考点通关05 全等三角形证明题刷题优选（共80道）
不含辅助线50道 含辅助线30道
【类型一】不含辅助线
1．如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用，证明即可．
【详解】∵，
∴，
即，
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键．
2．已知：如图，，．求证：
【答案】见解析
【分析】先证明，从而可以利用来判定．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．
3．如图，≌，点B、F、C、E在一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由全等三角形的性质可知，再利用线段的和差可得；
（2）由（1）可知，根据即可求出．
【详解】（1）证明：≌，
，
，
.
（2）解：由（1）知：，故
【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等．
4．在中，，．
(1)如图①，是过点C的一条直线，且A，B在的同侧，于D，于E．写出间的数量关系，并写明理由；
(2)如图②，是过点C的一条直线，且A，B在的两侧，于D，于E．写出间的数量关系，并写明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由“”可证，可得，可求；
（2）由“”可证，可得，可求．
【详解】（1）解：．
理由如下：∵于D，于E．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
即；
（2）．
∵于D，于E．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
5．已知是上一点，，，．求证：
【答案】见解析
【分析】首先由得到，根据证明三角形全等即可．
【详解】∵，
∴．
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用线段的加减证得，即可用“”证明三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键．
7．已知：如图，，、分别是边、的中点．请问：与全等吗？为什么？
【答案】与全等，理由见解析
【分析】先根据线段中点的定义证明，再根据证明即可．
【详解】解：与全等，理由如下：
∵、分别是边、的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
8．如图，已知，，为的中点，说出的理由．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质，即可得到结论．
【详解】∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
9．如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线．
【答案】证明见解析
【分析】先根据全等三角形的判定定理得出，进而得出，由角平分线的判定即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴与都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
10．如图，在中（） ，过点C作并连接，使，在上截取，连接．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据，可得，根据，可得，及可证明，问题得解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
11．如图，于点，于点，．是上一点，于点，于点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线的判定定理得到是的平分线，根据角平分线的性质定理证明结论．
【详解】证明：∵，，，
∴是的平分线，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角两边的距离相等、到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
12．如图，线段，相交于点，且，，，，求的长．
【答案】
【分析】先证明，再利用证明，即可得到．
【详解】解：，，
．
又，，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
13．如图，C为上一点．点A，D分别在两侧．，，．
(1)证明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45°
【分析】（1）根据平行线的性质得，即可根据SAS判断三角形全等．
（2）由（1）可得，在由三角形外角和定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判断与性质，平行线的性质，三角形外角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．
14．如图，已知，．求证：，．
【答案】见解析
【分析】根据题意证明，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：在和中，
，
，，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
15．如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
16．如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：；
【答案】证明过程见详解
【分析】根据可求，再结合，，由边角边证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
17．如图，，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】如图，先证明 再利用证明即可．
【详解】证明：
又，，
在与中，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定，掌握“利用证明三角形全等”是解题的关键．
18．如图，，点为上一点且．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据，，是公共边，可证，从而得出，由此证明，即可证明结论．
【详解】证明：∵，，是公共边，
∴，
∴，
∵，
∴，且，是公共边，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．如图，已知，是的中点．求证：．
【答案】证明过程见详解
【分析】证明，即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，为公共边，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法和性质是解题的关键．
20．已知和位置如图所示，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由可得出，可证出，再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．
21．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)求证：
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）欲证明，只要证明即可；
（2）由，推出，由，，又，，可得，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）的结论得，
∴，
∵由，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）解：证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E，F，，求证：是的角平分线．
【答案】见解析
【分析】首先可证明，再根据三角形角平分线的逆定理即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，直角三角形全等的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并灵活运用全等三角形的性质和判定定理．
24．如图，，，于点E，于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用已知中的垂直关系，根据同角的余角相等可证明，进而可证，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．
【详解】证明：于点E，于点F，
．
，
．
在与中，
，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用同角的余角相等转换角的关系、正确理解与运用全等三角形的判定和性质定理．
25．如图，已知是的边上的高，为上一点，且，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形高的定义得，从而利用判断，根据全等三角形的对应角相等得．
【详解】解：∵是的边上的高，
∴，
∴．
在和中，
∴
∴．
【点睛】本题考查了垂线及全等三角形的判定及性质，熟练掌握“”证明三角形全等是解题的关键．
26．如图1，点A是线段上一点，，，
(1)求证：．
(2)如图2，点A是线段上一点，，，有什么数量关系？并证明．
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】（1）先证得出，从而得出；
（2）先证得出，从而得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据同角的余角相等可得，熟练掌握全等三角形的判定方法：；对于证明线段的和或差，本题运用全等三角形的对应边相等将三条线段转化到同一直线上，使问题得以解决．
27．已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、．求证：
(1)．
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和垂直的定义得到，，则可根据证明；
（2）先由得到，则可根据全等三角形的性质得到，然后可根据判断，从而得到结论．
【详解】（1）解：证明：平分，，，
，，
在和中，
；
（2），
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
28．如图，和中，，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明可得出结论；
（2）根据可得，再根据证明可得出结论．
【详解】（1）证明：，
又，，
，
∴；
（2）证明：，
，
即，
又，，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
29．如图，，，，，垂足分别是，．
(1)求证：；
(2)猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析．
(2)，理由见解析．
【分析】（1）先求得，根据可求得，进而可求得答案．
（2）根据（1）的结论可知，，结合即可求得答案．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵，
∴．
在和中
∴．
（2）∵，
∴，．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，牢记全等三角形的判定方法（两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等）是解题的关键．
30．如图，已知点、、、在一条直线上，，，
求证：.
