18.2.2菱形的判定同步检测作业
一、选择题
1．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°
2．如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（ ）
A．AD＝AB
B．四边形ABCD是平行四边形
C．AD＝2AC
D．四边形ABCD是菱形
3．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD
4．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等
B．两条对角线相等且互相垂直
C．两条对角线互相垂直
D．两条对角线互相垂直平分
5．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
6．下图入口处进入，最后到达的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1），若平移点A到点C，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形为菱形，正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位．
C．向左平移个单位，再向下平移1个单位．
D．向右平移个单位，再向上平移1个单位．
8．如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB＝BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
9．在平面直角坐标系xOy中，A（6，8），点C在x轴上，在平面直角坐标系内存在点D，使A.O、C.D为顶点的四边形是菱形，则D点的坐标为 ．
10．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD.CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
三、解答题
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．
（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；
（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长中线AD到点E，作∠AEF＝45°，点P从点E开始沿射线EF方向以cm/秒的速度运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6）．过点P作PQ⊥AE，垂足是点Q，连接BQ，CQ．若BC＝4cm，DE＝6cm，且当t＝2时，四边形ABQC是菱形．
（1）求AB的长．
（2）若四边形ABQC的一条对角线等于其中一边，求t的值．
参考答案
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：A.AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B.AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C.∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项C不符合题意；
D.∠AOB＝90°，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．【答案】B
【解析】解：∵将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
3．【答案】B
【解析】解：A.对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；
B.对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；
C.邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；
D.邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
4．【答案】D
【解析】解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．
5．【答案】C
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
6．【答案】D
【解析】解：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
∴最后到达的是丁
故选：D．
7．【答案】B
【解析】解：选项B是正确的，理由如下：
∵B（1，1），
∴OB，
∵OA，
∴OB＝OA，
∵点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到C，
∴OB∥AC，OB＝AC，
∴四边形OBCA是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴四边形OBCA是菱形．
故选：B．
8．【答案】D
【解析】解：∵△BDE是△ABC平移过去的，且A.B.D三点一线，∴AD∥CE，AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形，故①命题正确；
∵AB＝BD，且AB＝BC，∴AB＝BD＝DE＝EC＝BC，即四边形BDEC为菱形，故②命题正确；
∵菱形对角线垂直，∴BE⊥CD，∵AC∥BE∴AC⊥CD，故③命题正确；
∵菱形的对角线即角平分线，且四边形BDEC为菱形，∴DC为∠BDE的角平分线，故④命题正确．
故正确的命题为4个，
故选：D．
二、填空题
9．【答案】（6，﹣8）、（16，8）、（﹣4，8）、（，8）
【解析】解：根据题意画图如下：
∵A（6，8），
∴OA10，
当四边形AODC是菱形时，D（6，﹣8）；
当四边形AOC′D′是菱形时，D′（16，8）；
当四边形AOC″D″是菱形时，D″（﹣4，8），
当OA为对角线的菱形，如图，此时D（，8），理由如下：
设菱形OCAD的边长为x，
则DE＝AD﹣AE＝x﹣6，
在Rt△ODE中，OD＝x，OE＝8，
根据勾股定理，得：
OD2＝OE2+DE2，
∴x2＝82+（x﹣6）2，
解得x，
∴DE＝x﹣6，
∴D（，8）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为：（6，﹣8）、（16，8）、（﹣4，8）、（，8）．
10．【答案】6
【解析】解：连接CE交AB于点O，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，AC6，
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB，
∵AB OCAC BC，
∴OC3，
∴OB3，
∴AD＝AB﹣2OB＝12﹣2×3＝6，
三、解答题
11．【解析】证明（Ⅰ）∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBE
∵F是AE中点
∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE
∴△ADF≌△BEF
∴BE＝AD
∵AB⊥AC，E是BC中点
∴AE＝BE＝EC
∴AD＝EC，且AD∥BC
∴四边形ADCE是平行四边形
且AE＝EC
∴四边形AECD是菱形
（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC
∴S△ABC＝10
∵E是BC中点
∴S△AECS△ABC＝5
∵四边形ADCE是菱形
∴S△AEC＝S△ACD＝5
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15
12．【解析】解：（1）∵∠AEF＝45°，PQ⊥AE，点P从点E开始沿射线EF方向以cm/秒的速度运动，
∴当t＝2时，EP＝2cm，
∴EQ＝QP＝2cm，
∵DE＝6cm，
∴DQ＝4cm，
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴∠CDQ＝90°，
∵BC＝4cm，
∴CD＝2cm，
∴CQ2cm，
∵当t＝2时，四边形ABQC是菱形，
∴AB＝CQ＝2cm，
即AB的长是2cm；
（2）当BC＝CQ时，
∵BC＝4cm，
∴CQ＝4cm，
∵CD＝2cm，∠CDQ＝90°，
∴DQ2cm，
∴EQ＝DE﹣DQ＝（6﹣2）cm，
∵EQ＝PQ，EPt，
∴（6﹣2）2+（6﹣2）2＝（t）2，
解得，t＝6﹣2；
当AB＝AQ时，则AQ＝2cm，
∵AB＝2，BD＝2，∠ADB＝90°，
∴AD＝4cm，
∴DQ＝AQ﹣AD＝（24）cm，
∴EQ＝DE﹣DQ＝6﹣（24）＝（10﹣2）cm，
∵EQ＝PQ，EPt，
∴（10﹣2）2+（10﹣2）2＝（t）2，
解得，t＝10﹣2；
当AB＝BC时，不成立；
当CQ＝AQ时，
∵CQ，AQ＝AD+DQ＝4+（6﹣t）＝10﹣t，
∴10﹣t，
解得，t＝7.5（舍去），
综上所述，t的值是6﹣2或10﹣2．
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