2022-2023学年浙教新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．一份粽子礼盒中装有豆沙、咸蛋黄、鲜肉三种不同口味的粽子，从这个礼盒中随机取出一个粽子，则取出鲜肉粽子的可能性最大的是（ ）
A．有1个豆沙、2个咸蛋黄和5个鲜肉的礼盒
B．有2个豆沙、3个咸蛋黄和3个鲜肉的礼盒
C．有3个豆沙、3个咸蛋黄和2个鲜肉的礼盒
D．有4个豆沙、3个咸蛋黄和1个鲜肉的礼盒
2．⊙O的直径为15cm，若点P与点O的距离为8cm，点P的位置（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
3．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤，则b﹣a的最大值为（ ）
A．1 B． +1 C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．9π
5．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
6．如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
7．将抛物线y＝x2+3x﹣4向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣ B．y＝（x+7）2﹣
C．y＝（x﹣1）2﹣ D．y＝（x﹣1）2﹣
8．二次函数y＝﹣2x2+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣5≤y≤3 B．﹣1≤y≤3 C．﹣5≤y≤1 D．﹣5≤y≤0
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
10．如图所示：两个同心圆，半径分别是2与4，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是（ ）
A．22+6 B．20+8 C．18+10 D．16+12
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣2的对称轴是 ．
12．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ．
13．若抛物线y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则这条抛物线必经过点 ．
14．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AB＝4，∠C＝30°，则⊙O的半径为 ．
15．已知抛物线y＝x2+（m+1）x﹣m﹣2（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，不论m取何正数，经过A、B、C三点的⊙P恒过y轴上的一个定点，则该定点的坐标是 ．
16．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上．
（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的 性质；
（2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分80分）
17．如图，以△OAB的顶点D为圆心的⊙O交AB于点C，D，且AC＝BD，OA与OB相等吗？说明理由．
18．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率．
19．如图，在网格内，A（﹣1，3）、B（3，1）、C（0，4）、D（3，3）．
（1）试确定△ABC的形状 ．
（2）画出△ABC的外接圆⊙M．
（3）点P是第一象限内的一个格点，∠CPD＝45°．
①写出一个点P的坐标 ．
②满足条件的点P有 个．
20．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是 ；
（3）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
21．如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）若点D是在第三象限抛物线上的动点，连接AD、OD．设点D的横坐标为m，△ADO面积为s，求s关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，s有最大值？最大值是多少．
22．如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．
求证：（1）＝；
（2）CD＝CE．
23．用总长为24m的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF和四边形CDFE均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）AB的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB的长度．
24．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：A．有1个豆沙、2个咸蛋黄和5个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为；
B．有2个豆沙、3个咸蛋黄和3个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为；
C．有3个豆沙、3个咸蛋黄和2个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为＝；
D．有4个豆沙、3个咸蛋黄和1个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为；
故选：A．
2．解：∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
3．解：函数的图象如图所示，
当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝时，x＝，
故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（，），
同理点C（，﹣）
则b﹣a的最大值为﹣＝1+，
故选：B．
4．解：如图，连接OC、OD．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4，
∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．
故选：C．
5．解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝12，
则白球有30﹣12＝18个；
故选：C．
6．解：A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''（﹣1，2），
A''向下平移4个单位，得到A'（﹣1，﹣2），
故选：D．
7．解：∵y＝x2+3x﹣4＝（x+3）2﹣，
∴将抛物线y＝x2+3x﹣4向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为y＝（x+3﹣5）2﹣+2，即y＝（x﹣2）2﹣．
故选：D．
8．解：∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵﹣1≤x≤2，
当x＝0时，取得最大值y＝3，
当x＝﹣1时，y＝1，
当x＝2时，y＝﹣5，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣5≤y≤3，
故选：A．
9．解：把E（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
∵点E（2，4），四边形CDFE为正方形，
∴CD＝CE＝4，
设点A横坐标为m，则A（m，8），
代入y＝x2得m2＝8，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去）．
∴AB＝2m＝4．
故选：B．
10．解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．
根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．
因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，
