专题06运用不变技巧探究算式规律
根据算式的规律解决问题时，首先要观察算式中什么不变，什么在变；变化的量按照什么规律在变。 特别要思考，变化的量之间，一个量的变化，引起另一个量怎样变化，在不断思考中培养数感。
1．先观察下面的算式和得数，然后填一填并接着写出一个这样的算式。
123456789×9×2＝2222222202
123456789×9×3＝3333333303
123456789×9×4＝( )
123456789×9×5＝( )
________________________
2．9÷9＝1；108÷9＝12 ；1107÷9＝123；11106÷9＝1234；…那么111105÷9＝( )。
3．根据规律填空，9×9＝81，98×9＝882，987×9＝8883，9876×9＝( )。
4．根据第一道算式的得数，直接写出其余各算式的得数．
111111111÷9＝12345679
（1）222222222÷18＝ ______
（2）333333333÷ ______ ＝12345679
（3）_____÷63＝12345679
5．观察下面一组式子，根据规律填空。
3×3－1×1＝4×2 4×4－2×2＝6×2 5×5－3×3＝8×2 …
(1)根据你的发现填空：7×7－5×5＝( )×( )。
(2)请你根据这个规律写一道得数是100的算式( )。
6．找规律填空。
9×9－1＝80
98×9－2＝880
987×9－3＝8880
9876×9－4＝( )
987654×9－6＝( )
999×11＝10989
999×12＝11988
999×13＝12987
999×14＝( )
999×16＝( )
7．1＋3＝4
1＋3＋5＝9
1＋3＋5＋7＝16
1＋3＋5＋7＋9＝25
观察以上算式，根据发现的规律写出下面算式的得数：
1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝( )
8．已知，，，，那么( )。
9．12×9+1=109
123×9+2=1109
1234×9+3=11109
……
123456×9+_______=_______
_______×9+8=________
11×11=121
111×11=1221
1111×11=12221
……
111111×11=________
_______×11=1222222221
10．已知：6×7＝42
6.6×6.7＝44.22
6.66×66.7＝444.222
那么：( )
11．根据已有的结果找出规律，直接写出得数。
1×0.9＋0.2＝1.1 123456×0.9＋0.7＝( )
12×0.9＋0.3＝11.1 ( )×0.9＋( )＝11111111.1
123×0.9＋0.4＝111.1
12．根据规律计算。
37037×3＝111111
37037×12＝444444
37037×21＝777777
37037×18＝( )
37037×9＝( )
13．观察下面的算式和得数，根据其中的规律写出下一个等式。
34×55＝1870，34×555＝18870，34×5555＝188870，……_______。
14．按规律填空：
15．按规律填一填。
( )＝( )
( )( )
16．观察下面算式与结果的规律，把最后一道算式补充完整。
6×9＝54
66×69＝4554
666×669＝445554
……
( )×( )＝444445555554
17．先用计算器计算出横线里是几，再根据规律直接写出后两道题的结果．
1×9＝9
2×99＝_____9_____
3×999＝_____99_____
4×9999＝_____999_____
5×99999＝ ____________
6×999999＝____________
18．请你用在本学期学习中累积的方法和经验探索出下面算式的计算结果：
1+2+1=( )
1+2+3+2+1=( )
请你接着写一个：___________________________
……
1+2+3+4+……+48+49+50+49+48+……+4+3+2+1=( )
19．找规律，写得数。
1＋2＝2×2－1＝3
1＋2＋4＝2×4－1＝7
1＋2＋4＋8＝2×8－1＝15
1＋2＋4＋8＋16＝2×16－1＝31
1＋2＋4＋8＋16＋32＝( )
1＋2＋4＋…＋64＝( )
1＋2＋4＋…＋( )＝2×512－1＝1023。
20．根据（22－4）÷18＝1，（222－6）÷18＝12，（2222－8）÷18＝123，可得出（22222－10）÷18＝( )。
21．按规律填出下面算式的得数。
999×2＝1998
999×3＝2997
999×4＝3996
999×5＝________
999×________＝7992
22．根据前面三道算式，直接填出括号里的数。
9×9＋19＝100
98×9＋118＝1000
987×9＋1117＝10000
……
( )×9＋1111114＝( )
98765432×9＋( )＝( )
23．有趣的计算。(先用计算器计算前四道算式结果，再按照规律写出后三道算式及其结果。)
21×9＝_____
321×9＝_____
4321×9＝_____
54321×9＝_____
_____×9＝_____
_____×9＝_____
_____×9＝_____
24．先观察，再填数。
，，，( )，( )。
25．根据给出的规律填数
( )＝( )
26．计算111÷3＝37、222÷6＝37、333÷9＝37中，你发现的规律是( )，请你根据这样的规律再写两个算式( )、( )。
27．想一想．你能不计算，用发现的规律直接写出下面各题的结果吗？
1 ÷ 9＝0.111……
2 ÷ 9＝0.222……
3 ÷ 9＝0.333……
4 ÷ 9＝________
8 ÷ 9＝________
……
3×4＝12
3.3 × 3.4＝11.22
3.33 × 33.4＝111.222
3.333 × 333.4＝________
3.3333 × 3333.4＝________
……
28．奇妙的算式，请根据规律填空.
