第12章 全等三角形 章末复习
【知识网络】
【易错示警】
1．混淆对边和对应边及对角和对应角的概念．
2．找不准全等三角形的对应边和对应角．
3．误认为两边和一边的对角相等的两个三角形全等．
4．把部分当整体误判两个三角形全等．
5．对应关系分辨不清误判三角形全等．
6．角平分线上的点到角的两边的距离，就是从角平分线上的点向角两边作的垂线段的长度，不要把角的平分线上的点与角的两边上任意一点连接的线段的长度当成角平分线上的点到角的两边的距离．
【考点突破】
考点1：全等三角形的判定
1．如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，线段PQ＝AB，点P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝ 时，才能使△ABC≌△QPA.
3．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，可先证△AEB≌△AEC，根据是 ，再证△BDE≌△ ，根据是 .
4．如图所示，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：AO＝BO.
5．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：如图，
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.
请你证明他们做法的正确性．
6．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)证明：DC⊥BE.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB.连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
考点2：全等三角形的性质及应用
8．如图，已知△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边，下面四个结论中不正确的是 ( )
A．△ABD和△CDB的周长相等 B．AD∥BC
C．∠C＋∠ABC＝180° D．∠ABD＝∠CBD
第7题图 第8题图 第9题图
9．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于( )
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
10．如图所示，△ABD≌△ACE，∠B与∠C是对应角，若AE＝5 cm，BE＝7 cm，∠ADB＝100°，则∠AEC＝ ，AC＝ .
11．如图，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A，然后他姿势不变在原地方转了180°，正好看见他所在岸上的一块石头B，他测出BC＝50米，则河的宽度是 .
第10题图 第12题图
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.求证：
(1)BF＝BC；
(2)BD＝2CE.
考点3：角的平分线及尺规作图
13．如图，M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的点，点P在射线OC上，则下列条件不能说明OC平分∠AOB的是( )
A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON
C．PM＝PN，OM＝ON D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 ( )
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
15．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长(保留作图痕迹，不写作法)．
16．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F(如图①)，则可以得到以下两个结论：
①∠AED＋∠AFD＝180°；②DE＝DF.那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
(1)若∠AED＋∠AFD＝180°(如图②)，则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
(2)若DE＝DF，则∠AED＋∠AFD＝180°是否成立(只写出结论，不证明)
【综合练习】
1．下列命题是真命题的是 ( )
A．等底等高的两个三角形全等 B．周长相等的直角三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
2．如图，已知点A、C、D、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )
A．∠BCA＝∠F B．AD＝FC C．BC∥DE D．∠A＝∠EDF
3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB平分OP
4．如图，点E在△ABC外部，点D在BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则有( )
A．△ABD≌△AFD B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
第2题图 第3题图 第4题图
5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( )
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
第5题图 第6题图 第7题图
6.如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，有以下结论：①AC＝AE；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．【2020·贵阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为( )
A．无法确定 B. C．1 D．2
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为 ．
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，已知CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AF＝BE，AC＝BD，则下列结论：①Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C＋∠B＝90°；③∠A＝∠D；④AC∥BD.其中正确的结论为 (填序号)．
10．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D.在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 .
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝6 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ .
第11题图 第12题图
12．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 .
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：
(1)∠ABF＝∠ACE；
(2)PB＝PC.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．求证：点O在∠BAC的平分线上．
15．如图，把一个直角三角形ACB(∠ACB＝90°)绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H.
(1)求证：CF＝DG；
(2)求出∠FHG的度数．
16．在正方形ABCD中，点P是CD上一动点．连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F.
(1)如图①，线段BE，DF，EF有怎样的数量关系？并说明理由；
(2)如图②，若P点在DC的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的数量关系(只写结论)；
(3)如图③，若P点在CD的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的数量关系(只写结论)．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【知识网络】
【易错示警】
1．混淆对边和对应边及对角和对应角的概念．
2．找不准全等三角形的对应边和对应角．
3．误认为两边和一边的对角相等的两个三角形全等．
4．把部分当整体误判两个三角形全等．
5．对应关系分辨不清误判三角形全等．
6．角平分线上的点到角的两边的距离，就是从角平分线上的点向角两边作的垂线段的长度，不要把角的平分线上的点与角的两边上任意一点连接的线段的长度当成角平分线上的点到角的两边的距离．
【考点突破】
考点1：全等三角形的判定
1．如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( C )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，线段PQ＝AB，点P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝ 时，才能使△ABC≌△QPA.