即∠AOD＝90°，则AD＝6，
根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．
则矩形ABCD的周长是16+12，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．解：抛物线y＝﹣（x+3）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣3．
故答案为：直线x＝﹣3．
12．解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的解，
答：白色棋子的个数为10个；
故答案为：10．
13．解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此抛物线必过点（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
14．解：连接AO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，
∴AD＝2AB＝2×4＝8，
∴⊙O的半径为4，
故答案为：4．
15．解：令y＝0，
∴x2+（m+1）x﹣m﹣2＝0，
∴（x﹣1）[x+（m+2）]＝0，
∴x＝1或x＝﹣（m+2），
∴A（1，0），B（﹣m﹣2，0），
∴OA＝1，OB＝m+2，
令x＝0，
∴y＝﹣m﹣2，
∴C（0，﹣m﹣2），
∴OC＝m+2，
如图，
∵点A，B，C在⊙P上，
∴∠OCB＝∠OAF，
在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝1，
在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝1，
∴OF＝1，
∴点F的坐标为（0，1）；
故答案为：（0，1）．
16．解：（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性．
故答案为：不稳定性；
（2）以地面为x轴，顶部所在垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设y＝ax2+24，
∵点（4，0）在该抛物线上，
∴0＝a×（4）2+24，
解得，a＝，
∴y＝﹣x2+24，
当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+24＝16，
∴菱形竖直的对角线长为16÷4＝4，
又∵菱形的边长为4，42+42＝（4）2，
∴∠B1＝90°，
故答案为：90°．
三．解答题（共8小题，满分80分）
17．解：OA与OB相等．
理由如下：如图，过O作OE⊥AB于E，
∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∵AC＝BD，
∴AE＝BE，
∵OE⊥AB，
∴OA＝OB．
18．解：∵共10个球，有2个黄球，
∴P（黄球）＝＝；
答：从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是．
19．解：
如图所示：
（1）∵AC＝，BC＝3，AB＝2，
AC2+BC2＝AB2
∴△ABC的形状是直角三角形．
故答案为直角三角形；
（2）△ABC的外接圆⊙M即为所求作的图形；
（3）点P是第一象限内的一个格点，∠CPD＝45°．
①写出一个点P的坐标（1，7）或（4，6）或（3，7）或（4，4）或（3，1）．
②满足条件的点P有 5个．
故答案为（1，7）或（4，6）或（3，7）或（4，4）或（3，1）．5．
20．解：（1）2，3，4，5共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为；
故答案为：；
（2）2+3＝5，但组合一共有3+2+1＝6，故概率为；
故答案为：；
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种可能结果：22，23，24，25，32，33，34，35，42，43，44，45，
52，53，54，55，其中恰好是4的倍数的共有4种，即24，32，44，52，
所以两位数恰好是4的倍数的概率是＝．
21．解：（1）∵B的坐标为（1，0），
∴OB＝1．
∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，
∴C（0，﹣3）．
∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．
（2）由抛物线y＝ax2+3ax+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣和B（1，0）知，抛物线与x轴的另一交点坐标A（﹣4，0）；
（3）设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为（0， m2+m﹣3）．
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4．
∴s＝OA |yD|＝×|m2+m﹣3|＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+．
即：s＝﹣（m+）2+（﹣4＜m＜0）．
∴当m＝﹣时，s的最大值是．
22．证明：（1）∵BC＝AC，
∴∠B＝∠A，
∵OE＝OB＝OA＝OD，
∴∠AOD＝∠A＝∠B＝∠OEB．
∵∠AOD+∠ODA+∠A＝180°，∠BOE+∠B+∠OEB＝180°，
∴∠BOE＝∠AOD，
∴＝．
（2）∵∠AOD＝∠BOE，
∴BE＝AD．
∵BC＝AC，
∴AC﹣AD＝BC﹣BE，即CD＝CE．
23．解：（1）根据题意，得：
S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵0＜24﹣3x≤10，
∴≤x＜8．
答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是≤x＜8；
（2）根据题意，得：
当S＝45时，﹣3x2+24x＝45，
整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x1＝3，x2＝5，
当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．
答：AB的长为5m；
（3）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵≤x＜8，
对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝时，S最大，最大值＝．
答：当AB的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
24．解：（1）当a＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，
当x＝0时，得：y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当y＝﹣3时，即﹣3＝﹣x2+4x﹣3，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴B（4，﹣3），
∴BC＝4，OC＝3，
∴OB＝＝＝5；
（2）存在，当a＝﹣1或﹣时，使得△OBD为等腰三角形．
在y＝a（x﹣1）（x﹣3）中，令x＝0，得y＝3a，
∴C（0，3a）、B（4，3a），
∵点A是抛物线的顶点，
∴A（2，﹣a），
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，
将BD与x轴的交点记为点G，则E为OG的中点，
∵AE∥BD，
∴DG＝2AE＝﹣2a，
∴BD＝DG+BG＝﹣5a，
当△OBD为等腰三角形时，分下列三种情形：
①若OB＝BD＝﹣5a，在Rt△OBC中，BC＝﹣4a＝4，
∴a＝﹣1，
②若OD＝BD＝﹣5a，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2＝16，
∵a＜0，
∴a＝﹣；
③若OD＝OB，DG＝BG，但﹣2a≠﹣3a，
∴此种情况不可能；
综上所述，a＝﹣1或﹣；
（3）由（2）知，BD＝DG+BG＝﹣5a，
又∵点M是△OBD的外心，
∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD⊥x轴，
∴n＝﹣a，
∵M（m，n），D（4，﹣2a），
∴（﹣a）2+m2＝（﹣a）2+（4﹣m）2，
∴8m＝24n2+16，
∴m＝3n2+2．