5×5＝25； 95×95＝9025； 995×995＝990025；
9995×9995＝( )； 99995×99995＝( )
1． 4444444404 5555555505 123456789×9×6＝6666666606
【分析】根据题意可知，三个数相乘，第一个因数是123456789，第二个因数都是9，第三个因数都是一位数，积的十位上都是0，0的左边是8个第三个因数，0的右边（个位上）是第三个乘数，依此填空。
【详解】123456789×9×2＝2222222202
123456789×9×3＝3333333303
123456789×9×4＝4444444404
123456789×9×5＝5555555505
123456789×9×6＝6666666606
【分析】此题考查的是根据算式的规律写出得数，应先发现前面几个算式中，积与因数之间的关系。
2．12345
【分析】根据题意可知：被除数十位上是0， 0前面的所有1和0后面的数字之和是9，所得商的末尾数字与被除数的末尾数字之和是10，即算式的商为：最高位从1开始写（每一位上的数与前一位上的数的差是1），10与被除数的末尾的数字的差是多少，一直就写到这个数为止，依此填空。
【详解】111105÷9，被除数末尾的数字是5，10－5＝5，因此111105÷9＝12345；
【分析】此题考查的是根据算式的规律求商，要熟练掌握。
3．88884
【分析】根据前三道算式的结果可知：乘积的末尾的数字与第一个因数的末位数字之和是10，乘积中除末尾的数字其它都是8，8的个数和第一个因数的位数相同，并且第一个因数由9、8、7、6……依次递增。
【详解】9×9＝81
98×9＝882
987×9＝8883
9876×9＝88884
【分析】仔细观察前三道算式，找出特点或规律是解题的关键。
4． 12345679 27 777777777
【详解】略
5．(1) 12 2
(2)26×26－24×24
【分析】（1）3×3－1×1＝4×2、4×4－2×2＝6×2、5×5－3×3＝8×2这3道算式都是把乘减算式改写成几乘2的形式，乘减算式中减号前后都是相同的数相乘且减号前后的乘数相差2，改写成几乘2的形式时，几是这两个乘数的和。据此解答即可。
（2）根据这个规律得数是100的算式改写成几乘2的形式是50×2，乘减算式中减号前后都是相同的数相乘且减号前后的乘数相差2，26＋24＝50，减号前是26与26相乘，减号后是24与24相乘。
【详解】（1）7×7－5×5
＝（7＋5）×2
＝12×2
根据你的发现填空：7×7－5×5＝（12）×（2）。
（2）26×26－24×24
＝（26＋24）×2
＝50×2
＝100
请你根据这个规律写一道得数是100的算式（26×26－24×24）。
【分析】本题主要考查式的规律，解答此题关键是通过前面算式找到规律。
6． 88880 8888880 13986 15984
【分析】第一组算式是乘减算式，第二个乘数都是9，第一个乘数从高位起依次递减1，第一个乘数是几位数，减数就是几，减数是几，得数中的8就有几个。第二组算式中第一个乘数都是999，第二个乘数依次递加1，积的前两位是第二个乘数减1，积的后三位是从989开始依次递减1。
【详解】9×9－1＝80
98×9－2＝880
987×9－3＝8880
9876×9－4＝（88880）
987654×9－6＝（8888880）
999×11＝10989
999×12＝11988
999×13＝12987
999×14＝（13986）
999×16＝（15984）
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
7．100
【分析】观察这组算式，从1开始相差2的几个数相加，和是加数的个数乘加数的个数，据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋…＋19是10个数相加，则和是10×10＝100。
则1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝100。
【分析】根据已知的算式得出前后算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
8．63
