2022-2023学年度高一数学第二次月考试卷考试
范围：第六章 第七章
考试时间：120分钟：总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
单选题每小题5分，共40分.多选题每小题5分，共20分，全部选对的5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
一 单选题（共40分）
1.下列说法错误的是（ ）
A. B.是单位向量，则
C.若，则 D.任一非零向量都可以平行移动
2.若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如图所示，已知正方形的边长为，则向量的模为（ ）
A. B.2 C. D.4
4.平面向量与的夹角为，则等于（ ）
A. B.1 C. D.
5.在中，的对边分别是，若，则的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形
6.在中，设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
8.前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔.已知前卫斜塔的塔身长10，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为5，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（ ）
A.60° B.45° C.30° D.15°
二 多选题（共20分）
9.若复数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
C.的实部为13
D.的虚部为-11
10.如图，在中，若点分别是的中点，设交于一点，则下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然 社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.和能构成一组基底
12.在中，下列关系中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三 填空题每小题5分（共20分）
13.已知向量，则__________.
14.在中，角的对边分别为.若，则__________.
15.已知向量，若，则__________.
16.已知复平面内的向量对应的复数分别是，则__________.
四 解答题17题10分，其余每小题12分
17.已知向量.
（1）求与的坐标；
（2）求向量的夹角的余弦值.
18.求实数的值或取值范围，使得复数分别满足：
（1）是实数；
（2）2是纯虚数；
（3）是复平面中对应的点位于第二象限.
19.已知，求分别在下列条件下的值.
（1）；
（2）
（3）.
20.已知角所对的边分别为的周长为，且.
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数.
21.在中，已知在线段上，且设，.
（1）用向量表示；
（2）若，求.
22.如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的两处（在的正西侧）.监控中心在河流北岸，测得，监控过程中，保证监控船观测和监控中心的视角为视为在同一个平面上，记的面积为.
（1）求的长度；
（2）试用表示，并求的最大值.
参考答案：
1.C
【分析】运用向量 单位向量 相反向量的定义可判断.
【详解】对于项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故项正确.
故选：C.
2.D
【分析】确定复数对应的点的坐标，根据复数的几何意义，可得答案.
【详解】由于复数，则在复平面内对应的点为，该点在第四象限，
故选：D
3.B
【分析】根据图象以及向量模的运算求得正确答案.
【详解】由题意，可知，
所以
.
故选：B
4.B
【分析】先由题意得到，再由向量的数量积计算公式，即可求出结果.
【详解】因为平面向量与的夹角为，
所以，
因此.
故选B
【点睛】本题主要考查求向量的数量积，熟记定义即可，属于常考题型.
5.C
【分析】由余弦定理确定角是钝角.
【详解】三角形中，，所以为钝角，
三角形为钝角三角形.
故选：C.
6.A
【分析】运用向量线性运算即可求得结果.
【详解】为的中点，
，
又，
.
故选：A.
7.B
【分析】根据复数的乘法运算，即可得到本题答案.
【详解】由题意得：
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则.属于容易题.
8.A
【分析】根据题意画出图象，然后利用余弦公式求解即可
【详解】如图所示，线段为塔身长，线段为投影长度，，
所以在中，，
因为，所以，
故选：A
9.ABC
【分析】由复数模长的定义可判断；由复数的几何意义可判断；求出可判断，
D.
【详解】由题意得，，故A正确；
在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故B正确；
，
的实部为13，虚部为11，故C正确，错误.
故选：ABC.
10.AB
【分析】利用向量的加减法则进行判断.
【详解】根据向量减法可得，故A正确；
因为是的中点，所以，故B正确；
由题意知是的重心，
则，故C错误；
，
故错误.
故选：AB.
11.BCD
【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于选项，，A选项错误.
对于选项，，B选项正确.
对于C选项，由于八边形为正八边形，
故，且，
故，所以选项C正确.
对于选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以正确.
故选：BCD.
12.BD
【分析】利用正弦定理分析判断即可.
【详解】在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以AC错误，BD正确，
故选：BD
13.-4
【分析】先求出，再根据数量积的坐标表示求解即可.
【详解】解：，
，
，
故答案为：-4.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标表示，属于基础题.
14.
【分析】已知两边及夹角，由余弦定理直接求得结果.
【详解】已知，
由余弦定理得，解得.
故答案为：.
15.
【分析】根据向量平行的坐标运算公式，计算可得答案.
【详解】已知，所以，
解得.
故答案为：.
16.
【分析】先利用向量运算求出对应的复数，然后求解模长可得答案.
【详解】，
对应的复数为，
.
故答案为：
17.（1）.
（2）
【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；
（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.
【详解】（1）.
（2），
.
18.（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据复数的概念列式可求出结果；
（2）根据复数的概念列式可求出结果；
（3）根据复数的几何意义可求出结果.
【详解】（1）由题意得，所以；
（2）由题意得，所以；
（3）由题意得，所以.
19.（1）-4；
（2）0；
（3）±8.
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；
（2）根据互相垂直的两个向量数量积的性质进行求解即可；
（3）根据平面向量数量积的定义，结合共线向量的性质进行求解
【详解】（1）
（2）因为，所以.
（3）因为，所以与的夹角为或，
所以.
20.（1）2；
（2）.
【分析】（1）根据正弦定理可将化简为，再根据的周长即可求得；
（2）根据三角形面积公式可得，根据（1）中的结论可得，再根据余弦定理即可求得角.
【详解】（1）由题意得：，
在中，将正弦定理代入可得，
又，
即，
所以；
（2）由（1）知，所以，
因为，
所以，又有，
所以，
因为，
所以.
21.（1）
（2）
【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算；
（2）利用基底法求向量的数量积.
【详解】（1）由题得；
（2）由已知得
.
22.（1）；（2）.
【分析】（1）在中，利用正弦定理解三角形即可得.
（2）由（1）知的长度，利用正弦定理求的长度，结合，利用面积公式即可.
【详解】（1）在中，，所以.
因为，所以，由正弦定理得，所以；
（2）在中，设，则，
由正弦定理得.
所以.
所以.
因为.
所以当时，取到最大值.
答：的长度为取到最大值.
【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题.