【答案】见解析
【分析】根据推出，证明即可得到结论．
【详解】证明：∵
在与中
∴
．
【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
31．如图，以点为顶点作两个等腰直角三角形，，，连接，交于点．线段和有何关系？请说明理由．
【答案】，，理由见解答．
【分析】由，得，而，，即可证明，得，，再推导出，即可证明．
【详解】解：，，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明是解题的关键．
32．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
33．已知：，点，分别在，上，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)全等三角形有：，，，
【分析】（1）根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据全等三角形的性质和判定即可证明，，．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∵，
即，
在与中，
，
∴．
综上所述：全等三角形有： ，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
34．如图，已知垂足为，垂足为，，．
(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分；
（2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）解：，
在和中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
35．如图，在△ABC中，，点D在边上，，连接，点E，F在线段上，连接， ．
(1)与全等吗？说明你的理由；
(2)若，请直接写出BF的长为 ；
(3)若与的面积之和为12，则的面积为 ．
【答案】(1)全等，证明见解析
(2)3
(3)48
【分析】（1）连接，易得，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用 即可说明理由；
（2）由，则利用全等三角形的性质和已知条件即可求得的长；
（3）由可得，所以，根据，可得到 ，从而可得的面积．
【详解】（1）解：与全等，理由如下：
∵且，
∴
由外角定理可得，
又∵，
∴，
∵
∴
在和中，
∴（）．
（2）解：∵
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
（3）解：∵
∴，
∴，
又∵
∴，
∴．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形外角定理等知识点，证得是解答本题关键．
36．如图，A，D，E三点在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当满足什么条件时，？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)当为直角三角形（或，或）时，，理由见解析
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据，得出，．即可证明；
（3）根据，得出，，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：当为直角三角形（或，或）时，．理由如下：
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
37．（1）如图1，和都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
【答案】（1）且（2）且
【分析】（1）利用“边角边”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合易得，即可证明；
（2）利用“边角边”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合易得，即可证明．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段与存在的数量关系及位置关系为且；
（2）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段与存在的数量关系及位置关系为且．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
38．如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
(1)≌；
(2)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，
（2）证明，即可由证明．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
（2）证明：≌，
，
于点，于点，
，
．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、垂直的定义等知识与方法，证明≌是解题的关键．
39．如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点使，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据高的定义得到，进而得到，由此证明即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理得到，即可得到，即．
【详解】（1）证明：、分别是、两条边上的高，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵是边上的高，即，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明是解题的关键．
40．如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，求的度数．
【答案】
【分析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：在与中，
，
，
，
，
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等．
41．如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
42．如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在同侧，连结，交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用 “”证明，进而即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
．
；
（2）解：，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
43．【课本习题】如图①，，，，，垂足分别为、．求证：；
【改编】在图①中的边上取一点，使，连接交于点，连接（如图②）．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的面积．
【答案】【课本习题】见解析；【改编】（1）见解析；（2）
【分析】课本习题：先证明，结合，，从而可得结论；
改编：（1）先证明，可得，结合，，从而可得结论；
（2）先证明，，可得，再证明，，可得，，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】课本习题：
证明：∵，，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
改编：
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴的面积为．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
44．如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且 说明和全等的理由．
【答案】证明见解析．
【分析】根据三角形中线的定义可得，根据平行线的性质得出，，根据即可证明≌．
【详解】证明：是中边上的中线，
，