【分析】根据观察可知：，可看作；，可看作；，可看作；，可看作。则143乘一个数与7的乘积，求得的积为四位数，千位和个位均为这个数，百位和十位均为0。
【详解】，即。
【分析】根据已知的算式得出算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
9． 5 1111109 123456789 1111111109 1222221 111111111
【详解】略
10．4444.2222
【分析】通过观察发现，若第一个因数小数点右边有（n－1）个6，第二个因数小数点左边有（n－1）个6，（n＝1，2，3，…），则积的小数点左边有n个4，积的小数点右边有n个2，据此解答即可。
【详解】4444.2222
【分析】对于这样的题目，要仔细观察，认真分析，探索出规律。
11． 111111.1 12345678 0.9
【分析】观察已知算式可知，算式由从1开始的几个连续自然数组成的几位数乘0.9，再分别加上一位小数0.1、0.2……，结果都是1组成的一位小数，并且得数的整数位数与几个连续自然数组成的整数位数相等，据此解答即可。
【详解】123456×0.9＋0.7＝111111.1；
12345678×0.9＋0.9＝11111111.1
【分析】认真观察已知算式，找到规律是解答本题的关键。
12． 666666 333333
【分析】观察这组算式，第一个因数均是37037，第二个因数依次是3、12、21。乘积依次是111111，444444，777777。则第二个因数是3的几倍，乘积就是111111的几倍。据此解答即可。
【详解】37037×18＝666666
37037×9＝333333
【分析】根据已知的算式得出算式之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
13．34×55555＝1888870
【分析】认真观察各个算式发现：各个算式，每增加一个5，结果就在1和7之间多增加一个8，根据这一规律直接将后面的算式计算出结果即可。
【详解】34×55＝1870
34×555＝18870
34×555＝188870
下一个等式是：
34×55555＝1888870
【分析】根据上面算式的结果找出规律，是解答此题的关键。
14．25
【详解】试题分析：根据图可知：1=1，1+3=22，1+3+5=32，…，由此得出：从1开始的连续几个奇数相加，是几个数相加，则和等于几的平方；由此即可得出：1+3+5+7+9=52．
解：1=1，1+3=22，1+3+5=32，…，则1+3+5+7+9=52=25；
故答案为25．
15． 5 111100 1234567 11111100
【分析】这是一组乘减算式，第一个乘数按照1，2，3，4，5，6……9的顺序增加一个数位，减数按照8，7，6……0的顺序递减，第二个乘数是9保持不变，得数的最后两位是0，前几位随着第一个乘数和减数的变化而在最高位不断增加一个数位，且值为1。
【详解】12×9－8＝100
123×9－7＝1100
1234×9－6＝11100
12345×9－（5）＝111100
（1234567×9）－3＝11111100
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
16． 666666 666669
【分析】第一个因数中有几个6，积中就有几个4和几个5，所得结果中间是5，两边是4，其中最右边只有一个，剩下的在左边，由此解答。
【详解】根据分析可得：
666666×666669＝444445555554
【分析】本题考查算式的规律，找到规律是解题的关键。
17． 1 8 2 7 3 6 499995 5999994
【解析】略
18． 4 9 1+2+3+4+3+2+1=16 2500
【详解】略
19． 63 127 512
【分析】连加算式的第一个加数都是1，后面的每一个加数都是前面一个加数的2倍，不难发现：这样的连加算式都可以用最后一个加数乘2减1来计算。
【详解】根据分析得：
1＋2＋4＋8＋16＋32＝2×32－1＝63；
1＋2＋4＋…＋64＝2×64－1＝127；
1＋2＋4＋…＋512＝2×512－1＝1023。
【分析】解决本题的关键是根据数据之间的特征，推理出转化的规律。
20．1234
