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齐鲁名校大联考
2024届山东省高三第一次学业质量联合检测
数 学
本试卷总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（ ）
A．3种 B．7种 C．12种 D．24种
4．记为数列的前项和，若则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．12
5．已知向量，，函数，下列四个点中，可为图象对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
6．某公司年会的抽奖环节准备了甲、乙、丙、丁四个封闭的盒子，盒子内装有现金．为活跃气氛，主持人通过大屏幕给出四个提示，且只有一个提示是真的．提示1：四个盒子中装的现金不都是3000元；提示2：乙盒子中装的现金是3000元；提示3：四个盒子中装的现金都是3000元；提示4：丁盒子中装的现金不是5000元，由此可以推断（ ）
A．甲盒子中装的现金是3000元 B．乙盒子中装的现金是3000元
C．丙盒子中装的现金是3000元 D．丁盒子中装的现金是5000元
7．已知函数的极小值为，极小值点为，零点为．若底面半径为1的圆锥的高，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边位于第三象限，且与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ）
A．8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高
B．1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数
C．1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差
D．1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C． D．
12．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为，所有顶点均在球的球面上，则（ ）
A．直线与直线异面
B．若是侧棱上的动点，则的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是，第75百分位数为，则__________．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，的面积的最大值为，的焦距为2，则双曲线的实轴长为__________．
15．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项__________．
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为内一点．若点满足，且，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知函数（，）在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，若，，，求．
18．（12分）
记等比数列的前项和为，已知，，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）
如图，在三棱锥中，平面，，，是的中点，为上的动点．
（1）证明：平面 平面；
（2）平面时，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）
研学旅行作为一种新兴的教学方式，越来越受中学生的青睐，国家也颁布了一系列政策推进研学旅行发展．为了解学生对“暑期研学旅行”的满意度，某教育部门对180名初一至高三的中学生进行了问卷调查．参与问卷调查的男女比例为5：4，女生初、高中比例为3：1．
（1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，判断“暑期研学旅行”的满意度与性别是否有关联；
性别 满意度 合计
满意 不满意
男生 80
女生 50
合计
（2）该教育部门采用分层随机抽样的方法从参与问卷调查的女生中抽取了8名学生．现从这8名学生中随机抽取4人进行座谈，设抽取的女生是初中生的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（12分）
已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
（1）求的方程；
（2）证明：．
22．（12分）
已知函数，，，分别为，的导函数，且对任意的，存在，使．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
参考答案及解析
2024届山东省高三第一次学业质量联合检测·数学
一、选择题
1．D【解析】因为，，所以．
2．A【解析】因为，
所以复数在复平面内对应的点是，位于第一象限．
3．C【解析】由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有（种）．
4．A【解析】由得，，所以．
5．B【解析】由题意．令，，
所以，，所以图象的对称中心为，
故函数的图象的一个对称中心可以是．
6．D【解析】因为提示1和提示3矛盾，所以提示1和提示3一真一假，因此提示2和4是假的．提示2为假能够推断乙盒子中装的现金不是3000元，故B错误；
由提示4为假可知，丁盒子中装的现金是5000元，故D正确；
由提示2和提示4为假能判断提示1正确，提示3错误，但无法判断甲、丙两个盒子中装的现金是多少，故A，C错误．
7．B【解析】由题意得，令，解得，
则当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数的极小值，极小值点．
令，解得，所以，所以，
所以圆锥的母线长为，该圆锥的表面积为．
8．D【解析】由题意知直线的方程为．令，得，所以．
又因为，所以，代入，化简得，
解得或（舍去），所以的离心率．
二、选择题