，
，．
在与中，
，
≌．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．也考查了三角形的中线以及平行线的性质．
45．如图，于点A，点D在直线上，．
(1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论；
（2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意，，
在与中，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
∴；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
；
（1）中结论仍然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
46．如图，M，N分别是正五边形的边，上的点，且，交于点P．
(1)求证：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用证明即可得出结论；
（2）求出，由全等形的性质可得，然后根据三角形外角的性质即可求解；
【详解】（1）证明：多边形是正五边形，
，，
在和中，，
，
；
（2）解：多边形是正五边形，
，
，
，
是的外角，
．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．
47．如图，在中，于，点在边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，且的面积等于24，求的长．
(3)若，直接写出线段的数量关系：________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质定理求解即可；
（2）根据三角形的面积的面积三角形的面积，即可求得的长度；
（3）根据线段之间的关系，即可得到．
【详解】（1）证明：，，
∴；
（2）解：，
，
又，，且的面积等于24，
，
；
（3）解：∵，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明，根据全等三角形的对应边相等解决问题．
48．【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点 G．
【问题探究】
(1)的度数为 ；
(2)过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形内角和定理求出答案；
（2）利用三角形内角和定理证明，进而证明，由此可证明得到；
（3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
49．将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用证明三角形全等即可；
（2）全等三角形的性质，得到，证明，得到，即可得解．
【详解】（1）解：因为，
所以，
即．
在和中，
，
所以．
（2）因为，
所以，．
在和中，
，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
50．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【类型二】含辅助线
全
51．如图，是的角平分线，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先用三角形外角的性质，先求出，再由平分求出，再利用的三角形内角和求出即可；
（2）在上取一点T，使得，先证明，从而到，再利用，求得，从而得到，从而得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）证明：在上取一点T，使得．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
52．如图，四边形中，，，E，F分别为，上的点，．
(1)求证：．
(2)求证：点C在的平分线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）延长至点G，使得，连接，利用四边形内角和，易证，得到，，再证明，得到，即可证明结论；
（2）过点C作、，易证，得到，根据角平分线的判定定理，即可证明结论．
【详解】（1）证明：如图，延长至点G，使得，连接，
四边形的内角和为，且，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图，过点C作交于点N，交于点M，
，
，
在和中，
，
，
，
点C在的平分线上．
【点睛】本题考查了多边形内角和，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
53．如图，中，，，分别平分，，，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）先由，得到，然后由，分别平分，得到的值，进而得到的度数；
（2）在上截取，连接，然后证明，从而得到，然后由得到，进而得到，可证，即可得到，最后得到．
【详解】（1）∵
∴
∵，分别平分、
∴、
∴
∴
（2）在上截取，连接
∵平分
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
又∵平分
∴
在和中
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．
54．如图，在五边形中，，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．
【详解】（1）解：在上截取，连接．
∵平分，
∴．
在和中，
∴
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与怕那段是解题的关键．
55．如图，在中，是角平分线，于点在边上，．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，再证明；
（2）过点D作于点G，根据角平分线的性质得出，再证明，得出，证明，得出，根据即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：过点D作于点G，
∵是角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
56．如图所示，已知直线平分且，求与之间的关系并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】如图，过点作点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，通过证明，得出，通过推出与之间的关系．
【详解】解：，理由如下：
如图，过点作点，过点作于点，
直线平分，，，
，
在和中，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
57．如图，中，平分，过点作于点，点是的中点，连接，若，，求的长．
【答案】的长为．
【分析】先添加辅助线，构造全等三角形，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点，
∵平分，
∴ ，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴为的中位线，
∴，
答：的长为．
【点睛】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是延长交延长线于，证明是的中位线．
58．在四边形中，，点是的中点
情景引入：
（1）如图1，若是的平分线，试判断，，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，证明得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系为，试证明该结论；
问题探究：
（2）如图2，点是的延长线上一点，连，若恰好是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析；（2）AB=AF+CF，理由见解析.
【分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB=CF，即可得结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB=CG，即可得结论.
