2023年秋期人教版数学九年级期中试题2
一、填空题
1．关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
2．对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
-1
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
二、单选题
3．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的解析式为y= +1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）.
A．（-2，1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（1，2）
6．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形是（ ）
A．圆 B．平行四边形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．用配方法解方程 ，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中， ， ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ，结合图象分析下列结论：① ；② ；③当 时， 随 的增大而增大；④一元二次方程 的两根分别为 ， ；⑤若 为方程 的两个根，则 且 ，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过点（﹣1，1），（4，﹣4）.下列结论：
① ＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③x＝4是方程ax2+（b+1）x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜4时，ax2+（b+1）x+c＞0.其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
三、解答题
12．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
四、计算题
14．用因式分解法解方程：
15．解下列方程
（1）x2﹣2x+1=0
（2）（x﹣1）（x+2）=2（x+2）
（3）16（x﹣5）2﹣25=0
（4）x2+2x=2．
五、作图题
16．如图是由5个同样的小正方形所组成的，请再补上一个同样的小正方形，使6个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，请至少画出三种方法．
17．已知在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．
（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过A，C两点；
（2）在（1）中所作的图中，求证：BC是⊙O的切线．
六、综合题
18．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
（2）抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
19．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程 的根，求m的值．
七、实践探究题
20．阅读材料
对式子 可以变化如下：原式 此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．
请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）无论 取何值，代数式 总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．
21．阅读材料：已知，求的值．
解：，即，
所以，，所以，，所以．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若，则的值为 ；
（2）已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两个根分别为、，
，
故答案为：-2.
【分析】如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么，，据此直接结算可得答案.
2．【答案】-1；3
【解析】【解答】解：根据x=-1和x=m时， 的值都为c，且 的对称轴为x=0可知，m=-1或者1，根据题意m=-1；根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可知，c+3=d，故d-c=3
综上：m=-1；d-c=3
【分析】根据题干给的信息及二次函数的性质，列出等式求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴C符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得： 。
故答案为：C。
【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．因为y= +1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．
故答案为：B．
【分析】题目给出的是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，直接根据顶点式写出顶点坐标（h，k）。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形；A不符合题意；
B.不是中心对称图形；B不符合题意；
C.是中心对称图形；C符合题意；
D.不是中心对称图形；D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；由此即可得出答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】A.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项符合题意，
B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，
C.等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意，
D.等腰直角三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为：D.
【分析】常数项移到方程的右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角及等弧所对的圆心角的性质求解即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由函数图象可得，
， ， ，
则 ，故①符合题意；
，得 ，
时， ，
，
，
，故②符合题意；
由图象可知，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，故③不符合题意；
抛物线 与x轴交于点 ，其对称轴为直线 ，
该抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ，
的两个根为 ， ，
的两个根为 ， ，
一元二次方程 的两根分别为 ， ，故④符合题意；
该函数与 轴的两个交点为 ， ，
该函数的解析式可以为 ，
当 时，
当 对应的 的值一个小于 ，一个大于2，
若 ， 为方程 的两个根，则 且 ，故⑤符合题意；
故答案为：C．
【分析】抛物线开口向下，且与x轴的交点在x轴上方，对称轴在y轴左侧，可得 ， ， ，据此判断①；由对称轴为，可得a=b，当 时， 随 的增大而增大，再将（-3，0）代入解析式中可得y=9a-3b+c=0，从而得出3a+c=-3a＜0，据此判断②③；求出抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ，可得出的两个根为，，继而得出 的两个根为 ， ， 即得一元二次方程 的两根分别为 ， ，据此判断④；由于，根据图象可知当 对应的 的值一个小于 ，一个大于2，据此判断⑤.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，1），(4，﹣4）.
∴ ，
②+①×4，整理，
∴ ＝﹣ ，故①正确；
∵不能得出对称轴方程，所以当x＞1时 y的值随x值的增大而减小 ；故②错误；
把x=4代入方程ax2+（b+1）x+c＝0整理得，16a+4b+c＝﹣4，
把（4，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得，16a+4b+c＝﹣4，
∴x＝4是方程ax2+（b+1）x+c＝0的一个根，故③正确；
由题意可知，当﹣1＜x＜4时2+bx+c的图象在直线y＝﹣x的上方，
∴ax2+bx+c＞﹣x，
∴ax2+（b+1）x+c＞0，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①将（﹣1，3），﹣4）代入y＝ax2+bx+c中，可求出4a=-c，从而求出 ＜0；②不能得出对称轴方程，所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小不一定正确；③把x=4代入方程ax2+（b+1）x+c＝0，可得16a+4b+c＝﹣4，把（4，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得16a+4b+c＝﹣4，从而判定x＝4是方程ax2+（b+1）x+c＝0的一个根；④由题意可知，当﹣1＜x＜4时2+bx+c的图象在直线y＝﹣x的上方，可得ax2+bx+c＞﹣x，据此判断即可.
12．【答案】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵
∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴。
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD=45°， 进而可得 △ABD为等腰直角三角形， 根据勾股定理，即可求解．
13．【答案】解：
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根.
【解析】【分析】利用一元二次方程的根的判别式证明即可.
14．【答案】解：原方程变形为 .
利用平方差公式分解因式得：
∴ ，
【解析】【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
15．【答案】（1）解：（x﹣1）2=0，
所以x1=x2=1
（2）解：x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）=0，
（x+2）（x﹣1﹣2）=0，
x+2=0或x﹣1﹣2=0，
所以x1=﹣2，x2=3
（3）解：（x﹣5）2= ，
x﹣5=± ，
所以x1= ，x2=
（4）解：x2+2x+1=3，
（x+1）2=3，
x+1=± ，
所以x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）利用直接开平方法解方程；（4）利用配方法解方程．
16．【答案】解：如图所示：
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，进行画图，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：如图，⊙O即为所求．
（2）解：连接OC．
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵MN垂直平分相对AC，
∴OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠OCB＝90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】【分析】(1)作AC的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．(2)根据题目中给的已知条件结合题(1)所作的图综合应用证明∠OCB＝90°即可解决问题．
18．【答案】（1）解：抛物线y＝ x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝ x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)
（2）解：抛物线y＝ x2－1可由抛物线y＝ x2向下平移1个单位长度得到
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式分别找到a，b，c的值，根据抛物线的图像与系数的关系即可得出开口方向，对称轴，及顶点坐标；
（2）根据两抛物线顶点坐标即可找到平移规律。
19．【答案】（1）解： 方程 是关于x的一元二次方程，
，解得 ，
又 一元二次方程 有两个不相等的实数根，
其根的判别式 ，
解得 ，
综上，k的取值范围是 且 ；
（2）解：由（1）得： ，
是一元二次方程 的根，
，
解得 ．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得；（2）先根据（1）的结果求出k的值，再根据一元二次方程的根的定义可得一个关于m的一元一次方程，解方程即可得．
20．【答案】（1）原式
；
（2）原式
，
，
∴ 的最小值为2018．
【解析】【分析】（1）根据配方法和平方差公式，即可分解因式；（2）根据配方法，把原式化为 ，进而即可求解．
21．【答案】（1）-1
（2）解：，
即，
所以，
所以，，
所以，，
所以
【解析】【解答】解：（1），
即
所以，
所以m=-3，n=3
所以．
【分析】（1）参照题干中的计算方法求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可；
（2）利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，最后将x、y的值代入xy计算即可。
