2023-2024学年海南省定安中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4. 从名男同学和名女同学中任选人参加社区服务活动，则选中的人都是女同学的方法数为( )
A. B. C. D.
5. 函数在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
6. 在等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
7. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章年该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积，已知数据如图注意：单位，则平地降雪厚度的近似值为( )
A. B. C. D.
8. 已知圆：，则直线：被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中在单调递增的有( )
A. B.
C. D.
10. 下列函数是奇函数的是( )
A. B.
C. ， D.
11. 若，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
12. 已知，则( )
A. 是偶函数 B. 的最小正周期是
C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，，则向量与的夹角为______ ．
14. ______ ．
15. 在的展开式中，的系数为______ ．
16. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：
性别 专业 合计
非统计专业 统计专业
男
女
合计
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为______ ．
附：
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，．
若，求数列的通项公式；
若，求．
18. 本小题分
如图，已知平面四边形存在外接圆即对角互补，且，，．
求的面积；
若，求的周长．
19. 本小题分
某中学有高一年级学生人，高二年级学生人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析得到如下图所示的频率分布直方图．
求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；
根据频率分布直方图，估计该校这名学生中竞赛成绩在分以上的人数．
20. 本小题分
已知双曲线：的实轴长为，右焦点为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，，求．
21. 本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
求证：；
求证：平面；
设为上一点，且，求点到平面的距离．
22. 本小题分
已知函数．
若是的极值点，求的值；
讨论函数的单调性；
若恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由得，
故复数的虚部为．
故选：．
根据复数的除法法则得到，求出虚部．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由三角函数的定义可得．
故选：．
利用三角函数的定义可求得的值．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得选中的人都是女同学的方法数为．
故选：．
选中的人都是女同学即从名女同学中任选人，即可得答案．
本题考查简单的组合问题，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，则，
所以．
因此函数在处的切线斜率为．
故选：．
利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在等比数列中，，，
．
故选：．
根据等比中项的性质，对数的运算求解即可．
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图，可求得器皿中雪表面的半径为，
所以平地降雪厚度的近似值为．
故选C．
依题意求得器皿中雪表面的半径，从而求得雪的体积，即可求得答案．
本题考查了几何体的体积计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：圆的圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
则直线被圆截得的弦长为．
故选：．
利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以在单调递增，且在上单调递增，
所以在单调递增，所以A正确；
对于，在单调递减，单调递增，
所以在单调递增，所以B正确；
对于，因为在单调递增，在单调递增，
但，
所以在不是单调递增，所以C错误；
对于，，
所以函数在单调递减，单调递增，所以D错误；
故选：．
根据函数表达式直接讨论单调性即可求解．
本题考查命题真假的判断，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于选项，定义域为，关于原点对称，，为偶函数，不满足题意；
对于选项，定义域为，关于原点对称，当时，，
当时，，故为奇函数，满足题意；
对于选项，定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不满足题意；
对于选项，，定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数，满足题意．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若，，
则，故A不一定成立；
对于，，，，
，故B一定成立；
对于，当，，不一定成立；
对于，，，故D一定成立．
故选：．
利用不等式的性质即可讨论即可求解．
本题考查命题真假的判断，考查不等式性质基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，定义域为，
，所以是偶函数，故A正确；
的最小正周期为，故B正确；
，所以是图象的一个对称中心，故C正确；
令，，
解得，
即的单调递增区间为，故D错误．
故选：．
因为，根据偶函数的定义判断；根据最小正周期公式判断；将代入验证的正误；求解函数的单调递增区间即可判断．
本题主要考查了二倍角公式的应用，还考查了余弦函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设向量与的夹角为，
又由，，，
则，
又由，
则，
故答案为：．
根据题意，设向量与的夹角为，由数量积的计算公式可得，结合的范围，分析可得答案．
本题考查数量积的计算，涉及向量夹角的求法，关键是掌握向量数量积的计算公式．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：的展开式通项公式为：，
令，
则的系数为．
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知为了判断主修统计专业是否与性别有关系，
根据表中的数据，得到，
由临界值表可以得到，
判定主修统计专业与性别有关系的这种判断出错的可能性最大为．
故答案为：．
由题意知根据表中所给的数据得到观测值是，从临界值表中可以知道，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是，得到结论．
本题考查了独立性检验，独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过的观测值与临界值的比较解决的，是中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为，
由，，，可得，
又，即，
解得，，
则；
若，当时，，不成立；
故，则，解得或，
则或，
所以或．
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；
讨论是否为，运用等比数列的求和公式解方程可得公比，进而得到公差，由等差数列的求和公式计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为平面四边形存在外接圆，
所以，，
又，所以，
所以的面积．
在中，由余弦定理得
，解得．
在中，由余弦定理得，
即
．
由此得，当且仅当时，等号成立，
所以，故的周长．
【解析】根据四边形存在外接圆的几何性质可得，利用平方关系可得，再根据面积公式可得的面积；
根据余弦定理求解的长，再由余弦定理与基本不等式可得的最值，从而得的周长的最大值．
本题考查正余弦定理，基本不等式，属于中档题．
19.【答案】解：依题意从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人；
由频率分布直方图可得竞赛成绩在分含分的频率为：
，
所以估计该校这名学生中竞赛成绩在分含分以上的人数为人．
【解析】根据分层抽样计算方法计算可得；
由频率分布直方图求出竞赛成绩在分含分的频率，即可估计人数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
20.【答案】解：由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为；
由，得，
则，
设，，则，，
所以．
【解析】根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】证明：，分别为，的中点，且，，
四边形为正方形，则；
在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，
，，即，
又是直三棱柱，
所以平面，平面，所以，
，平面，，
平面，平面，则，
又，，
，平面，平面；
解：由知，即，又是直三棱柱，平面，
，则点到平面的距离即为，
，
由知，，且，，
设点到平面的距离为，则，，则，
即点到平面的距离为．
【解析】根据，分别为，的中点，且，，得到四边形为正方形，即可得证；
根据得，利用线面垂直判定定理得到平面，再结合的结论即可求证；
利用等体积法的思想求点到平面的距离．
本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
22.【答案】解：因为，
又因为是的极值点，
，即，所以，经检验符合题意；
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：．
【解析】求出导函数，利用是函数极值点则求出的值并检验即可；求出定义域及导函数，讨论和时的正负，可得到函数的单调性；若恒成立，由第问讨论的结果，求出函数的最大值，求解即可求出的范围．
本题考查导数的极值和单调性，以及导数的恒成立问题，属于中档题．
第1页，共1页