【详解】解：（1）AD=AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD
∴∠F=∠BAE
∴∠DAF=∠F
∴AD=DF，
∵点E是BC的中点
∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）
∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
（2）AB=AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G．且BE=CE，∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
59．如图，在中，，，点为中点，交于点，交于点．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形两锐角互余得出，即可求证；
（2）过点作的垂线交延长线于点，先证明，得出，，则，再证明，得出，即可求证．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作的垂线交延长线于点
，
即，
在和中，
，
，
为中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为，直角三角形两锐角互余，以及正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明．
60．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=BE．
【答案】见解析
【详解】试题分析：延长AD和BC交于F，求出∠CBE=∠CAF，AC=BC，证△EBC≌△FAC，△ABD≌△FBD，推出BE=AF，AD=DF，即可得出答案．
解：如图延长AD和BC交于F，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°=∠BAC，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACF=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBC，
∵BD⊥AD，
∴∠BCE=∠ADE=90°，
∵∠BEC=∠AED，
∴根据三角形内角和定理得：∠DAE=∠CBE，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE=AF，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD=DF，
即AF=2AD，
∴AD=AF，
∴AD=BE．
考点：全等三角形的判定与性质．
61．如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】延长，相交于点M，分别证明和即可得解．
【详解】证明：延长，相交于点M，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．
62．已知和是等腰直角三角形，，点F为中点，连接．
(1)如图1，当点D在上，点E在上，请判断此时线段的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)如图2，将绕点A逆时针旋转时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
(3)如图3，将绕点A逆时针旋转时，若，求的长以及中边上的高的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)成立，证明见解析
(3)，中边上的高的长为
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据，得到即可证明；
（2）延长交于点G，先证明，得到，根据，，再根据等腰三角形三线合一的性质进行证明即可；
（3）延长交于点H，先证明，得到，根据旋转条件可以为直角三角形，由和是等腰直角三角形，，可以求出的值，进而可以根据勾股定理可以求出，再求出，由，求出得的值．作于点M，作于点N，由勾股定理求出，得出，设，则，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1），理由如下
∵，点F为中点，
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理得：，
∴，
∴；
（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下：
如图2，延长交于点G．
∵，
∴，
∴．
∵F为中点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴.
∵，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴；
（3）延长交于点H，如图3所示，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
由旋转可得，，
∵，
∴
∴
∵F为中点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
作于点M，作于点N，则，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在和中，由勾股定理得，
解得，
∴，
即中边上的高的长为．
【点睛】本题是几何变换综合题目，主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定与性质，及勾股定理的运用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
63．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】
如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】【问题探究】，证明见解析；【拓展延伸】．证明见解析
【问题探究】延长BE交CA延长线于F，证明，推出，再证明，可得结论；
【拓展延伸】过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明，推出，再证明得到来求解．
【详解】问题探究：解：，理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
拓展延伸：解：．
证明：过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
64．（1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数；
（2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）延长至点G，是使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而推出，即可求出的度数；
（2）延长至点H，使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图，延长至点G，是使得，连接，
四边形，与互补，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长至点H，使得，连接，
与互补，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
65．（1）【初步探索】如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．结论应是__________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，延长到点，使，连接，则
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍然成立，理由：
如图2，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
66．如图，在中，、的平分线交于点D，延长交于E，G、F分别在上，连接，其中，．
(1)当时，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出 ，据此求解即可；
（2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：在中，∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
为的一个外角，
，
为的一个外角，
，
平分，
，
，
∵，
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的作辅助线是解决问题的关键．
67．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）证，即可得出结论；
（2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论；
（3）求出，由全等三角形的性质得，即可求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：设，
，
，，
则，
在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
；
（3）解：，且，
，
，
，
由（2）得：，
，
，
即的长为4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明和是解题的关键．
68．如图，在中，，的平分线，交于点．
(1)如图1，若．
①求的度数；
②试探究线段与、之间的关系，请写出你的结论，并证明．
(2)如图2，点，分别在，上，连接，其中，．
求证：．
【答案】(1)①；②，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）①由角平分线的定义可得，再由和三角形内角和定理可得，，根据三角形外角的性质即可求解；②在上截取，证明，，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）由角平分线的性质可得，，由可得，证得，在线段上截取，连接，易证，由全等三角形的性质和已知证明，可得，即可得．
【详解】（1）解：①∵平分.
