2023-2024学年九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题（每小题3分，总30分）
1.下列方程①，②，③，④，⑤中，一定是一元二次方程有（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是
A. B.
C. D.
3.抛物线向左平移三个单位、再向上平移两个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4.对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.若则，有一根是（ ）
A. B. C. D.
6.函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.若函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C.或 D.且
8.如果，那么的值为（ ）
A.1 B.-4 C.1或-4 D.-1或3
9.已知二次函数的图像如下图所示，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③其中，正确结论的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ）
A.13 B.11或13 C.11 D.12
二、填空题（每小题3分，其30分）
11.如果是关于x的二次函数，则__________.
12.某年中国足球超级联赛实行主客场的循环赛，即每两只球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的球队有多少支 设参加比赛的球队有x支，可列方程为：________（不解方程）.
13.已知m是关于x的方程的一个根，则________.
14.已知抛物线与x轴交于，，则一元二次方程的根是_________.
15.已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_________.
16.已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是_______（用“<”连接）.
17.某种商品经过两次降价后（每次降价的百分率相同）的价格为降价前的81%，则每次降价的百分率为_________.
18.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_________.
19.抛物线的顶点在坐标轴上，则m的值为_________，
20.抛物线与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且，则P点坐标是_________，
三、计算与解答（共60分）
21.解方程：
①②
③④
22.某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（最大可用长度为30米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲场（长方形ABCD）的宽CD为a米.
（1）饲养场的长为____________米（用含a的代数式表示）；
（2）若饲养场的面积为，求该饲养场的长和宽.
23.求二次函数在范围内的最小值和最大值.
24.已知二次函数图象的顶点是，且过点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.
25.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件，
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件
26.如图①，抛物线与x轴交与、两点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q.使得的周长最小 若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由，
（3）如图②，P是线段BC上的一个动点，过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值.
参考答案
一、选择题（每小题3分，总30分）
1.【答案】A
【解析】解：①，是一元二次方程；
②，含有3次项，不是一元二次方程；
③，当时，原方程不是一元二次方程；
④，含有2个未知数，不是一元二次方程；
⑤，是分式方程，不是一元二次方程.
故选A
2.【答案】C
【解析】解：依题意得八、九月份的产量为、，
∴.
故选：C.
3.【答案】C
【解析】解：抛物线向左平移三个单位、再向上平移两个单位，
得到的抛物线为，
即，顶点坐标为.
故选C.
4.【答案】C
【解析】解：由题意得：，解得：，
∴，∴，，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选C.
5.【答案】D
【解析】∵，∴，
将代入中，
得：，
将方程左边因式分解得：，
∴当时，方程成立，
即方程的一个根为：，
故选：D.
6.【答案】C
【解析】根据可得：函数的对称轴为：，
当时，
二次函数的图象开口向上，抛物线在轴右侧，
一次函数的图象交于轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限；
当时，
二次函数的图象开口向下，抛物线在轴左侧，
一次函数的图象交于轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限；
根据上述结果：可知A、B、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项C符合题意，
故选：C.
7.【答案】A
【解析】当函数为一次函数时，即，，
此时函数为：，
即一次函数与轴有交点；
当函数为二次函数时，即，，
令，
根据二次函数与轴有交点，可知方程，方程的判别式，
即，
解得：，
此时k的取值范围是且；
综上：k的取值范围是.
故选：A.
8.【答案】C
【解析】设，则原方程变形为，解得或.
故选：C.
9.【答案】D
【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故①正确；
∵抛物线开口向下，∴
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴
∵对称轴，∴
∴，故②正确；
∵没有实数根，∴直线与抛物线没有交点
∴，故③正确故选：D
10.【答案】B
【解析】，
分解因式得：，
可得或，
解得：，，
若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13；
若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，
综上，的周长为11或13.
故选B
11.【答案】-1
【解析】根据二次函数的定义：，且，
解得：
故答案为-1
12.【答案】
【解析】
解：设参加比赛的球队有x支，由题意得：每两只球队之间都要踢两场，
∴，
整理得：；
故答案为：.
13.【答案】-6
【解析】解：∵m是关于x的方程的一个根，
∴，
即，
∴，
故答案为：-6.
14.【答案】，
【解析】解：∵抛物线与x轴交于，，
即自变量为-1和5时，函数值为0，
∴方程的两根为，.
故答案为：，.
15.【答案】且
【解析】由题意，得，且，
解得：且，
故答案为：且.
16.【答案】
【解析】解：，
，对称轴为：，
∴抛物线的开口朝下，图象上点离对称轴越远，函数值越小，
∵，∴；
故答案为：.
17.【答案】10%
【解析】解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，或（舍去）.
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
故答案为：10%
18.【答案】
【解析】∵二次函数的解析式为，
∴二次函数图象的对称轴为，函数图象的开口向上，
∴在对称轴的右边函数值y随着x的增大而增大，
故只要时，当时，y随x的增大而增大，
∴a的取值范围为.
故答案为：.
19.【答案】-8，4或-2
【解析】当抛物线的顶点在x轴上时
，即
解得：或
当抛物线的顶点在y轴上时，解得
综上所述，的值为4，-8或-2.
20.【答案】，，，
【解析】设P点的纵坐标为：，
令，解得，或则，
则抛物线与轴的交点，两点的坐标为：，，
则，
∵，，∴，∴，
当时，有：，
解得：.
即此时点的坐标为：，；
当时，有：，
解得：，
即此时点的坐标为：，；
故答案为：，，，.
21.【答案】①，；②，；③，；④，
【解析】①解：∵，，，
∴，
解得，；
②，，
解得：，；
③，，
即，
解得：，；
④，
，
即，
，
解得：，.
22.【答案】（1）；（2）饲养场的长为27米，宽为11米.
【解析】
（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，
∴饲养场的长为，
故答案为：；
（2）由（1）饲养场面积为整理得：，
解得，，
当时，，不符合要求舍去
当时，，符合要求
∴，
答：饲养场的长为27米，宽为11米.
23.【答案】最大值为；最小值为
【解析】
∵
抛物线的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值.
24.【答案】（1）（2）见解析
【解析】：（1）可设此二次函数的表达式为，把点代入即可解得a值，所以，作图即可；
（2）把点代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上.
试题解析：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，
又点在它的图象上，
所以，解得，，
所求为，或.
（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，
则，
得，
方程的判别式：4-12=-8<0，该方程无实根，
所以，对任意实数m，点都不在这个二次函数的图象上.
25.【答案】（1）；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.
【解析】
（1），
（2）设每星期利润为元，
，
∴时，W最大值=6750.
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元.
（3）由题意，解得，
当时，销售300+30×8=540，
当时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.
26.【答案】（1）
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，
利用待定系数法求出直线BC的解析式为：，
连接BC，BQ，QC，AC，
利用勾股定理可得，
则的周长为：，
根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，
点Q在抛物线的对称轴上，
可得，即，
即当点B、Q、C三点共线时，可得到的周长最小，
将代入直线BC的解析式中，即可求出Q点坐标；
（3）根据P是线段BC上的一个动点，
设P点坐标为：，且，
则可得E点坐标为：，
结合图象，根据题意有：，
即，整理得：，则问题随之得解.
