，
同理：设y2＝|x﹣2|+|x﹣9|，y3＝|x﹣3|+|x﹣8|，y4＝|x﹣4|+|x﹣7|，y5＝|x﹣5|+|x﹣6|，
∴当x＝5.5时，y2，y3，y4，y5取最小值，
∴当x＝5.5时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|取最小值，
最小值为：y＝|5.5﹣1|+|5.5﹣2|+…+|5.5﹣10|＝4.5+3.5+2.5+1.5+…+0.5+0.5+1.5+2.5+3.5+4.5＝25．
故答案为：25．
16．解：由3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1得 ，
∴可得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，
由a、b、c是非负数得： ≤c≤，
又m＝3a+b﹣7c＝3c﹣2，
故﹣≤m≤﹣，
于是可得x＝﹣，y＝﹣，
故xy＝﹣×（﹣）＝．
三．解答题（共7小题）
17．解：y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2图象的对称轴为：x＝a，
①当﹣1≤a≤2时，函数在x＝a处取得最小值2，
故﹣a2+2a+2＝2，
即a2﹣2a＝0，
解得：a＝0或2，
②当a＜﹣1时，函数在x＝﹣1处取得最小值2，代入函数式得2+4a+a2+2a+2＝2，
即：a2﹣6a+2＝0，
解得：a＝﹣3±，
取a＝﹣3﹣，
③当a＞2时，函数在x＝2处取得最小值2，代入函数式得：
8﹣8a+a2+2a+2＝2，
即a2﹣6a+8＝0，
解得：a＝2或4，
取a＝4．
故a所有可能的值为：﹣3﹣，0，2，4．
18．解：设＝k，
则x＝2k+1，y＝﹣3k+2，z＝4k+3，
∵x，y，z均为非负实数，
∴，
解得﹣≤k≤，
于是W＝3x+4y+5z＝3（2k+1）﹣4（3k﹣2）+5（4k+3）＝14k+26，
∴﹣×14+26≤14k+26≤×14+26，
即19≤W≤．
∴W的最大值是35，最小值是19．
19．解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，
依题意有：7+x1﹣x2＝11+x2﹣x3＝3+x3﹣x4＝14+x4﹣x5＝15+x5﹣x1＝50÷5＝10，
所以，x2＝x1﹣3，x3＝x1﹣2，x4＝x1﹣9，x5＝x1﹣5，
设调动的电脑的总台数为y，则y＝|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，
这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，
并由上面所得结论知：当x1＝＝3时，
y的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|＝12，
即调动的总台数为12．因为x1＝3时，x2＝0，x3＝1，x4＝﹣6，x5＝﹣2，
故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．
20．解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．
∴y＝x×（+）＝（70≤x≤110）；
（2）根据材料得：当时有最小值，
解得：x＝90
∴该汽车的经济时速为90千米/小时；
当x＝90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．
21．解：由于x1、x2、x3、x4、x5在式中对称，故不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，
并令S＝x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．则S≤5x5，即t＝x1x2x3x4≤5；
那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．
①当t＝5时，由于t＝1×5，故令x1＝x2＝x3＝1，x4＝5，代入S可得x5＝2，与x4≤x5相矛盾，故x5＝2不合题意；
②同理，当t＝1或4时均不合题意．当t＝3时，x5＝3，符合题意；
③当t＝2时，由于t＝1×2，令x1＝x2＝x3＝1，x4＝2，代入S可得x5＝5，符合题意；
综上所述，故x5的最大值为5．
22．解：设A1中学调给A2彩电x1台（若x1＜0，则认为是A2，向A1调出|x1|台），A2中学调给A3彩电x2台，A3调给A4x3台，A4调给A1x4台．
∵共有40台彩电，平均每校10台，
∴15﹣x1+x4＝10，8﹣x2+x1＝10，5﹣x3+x2＝10，12﹣x4+x3＝10，
∴x4＝x1﹣5，x1＝x2+2，x2＝x3+5，x3＝x4﹣2，x3＝（x1﹣5）﹣2＝x1﹣7，x2＝（x1﹣7）+5＝x1﹣2．
本题即求y＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|的最小值，其中x1是满足﹣8≤x1≤15的整数．
设x1＝x，并考虑定义在﹣8≤x≤15上的函数：y＝|x|+|x﹣2|+|x﹣7|+|x﹣5|，
当2≤x≤5时，y取最小值10，
即当x1＝2，3，4，5时，|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|取到最小值10．
从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：
23．解：∵x+y+z＝0，
∴x+y＝﹣z，①
∵xy+yz+zx＝﹣3，
∴xy＝﹣3﹣（yz+zx）＝﹣3﹣z（x+y）＝﹣3﹣z（﹣z），
即xy＝﹣3+z2，②
由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程w2+zw+（﹣3+z2）＝0的两实根，
则判别式△＝z2﹣4（﹣3+z2）≥0，
化简得：z2≤4，
∴﹣2≤z≤2，
∴z的最大值是2．