【分析】括号里的被减数各个数位上的数都是2（被减数最少是两位数），减去被减数各个数位上数字的和，再除以18，结果的最高位上是1，相邻的后面数位上的数比前面数位上的数大1，结果的位数比被减数的位数少1，据此即可解答。
【详解】根据（22－4）÷18＝1，（222－6）÷18＝12，（2222－8）÷18＝123，可得出（22222－10）÷18＝1234。
【分析】找算式的规律，本题主要考查学生的分析推理能力。
21． 4995 8
【分析】通过观察给出的例子，发现：一个因数是999，另一个因数为a时，得数中的最高位就是a－1，中间两个数字都是99，最低位数字分别是a×9的个位数字。据此解答。
【详解】999×5＝4995
999×8＝7992
故答案为4995，7992。
22． 987654 10000000 111111112 1000000000
【分析】纵观各式，都是乘、加混合运算，第一个因数分别是9、98、987…，第二个因数都是9，加数分别是19、118、1117（即第一个因数多一位，除最低位外，其余位上都是1，所有位上的数字之和是10），计算结结果都分别是100、1000、10000（最高位是1，其余位上都是0，0的个数与加数的位数相同），根据这一规律还可以算出算式。
【详解】9×9＋19＝100
98×9＋118＝1000
987×9＋1117＝10000
……
987654×9＋1111114＝10000000
98765432×9＋111111112＝1000000000
【分析】解答此题的关键是找规律，只要找到规律，再根据规律写出最后一个算式的得数就容易了。
23． 189 2889 38889 488889 654321 5888889 7654321 68888889 87654321 788888889
【详解】先用计算器计算前四道算式结果，我们就可以找出规律，根据规律我们可以算出后面的题目。
24． 59 4035
【分析】观察算式可知，相邻两个数平方之差等于这两个数的和，据此填空。
【详解】30＋29＝59；2018＋2017＝4035
【分析】认真观察前几个算式，找出结果与式子之间的联系是解题关键。
25． 9997 99960003
【分析】第一个因数数字全是9，第几个算式，就有几个9，第二个因数的位数与第一个因数相同，个位数字是7其余数字是9，积中从高位到低位9的个数与第二个因数9的个数相同，6和3中间的0的个数与9的个数相同，据此解答。
【详解】
（9997）＝（99960003）
【分析】本题考查算式中的规律，认真分析对比数据的相同点是解题的关键。
26． 被除数和除数扩大相同的倍数，商不变 444÷12＝37 555÷15＝37
【分析】根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
【详解】计算111÷3＝37、222÷6＝37、333÷9＝37中，你发现的规律是（被除数和除数扩大相同的倍数，商不变），请你根据这样的规律再写两个算式（444÷12＝37）、（555÷15＝37）。（答案不唯一）
【分析】掌握商不变的规律是解答此题关键。
27． 0.444…… 0.888…… 1111.2222 11111.22222
【详解】由观察发现第一组式子的结果的整数部分是0，小数部分各数位上的数是一样的而且是无限循环小数，上下比较发现，数位上的数字对于前一个式子的结果来说在逐一增加
第二组式子的整数部分都是1，小数部分都是2，只不过整数部分与小数部分的数位都在逐一增加
【分析】本题属于较为简单的探索规律题，只要发现其变化的规律便可以轻松解决。
28． 99900025 9999000025
【分析】通过观察，两个5相乘是25；两个十位数字是9，个位数字是5的数相乘，结果是9025，在25的前面加了一个9和一个0；两个百位数字和十位数字是9，个位数字是5的数相乘，结果是990025，在25的前面加了两个9和两个0；以此类推，两个因数个位数字是5，在5的前面加几个9，则积是在25的前面加几个9和几个0；因此得解。
【详解】认真观察5×5＝25
95×95＝9025
995×995＝990025
得出规律，因数在5的前面有几个9，则在积中25的前面就有几个9和几个0，所以，9995×9995＝99900025
99995×99995＝9999000025
【分析】认真观察，得出规律，是解决此题的关键。
