2023-2024学年河南省郑州市中牟县求实中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列判定正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
2. 下列方程有两个相等的实数根的是( )
A. B.
C. D.
3. 方程的根是( )
A. B.
C. ， D.
4. 若一元二次方程无实数根，则的最小整数值是( )
A. B. C. D.
5. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是( )
A. B. C. D.
6. 既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 矩形或菱形
7. 如图，，分别是正方形的边，的点，且，，，现有如下结论：
；≌；；∽
其中，正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是( )
A. B. C. 或 D.
9. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图：长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合．折痕为，则长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知菱形的周长为，两个相邻角度数比为：，则较短的对角线长为______ ，面积为______ ．
12. 方程的根是______ ．
13. 从，，，，这五个数中抽取一个数，作为函数和关于的一元二次方程中的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的的值是______．
14. 如图，已知、、、分别为菱形四边的中点，，，则四边形的面积为______．
15. 菱形在直角坐标系中位置如图示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒个单位长度的速度移动，移动到第秒时，点的坐标为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
按要求解一元二次方程：
配方法；
因式分解法；
公式法．
17. 本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，，求证：四边形是矩形．
18. 本小题分
中华商场将进价为元的衬衫按元售出时，每月能卖出件，经市场调查，这种衬衫每件涨价元，其销售量就减少件如果商场计划每月赚得元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？
19. 本小题分
李明准备进行如下操作实验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？
李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
20. 本小题分
在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，求．
21. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求实数的取值范围．
若方程两实数根为、，且满足，求实数的值．
22. 本小题分
阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：
令，则
原式
问题：
计算：；
解方程．
23. 本小题分
如图，四边形、均为正方形，连接、．
求证：；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；
B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B错误；
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；
故选：．
根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．
本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、方程，，方程无实数根；
B、方程，，方程无实数根；
C、方程，，方程有两个相等的实数根；
D、方程，，方程有两个不相等的实数根；
故选：．
由方程有两个相等的实数根，得到，于是根据判定即可．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解一元二次方程直接开方法，先对题干的方程移项，然后利用数的开方解答即可．
【解答】
解：移项得，
开方得，
，．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先把方程变形为关于的一元二次方程的一般形式：，要方程无实数根，则且，解不等式组，并求出满足条件的最小整数．
【解答】解：方程变形为：，
当且时，方程没有实数根，
即且，
解得，
则满足条件的最小整数为．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：移项得：，
配方得：，
，
故选：．
先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有条对称轴；
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有条对称轴；
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有条对称轴．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
由勾股定理得：，错误；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
≌，正确；
，
，正确；
，，
，
和不相似，错误；
即正确的有个．
故选B．
根据正方形的性质得出，，求出，根据勾股定理得出，即可判断；求出，推出，根据推出≌，即可判断；求出，即可判断；求出，根据相似三角形的判定得出和不相似，即可判断．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查用因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．
【解答】
解：解方程，
解得，；
当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
等腰三角形的底为，腰为；
三角形的周长为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
故选：．
根据一次降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
10.【答案】
【解析】解：设，则，，
在中，，即．
解得：．
故选：．
注意发现：在折叠的过程中，，从而设即可表示，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求解．
此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．
11.【答案】
【解析】解：根据已知可得，
菱形的边长，，，
为等边三角形，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
则 ；
故答案为：，．
根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．
本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法利用底乘以相应底上的高利用菱形的特殊性，菱形面积两条对角线的乘积．
12.【答案】，
【解析】解：，
或，
解得，．
解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得．
解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂问题的一个原则．
13.【答案】
【解析】【分析】
确定使函数的图象经过第一、三象限的的值，然后确定使方程有实数根的值，找到同时满足两个条件的的值即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是会解一元二次不等式，难度不大．
【解答】
解：函数的图象经过第一、三象限，
，
则或或，
关于的一元二次方程有实数根，
，且，
或，
使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的的值为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：连接，，相交于点，如图所示，
、、、分别是菱形四边上的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
菱形中，，
，
四边形是矩形，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，，
矩形的面积．
故答案为：．
连接、，首先判定四边形的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出与的值，进而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可．
本题考查了中点四边形和菱形的性质，解题的关键是判定四边形的形状为矩形．
15.【答案】
【解析】解：，，
．
从点到点所需时秒，
如图所示，过点分别做垂直于轴，垂直于轴，垂足分别为、，因为平行轴，根据平行线性质可知∽，所以根据相似性质可知，即，同理可得，点在第四象限，
沿所需的时间秒．移秒和第秒的位置相同，当运第秒时，可得，
，，
答案为：
先根据题意求出菱形的边长再根据点的运动速度求出沿所需要的时间进而可得出结论．
本题考查是菱形，根据题意得出点运动一周需的时间是答此题的关键．
16.【答案】解：，
移项，得，
即，
配方得，，
，
开方，得，
解得：，；
，
移项，得，
，
或，
解得：，；
，
整理得，，
，，，，
，
，．
【解析】移项后方程两边都除以，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
整理后求出的值，再代入公式求出答案即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
【解析】根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，根据菱形性质求出，根据矩形的判定推出即可．
本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
18.【答案】解：设涨价元，则销量为，利润为，
由题意得，，
整理得，，
解得：，，
当时，则涨价元，销量为：件；
当时，则涨价元，销量为：件．
答：当售价定为元时，每月应进件衬衫；售价定为元时，每月应进件衬衫．
【解析】设涨价元，则销量为，利润为，再由每月赚元，可得方程，解方程即可．
本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
19.【答案】解：设剪成的较短的这段为，较长的这段就为，由题意，得
，
解得：，，
当时，较长的为，
当时，较长的为舍去．
答：李明应该把铁丝剪成和的两段；
李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为，较长的这段就为，由题意，得
，
变形为：，
，
原方程无实数根，
李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于．
【解析】设剪成的较短的这段为，较长的这段就为就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于建立方程求出其解即可；
设剪成的较短的这段为，较长的这段就为就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．
20.【答案】解：连接，过作于，
四边形是矩形，
，，，，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，过作于，求出、，根据三角形面积公式得出，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出长和得出．
21.【答案】解：方程有实数根，
，
；
，
，
，
把代入得：，
解得：．
【解析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围；
根据根与系数的关系得到，又求出函数实数根，代入中，即可得到结果．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
22.【答案】解：设，则原式
设，则方程可化为：，
解得或，
当时，，方程无解；
当时，，解得或．
方程的解为或．
【解析】设，代入化简即可；
，则方程可化为：，求出，再分类讨论解方程即可；
本题考查换元法解方程、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会用换元法的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：四边形、均为正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：≌，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由正方形的性质得出，，，得出，由证明≌，得出对应边相等即可；
由≌，得出对应角相等，由，对顶角，得出，证出即可．
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