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角
∴；
②，理由如下：
如图，在上截取，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴；
（2）解：∵平分，平分
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴.
在线段上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
由（1）得，
∴ ，
，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和与外角的性质等，添加适当的辅助线是解题的关键．
69．在中，，线段、分别平分、交于点G．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果；
（2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∵
∴，
∵平分、平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：作平分交于点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于点，于点，于点，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
70．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点G，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明；
（2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明；
（3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出；
【详解】（1）证明： 是的角平分线，
.
，
.
.
为边上的高，
.
.
平分.
（2）过点F作于点M，于点N，
平分，且，，
.
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
（3），
，，
，
为边上的高，
，
，
.
在和中，
.
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
71．如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据高的意义得出，，再结合已知条件可得到，据此得出结论；
（2）首先根据高的意义及（1）的结论可得出，然后再结合已知条件可得出，据此可证明和全等，进而可得出结论；
（3）首先根据四边形的面积的面积面积可得出，过点作交的延长线于点，再证和全等，从而得，由（2）可知，据此可得，然后根据可求出的长，进而可得出的长．
【详解】（1）证明：是中边上的高，
，
，
，
，
，
即：；
（2）证明：由（1）知：，，
，，
，
又∵，
，
即：，
，
即：，
∵，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：∵是中边上的高，
，
，，
∵，
，
，
即：，
，
由（2）知：，
，
，
过点作交的延长线于点，
则，
由（1）知：，
，
，
由（2）知：，
即：，
在和中，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
∵，
，
即：，
，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算公式等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的性质，难点是在解答（3）时，过点作交的延长线于点，从而构成全等三角形．
72．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连接，若．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设与的交点为M，在和中，根据对顶角相等和题干中的条件，证得．
（2）在上截取，连接，根据边角边证明，再通过全等的性质证明，最后证明，即可解答．
【详解】（1）
证明：如图，设与的交点为M，
在和中，
∵（已知），（对顶角相等）
∴．
（2）证明：如图，在上截取，连接，
在与中，
，
，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，正确的作出辅助线是解题的关键．
73．如图，在四边形中，于M，，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先作辅助线，证明，再证明，最后用邻补角的定义和等量代换即可证明；
（2）利用（1）中三角形全等，得出相等线段，再等量代换即可．
【详解】（1）证明：如图，过C点作，交的延长线于E点．
∵，，
∴，
在和中，
∴．
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴．
（2）由(1)知，
，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，通过添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
74．已知，在中，．
(1)_________°；
(2)如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作，连接和，若，求证：；
(3)如图2，M为射线上一点，N为射线CA上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据和三角形内角和即可求出．
（2）过点C作交的延长线于T，连接，证明 ，再证明垂直平分线段，即可证明．
（3）过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，首先证明，得出再证明 ，得出根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）∵，
又∵，
∴
（2）证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，∴
（3）由（1）得
过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图，
∵AQ⊥AM，PC⊥BM，
∴
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∵CM＝AN，
∴
∵
∴
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴．
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，通过作辅助线将已知条件联系在一起是解题关键．
75．已知是四边形内一点，且，，是的中点.
(1)如图，连接，，若，求证：；
(2)如图，连接，若，求证：；
(3)如图，若，，垂足为，求证：点，，在同一条直线上.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
延长到点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，并能得出：，则可得出结论；
连接，并延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论.
