2023-2024学年广东省深圳第二十二高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中与函数相等的是( )
A. B. C. D.
3. 的三个内角，，所对边的长分别为，，，设向量，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
4. 对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是( )
甲：
乙：
A. 甲组的极差是 B. 甲组的中位数是
C. 乙组的众数是 D. 甲组的平均数比乙组大
5. 以下四个命题中，正确的是( )
A. 向量与向量平行
B. 为直角三角形的充要条件是
C.
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
6. 甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A. B. C. D.
7. 在四面体中，空间的一点满足，若共面，则( )
A. B. C. D.
8. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：；；面；面，其中恒成立的为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论正确的是( )
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C. 若角的终边过点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
10. 已知向量，，，则可能是( )
A. B. C. D.
11. 下列说法中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 三角形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形
D. 不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点
12. 下列说法正确的是( )
A. 函数的零点是，
B. 方程有两个解
C. 函数，的图象关于对称
D. 设，用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则______用，，表示．
14. 已知复数的实部等于虚部，则 ______ ．
15. 设，，若，则的最大值为______．
16. 已知正数，满足，则的最小值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
函数是上的偶函数，且当时，函数的解析式为．
用定义证明在上是减函数；
求当时，函数的解析式．
18. 本小题分
已知函数，．
求函数的最小正周期；
求函数在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时自变量的值．
19. 本小题分
已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
求；
若，，求的面积．
20. 本小题分
如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，，且，设．
试用表示；
已知为对角线的中点，求的长．
21. 本小题分
公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了名男生和名女生，这名毕业生的测试成绩单位：分如下：
男：
女：
公司规定：成绩在分以上包括分者到“甲部门”工作；分以下者到“乙部门”工作．
求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数．
如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取人，再从这人中选人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
22. 本小题分
如图，直棱柱中，底面是直角梯形，，．
求证：平面；
在上是否存一点，使得与平面与平面都平行？证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，是基础题．
求解不等式化简集合，再由交集的运算性质得答案．
【解答】
解：，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：的定义域是，而函数的定义域，故不是同一函数．
B.的定义域是，而函数的定义域，故不是同一函数．
C.与的对应关系、值域皆不同，故不是同一函数．
D.与是同一函数．
故选：．
确定函数的三要素是：定义域、对应关系和值域，据此可判断出答案．
本题考查了函数的定义，依据三要素可判断出两个函数是否是同一函数．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，即，
，
由余弦定理可得，，解得，
，
．
故选：．
结合向量平行的公式，以及余弦定理，即可求解．
本题主要考查向量平行的公式，以及余弦定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，甲的最大值为，最小值为，则极差为，故A正确，
对于，甲组数据从小到大排列为：，
所以甲组的中位数是，故B错误，
对于，乙组的众数是，故C正确，
对于，甲组的平均数为，乙组的平均数为，
所以甲组的平均数比乙组大，故D正确，
故选：．
利用极差，中位数，众数和平均数的定义，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了数据的数字特征，考查了学生的计算能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：设与向量平行，则存在实数使得，则，此方程组无解，因此与不共线，故不正确．
B.为直角三角形，若，则推不出，因此不正确；
C.，因此不正确；
D.假设存在不全为的实数，使得，化为，
为空间的一个基底，，此方程组无解，因此，，是不共面向量，可构成空间的另一个基底．
综上可知：只有D正确．
故选：．
A.利用向量共线定理即可判断出；
B.为直角三角形，若，则推不出；
C.；
D.利用向量共面定理即可判断出．
本题考查了向量共线定理、向量垂直于数量积的关系、数量积运算、向量共面定理等基础知识，考查了推理能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：甲、乙同时参加某次法语考试，
甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，
甲、乙两人都未达到优秀的概率为：
．
故选：．
利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由共面知，，解得．
故选：．
利用向量共面基本定理即可得出结论．
本题考查了向量共面基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