9．ACD【解析】由，得．又是第三象限角，，所以，
所以，，，故A正确、B错误；
，故C正确；
，
则，故D正确．
10．BCD【解析】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误；
由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；
1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；
由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确．
11．ACD【解析】由，得，等式两边同时求导，得，即，故的图象关于点对称，故A正确；
因为的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，即为偶函数，则，所以应满足（为常数），当时，不是奇函数，故B错误；
因为，，所以，故C正确；
因为的图象关于点对称，关于轴对称，且，所以，，，
在一个周期内，，
所以，故D正确．
12．BD【解析】对于A，如图①，连接，，则，，所以，
所以直线与直线共面，故A错误；
对于B，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示．
因为底面边长为2，，所以，则，故B正确；
对于C，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则即
令，得，所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，则，故C错误；
对于D，设球的半径为，则，
所以球的表面积，故D正确．
① ②
三、填空题
13．【解析】由题意得，，所以．
14．4【解析】由题意知所以
故双曲线的方程为，则的实轴长为4．
15．，，（写出其中一个即可）【解析】由题意知，
所以，整理得，解得或（舍去），
所以的展开式的通项为，，．
若为有理项，则，所以，4，8，
故展开式中所有的有理项为，，．
16．【解析】由，得，
即，整理可得，
故点在的平分线上，同理可得点为的内心．
如图，延长，交于点，过点作，，垂足分别为，，
设，，由，得，由三点共线得，
所以．
因为，所以，代人得，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．
四、解答题
17．解：（1）由图象可知，所以．
又因为最高点是，所以，，即，．
又因为，所以，，所以．（3分）
将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象．（5分）
令，，
所以，，
故的单调递增区间为．（6分）
（2）因为，所以．
又，所以，所以或，
所以或．（8分）
当时，由余弦定理，得，所以；
当时，由勾股定理，得，所以．
故边的长为或．（10分）
18．解：（1）设的公比为，由，，，成等差数列，得，．（1分）
法一：当时，，符合题意，所以；（2分）
当时，所以，，则．（3分）
综上，或．（4分）
法二：由题意得，，
解得或（2分）
所以或．（4分）
（2）当时，，
所以；（6分）
当时，，（7分）
所以，
则，
所以，
所以．（11分）
综上，或．（12分）
19．（1）证明：因为平面，平面，所以平面平面．
又，平面平面，平面，所以平面．
又平面，所以．（2分）
又，是的中点，所以．（3分）
又，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．（4分）
（2）解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为平面，平面，平面平面，所以．
又是的中点，所以是的中点，
则，，，，，，
所以，，，（6分）
则平面的一个法向量为．（7分）
设平面的法向量为，
则即
令，得，，所以平面的一个法向量为．（9分）
设平面与平面的夹角为，所以，（11分）
故平面与平面夹角的余弦值为．（12分）
20．解：（1）男生人数为，女生人数为，（1分）
则列联表如下表所示：
性别 满意度 合计
满意 不满意
男生 80 20 100
女生 50 30 80
合计 130 50 180
（2分）
零假设为：“暑期研学旅行”的满意度与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，（5分）
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．（6分）
（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），（7分）
则的可能取值为2，3，4，
，，，（10分）
所以的分布列为
2 3 4
故．（12分）
21．（1）解：由题意知，将代入，解得，
所以当与轴垂直时，，所以，（2分）
故抛物线的方程为．（3分）
（2）证明：法一：根据题意知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立得，所以，，．（5分）
对求导，得，所以，所以．（7分）
由得所以．（9分）
当时，根据对称性得，，所以；
当时，，所以，（10分）
所以，所以，即．
综上，．（12分）
法二：根据题意知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立得，所以，，．（5分）
对求导，得，由得所以．（9分）
因为，，
所以．
又，所以．（12分）
22．（1）解：因为，所以，
所以在区间上单调递增，故．（1分）
因为，所以．
令，则，
故在区间上单调递增，所以．（3分）
又对任意的，存在，使，
所以，（4分）
即，解得，故实数的取值范围为．（5分）
（2）证明：令，，则．
令，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即（当且仅当时，等号成立）．（7分）
令，则．
令，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即（当且仅当时，等号成立），（9分）
故（当且仅当时，等号成立）．（10分）
又，所以．因为，所以，
故，即．（12分）