【详解】（1）证明：在和中，
，
（SSS），
，
，
；
（2）证明：延长到点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（SSS），
，
，
，
；
（3）证明：连接，并延长到，使，连接，
由得，
，
，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
点在同一条直线上．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是善于构造全等并熟练掌握三角形全等的判定与性质．
76．已知中，，，点M为直线上任意一点，过点C作交于点D，在上取一点N使，连接
(1)如图，M、N在线段上，求证：；
(2)若M、N分别在、的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
【答案】(1)见解析
(2)图见解析,（1）中的结论成立，证明见解析
【分析】（1）作，交的延长线于G，交于O．由已知易证，则可得，再证明，则问题解决；
（2）作，交的延长线于G，交于O．由已知易证，则可得，再证明，则问题解决．
【详解】（1）证明：如图，作，交的延长线于G，交于O．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（1）中的结论成立．
理由：如图，作，交的延长线于G，交于O．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，是三角形全等的综合问题，构造辅助线得到全等三角形是问题的关键．
77．已知：在和中，，，．
(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长交于F，求证：；
(2)如图2，与交于F，G在上，若平分，求证：点C在直线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先说明，根据证明，得出，说明，即可得出答案；
（2）连接，过点C作于点M，于点N，根据证明得出，根据证明，得出，说明平分，得出，证明即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵A，C，D在同一直线上，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：连接，过点C作于点M，于点N，如图所示：
，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴、F、G在同一直线上，
即点C在直线上．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
78．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：，
（3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；理由见解析
【分析】（1）延长到G，使，连接．证明，可得，进而可得结论；
（2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论；
（3）在上截取，使，连接．证明．可得．然后可得出，那么．
【详解】（1）证明：如图1中，延长到G，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，延长至M，使，连接．
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：．
证明：如图3，在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．
79．如图1，AD是的高，点F为BC延长线上一点，FE⊥AB于点E，交AD于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，DH是的角平分线，点M为HD的延长线一点，连接MC、MF，若，，求线段AC的长．
【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解；
(3)10．
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得解；
（2）根据已知条件，证明，即可得到AB=GF；
（3）在CA上截取CN=MC，连接DN，然后分别证明三角形全等：，，，最后得出答案．
【详解】（1）∵AD是的高，
∴∠ADB=，
∴∠B+∠BAD=，
∵FE⊥AB
∴∠FEB=，
∴∠B+∠EFB=，
∴∠BAD=∠EFD．
（2）∵AD是的高，
∴∠ADB=∠ADC=，
∵∠EFB=∠BAD，
∵BD=DG，
∴，
∴AB=GF．
（3）在CA上截取CN=MC，连接DN，（如图4）
∵DH是的角平分线，
∴∠HDB=，
∴∠FDM=，
∵∠FCM+∠MCD=，
∠MCF+∠ACD=，
∴∠MCD=∠ACD．
∵CD=CD，
∴，
∴∠NDC=∠MDC，DN=DM，
∴∠AND=∠FDM=，
∵，
∴AD=DF，
∴，
∴AN=FM，
∴AC=AN+CN=FM+MC=10．
故线段AC的长为10．
【点睛】此题是关于三角形的一道综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，同角的余角相等等知识．熟练判定两个三角形全等是解决此题的关键．
80．如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求度数；
(2)求证：≌；
(3)猜想线段，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌；
（3）延长交于，分别证明≌、≌，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】（1）解：，
，
、是的角平分线，
，，
，
；
（2）证明：由可知：，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌；
（3）解：，
证明如下：延长交于，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
()
考点通关05 全等三角形证明题刷题优选（共80道）
不含辅助线50道 含辅助线30道
【类型一】不含辅助线
1．如图，已知，，．求证：．
2．已知：如图，，．求证：
3．如图，≌，点B、F、C、E在一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)求的长．
4．在中，，．
(1)如图①，是过点C的一条直线，且A，B在的同侧，于D，于E．写出间的数量关系，并写明理由；
(2)如图②，是过点C的一条直线，且A，B在的两侧，于D，于E．写出间的数量关系，并写明理由．
5．已知是上一点，，，．求证：
6．如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．
7．已知：如图，，、分别是边、的中点．请问：与全等吗？为什么？
8．如图，已知，，为的中点，说出的理由．
9．如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线．
10．如图，在中（） ，过点C作并连接，使，在上截取，连接．求证：．
11．如图，于点，于点，．是上一点，于点，于点．求证：．
12．如图，线段，相交于点，且，，，，求的长．
13．如图，C为上一点．点A，D分别在两侧．，，．
(1)证明：；
(2)若，求的度数．
14．如图，已知，．求证：，．
15．如图，已知，，．求证：．
16．如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：；
17．如图，，，，，求证：．
18．如图，，点为上一点且．求证：．
19．如图，已知，是的中点．求证：．
20．已知和位置如图所示，，求证：．
21．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)求证：
22．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
23．如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E，F，，求证：是的角平分线．
24．如图，，，于点E，于点F，求证：．
25．如图，已知是的边上的高，为上一点，且，．求证：．
26．如图1，点A是线段上一点，，，
(1)求证：．
(2)如图2，点A是线段上一点，，，有什么数量关系？并证明．
27．已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、．求证：
(1)．
(2)．
28．如图，和中，，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：．
29．如图，，，，，垂足分别是，．
(1)求证：；
(2)猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
30．如图，已知点、、、在一条直线上，，，
求证：.