在中：由已知得，平面，从而平面平面，由此得到；在中：，只有当与重合时，才有，所以不恒成立，因此不正确；在中：由平面平面，从而得到平面；在中：由已知得平面，从而得到与平面不垂直．
【解答】
解：如图所示，连接、相交于点，连接，．
在中：由正四棱锥，可得底面，，
又，
．
，，平面，
，，分别是，，的中点，
，，
平面，平面，
故BD平面，
同理平面，
，，
平面平面，
平面，，故正确．
在中：，只有当与重合时，才有，所以不恒成立，因此不正确；
在中：由可知平面平面，，
平面，因此正确．
在中：由同理可得：平面，
若平面，则，与相矛盾，
因此当与不重合时，与平面不垂直．即不正确．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：对于：是第而二象限角，所以不正确；
对于：若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为：所以B正确；
对于：若角的终边过点，则，所以C正确；
对于：若角为锐角，则角为钝角，反例，则是锐角，所以不正确；
故选：．
通过象限角，扇形面积，任意角的三角函数的定义，判断选项的正误即可．
本题考查命题的真假的判断，涉及三角函数的定义，扇形面积，象限角等基本知识的考查．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，且向量，则设，
又由，则，
则或；
故选：．
根据题意，设，由数乘向量的性质可得的值，结合向量的坐标计算公式即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量模的计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
选项B，三角形的三个顶点不共线，可确定唯一一个平面，故三角形一定是平面图形，故B正确；
选项C，梯形中有两条线平行，可确定唯一一个平面，故梯形一定是平面图形，故C正确；
选项D，若不重合的两个平面相交，则它们一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D错误．
故选：．
根据不共线的三点确定一个平面及推论判断选项ABC，根据公理基本事实判断．
本题考查平面的基本性质及推论的合理运用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点及零点存在定理，考查二分法，属于中档题．
对于：根据零点的定义进行判断；
对于：分别作出，的图象，结合图象的交点个数进行判断；
对于：根据同底数的指数函数和对数函数的图象关于对称进行判断；
对于：利用零点存在定理进行判断．
【解答】解：对于：令，解得：，，
所以函数的零点是和故A错误；
对于：分别作出，的图象，如图示：
由图可知与有个交点，即方程有两个解．故B正确．
对于：因为同底数的指数函数和对数函数的图象关于对称，
所以函数，的图象关于对称．故C正确．
对于：易知在上单调递增，故方程最多有一个根，
由零点存在定理，因为，，，
所以方程的根落在区间上．故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】解：在四面体中，，，，为的中点，为的中点，
，
故答案为：．
利用为的中点，为的中点，可得，，化简可得结果．
本题考查空间向量的加减运算以及向量中点公式的应用，属于基础题，
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，所以，所以．
故答案为：．
根据复数的概念及除法运算计算即可．
本题考查复数的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：有已知得，上的最大值是，在上的最大值是，在上无最大值．
故则的最大值为
故答案为：．
求出的解析式，在每一段上分别求最大值，综合得结论．
本题考查了分段函数值域的求法，在对每一段分别求最值，比较每一段的最值，最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值，考查运算能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：正数，满足，
则
，
当且仅当时，上式取得等号，
可得的最小值是．
故答案为：．
运用常数代换法可得，化简变形后，运用基本不等式可得所求最小值．
本题考查基本不等式的运用，注意常数代换，考查变形能力和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：证明：，任取，，且；
则；
，，；
，即；
在上是减函数；
当时，，
时，，
，
又是上的偶函数，
；
即时，．
【解析】用函数的单调性定义证明在上是减函数；
应用偶函数的性质，与时的解析式，可以求出时的解析式．
本题考查了函数的单调性定义与偶函数性质的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：
的最小正周期
当，即时，
当或时，即或时，．
【解析】利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式
利用周期公式求出函数的周期；
求出，根据正弦函数的单调性求出函数的最值，写出求函数取得最大值和最小值时的自变量的值．
本题考查三角函数的化简求值，函数周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．
19.【答案】解：，
，
又，
，
，
．
由余弦定理，
可得：，
可得：，
解得：，
．
【解析】利用两角和的余弦函数公式可得，结合范围，可得，根据三角形内角和定理可求的值．
由余弦定理结合已知可得，利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：
．
由题意知，，，
，．
，
．
【解析】利用空间向量，结合几何体写出结果即可．
利用向量表示出，利用空间向量的数量积求解距离即可．
本题考查空间向量的数量积的应用，向量的模的求法，空间点线面即可的求法，是中档题．
21.【答案】解：男生的中位数为，
女生的平均成绩为；
由题意可知抽取比例为，
又由题意可知甲部门的人数为人，乙部门的人数为人，
则选取的甲部门的人数为人，乙部门选取的人数为人，
从人中选取人，故有种选法，
全都来自乙部门的共有种，
所以所求事件的概率为．
【解析】利用中位数，平均数的公式即可求解；先求出抽取比例，然后根据题意分别求出甲部门，乙部门的人数，然后根据分层抽样求出甲，乙各抽取的人数，再根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了分层抽样的方法，涉及到中位数，平均数以及古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
22.【答案】证明：直棱柱中，平面，分
又，，
，，，分
又，，平面，平面C.分
存在点，为的中点．分
证明：由为的中点，有，且分
又，，，且，
为平行四边形，从而．
又面，面，面分
同理，面分
【解析】为证平面，须证垂直面内两条相交直线：和即可．前者易证，后者利用计算方法证明即可．
设为的中点，证明为平行四边形，即可证明存在点，满足题意．
本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力．
第1页，共1页