31．如图，以点为顶点作两个等腰直角三角形，，，连接，交于点．线段和有何关系？请说明理由．
32．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
33．已知：，点，分别在，上，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的三角形．
34．如图，已知垂足为，垂足为，，．
(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
35．如图，在△ABC中，，点D在边上，，连接，点E，F在线段上，连接， ．
(1)与全等吗？说明你的理由；
(2)若，请直接写出BF的长为 ；
(3)若与的面积之和为12，则的面积为 ．
36．如图，A，D，E三点在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当满足什么条件时，？并说明理由．
37．（1）如图1，和都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
38．如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
(1)≌；
(2)．
39．如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点使，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
40．如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，求的度数．
41．如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
42．如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在同侧，连结，交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
43．【课本习题】如图①，，，，，垂足分别为、．求证：；
【改编】在图①中的边上取一点，使，连接交于点，连接（如图②）．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的面积．
44．如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且 说明和全等的理由．
45．如图，于点A，点D在直线上，．
(1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．
46．如图，M，N分别是正五边形的边，上的点，且，交于点P．
(1)求证：．
(2)求的度数．
47．如图，在中，于，点在边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，且的面积等于24，求的长．
(3)若，直接写出线段的数量关系：________．
48．【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点 G．
【问题探究】
(1)的度数为 ；
(2)过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
49．将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
50．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【类型二】含辅助线
51．如图，是的角平分线，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
52．如图，四边形中，，，E，F分别为，上的点，．
(1)求证：．
(2)求证：点C在的平分线上．
53．如图，中，，，分别平分，，，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，，求线段的长．
54．如图，在五边形中，，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
55．如图，在中，是角平分线，于点在边上，．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，求证：．
56．如图所示，已知直线平分且，求与之间的关系并说明理由．
57．如图，中，平分，过点作于点，点是的中点，连接，若，，求的长．
58．在四边形中，，点是的中点
情景引入：
（1）如图1，若是的平分线，试判断，，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，证明得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系为，试证明该结论；
问题探究：
（2）如图2，点是的延长线上一点，连，若恰好是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
59．如图，在中，，，点为中点，交于点，交于点．求证：
(1)；
(2)．
60．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=BE．
61．如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：．
62．已知和是等腰直角三角形，，点F为中点，连接．
(1)如图1，当点D在上，点E在上，请判断此时线段的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)如图2，将绕点A逆时针旋转时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
(3)如图3，将绕点A逆时针旋转时，若，求的长以及中边上的高的长．
63．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】
如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
64．（1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数；
（2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．
65．（1）【初步探索】如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．结论应是__________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
66．如图，在中，、的平分线交于点D，延长交于E，G、F分别在上，连接，其中，．
(1)当时，求的度数；
(2)求证：．
67．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长．
68．如图，在中，，的平分线，交于点．
(1)如图1，若．
①求的度数；
②试探究线段与、之间的关系，请写出你的结论，并证明．
(2)如图2，点，分别在，上，连接，其中，．
求证：．
69．在中，，线段、分别平分、交于点G．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
70．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点G，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
71．如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）
72．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连接，若．
(1)求证：．
(2)求证：．
73．如图，在四边形中，于M，，．求证：
(1)；
(2)．
74．已知，在中，．
(1)_________°；
(2)如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作，连接和，若，求证：；
(3)如图2，M为射线上一点，N为射线CA上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：．
75．已知是四边形内一点，且，，是的中点.
(1)如图，连接，，若，求证：；
(2)如图，连接，若，求证：；
(3)如图，若，，垂足为，求证：点，，在同一条直线上.
76．已知中，，，点M为直线上任意一点，过点C作交于点D，在上取一点N使，连接
(1)如图，M、N在线段上，求证：；
(2)若M、N分别在、的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
77．已知：在和中，，，．
(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长交于F，求证：；
(2)如图2，与交于F，G在上，若平分，求证：点C在直线上．
78．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：，
（3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论．
79．如图1，AD是的高，点F为BC延长线上一点，FE⊥AB于点E，交AD于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，DH是的角平分线，点M为HD的延长线一点，连接MC、MF，若，，求线段AC的长．
80．如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求度数；
(2)求证：≌；
(3)猜想线段，，的数量关系，并证明．
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