【答案】BC
3．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，可先证△AEB≌△AEC，根据是 ，再证△BDE≌△ ，根据是 .
【答案】ASA或AAS CDE SAS
4．如图所示，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：AO＝BO.
证明：在△ADC和△BCD中，
∴△ADC≌△BCD(SAS)．
∴∠DAO＝∠CBO.
∴△ADO≌△BCO(AAS)．
∴AO＝BO.
5．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：如图，
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.
请你证明他们做法的正确性．
证明：在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB＝DE.
6．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)证明：DC⊥BE.
(1)解：△ABE≌△ACD.证明：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＋∠CAE＝∠BAC＋∠CAE，∴∠DAC＝∠BAE，在△BAE和△CAD中，，∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明：由△ABE≌△ACD，可知∠ACD＝∠B＝45°，∴∠DCB＝∠ACD＋∠BCA＝45°＋45°＝90°，∴DC⊥BE.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB.连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
(1)证明：∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE(SAS)；
(2)解：由△BCD≌△FCE得∠BDC＝∠E.∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.
考点2：全等三角形的性质及应用
8．如图，已知△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边，下面四个结论中不正确的是 ( D )
A．△ABD和△CDB的周长相等 B．AD∥BC
C．∠C＋∠ABC＝180° D．∠ABD＝∠CBD
第7题图 第8题图 第9题图
9．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于( C )
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
10．如图所示，△ABD≌△ACE，∠B与∠C是对应角，若AE＝5 cm，BE＝7 cm，∠ADB＝100°，则∠AEC＝ ，AC＝ .
【答案】100° 12cm
11．如图，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A，然后他姿势不变在原地方转了180°，正好看见他所在岸上的一块石头B，他测出BC＝50米，则河的宽度是 .
【答案】50米
第10题图 第12题图
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.求证：
(1)BF＝BC；
(2)BD＝2CE.
证明：(1)∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠CBE.∵CE⊥BE，∴∠FEB＝∠CEB＝90°.在△FBE和△CBE中，，∴△FBE≌△CBE(ASA)．∴BF＝BC；
(2)∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∴∠ABD＋∠F＝∠ACF＋∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF.在Rt△BDA和Rt△CFA中，，∴Rt△BDA≌Rt△CFA(ASA)．∴BD＝CF.又∵△FBE≌△CBE，∴EF＝EC，即CF＝2CE.∴BD＝2CE.
考点3：角的平分线及尺规作图
13．如图，M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的点，点P在射线OC上，则下列条件不能说明OC平分∠AOB的是( D )
A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON
C．PM＝PN，OM＝ON D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 ( B )
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
15．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如图，点P即为所求．
16．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F(如图①)，则可以得到以下两个结论：
①∠AED＋∠AFD＝180°；②DE＝DF.那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
(1)若∠AED＋∠AFD＝180°(如图②)，则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
(2)若DE＝DF，则∠AED＋∠AFD＝180°是否成立(只写出结论，不证明)
解：(1)相等．证明：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H，∴∠AGD＋∠AHD＝180°，∵AD是∠BAC的平分线，∴DG＝DH.∵四边形AGDH的内角和是360°，∴∠HAG＋∠GDH＝180°，∵∠AED＋∠AFD＝180°，∴∠HAG＋∠EDF＝180°.∴∠GDH＝∠EDF.∴∠GDH－∠GDF＝∠EDF－∠GDF，即∠GDE＝∠HDF.在△GDE和△HDF中，，∴△GDE≌△HDF.∴DE＝DF；
(2)成立．
【综合练习】
1．下列命题是真命题的是 ( D )
A．等底等高的两个三角形全等 B．周长相等的直角三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
2．如图，已知点A、C、D、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( B )
A．∠BCA＝∠F B．AD＝FC C．BC∥DE D．∠A＝∠EDF
3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B.下列结论中不一定成立的是( D )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB平分OP
4．如图，点E在△ABC外部，点D在BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则有( D )
A．△ABD≌△AFD B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
第2题图 第3题图 第4题图
5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( B )
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
第5题图 第6题图 第7题图
6.如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，有以下结论：①AC＝AE；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确的个数是 ( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．【2020·贵阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为( C )
A．无法确定 B. C．1 D．2
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为 ．
【答案】15
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，已知CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AF＝BE，AC＝BD，则下列结论：①Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C＋∠B＝90°；③∠A＝∠D；④AC∥BD.其中正确的结论为 (填序号)．
【答案】①②④
10．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D.在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 .
【答案】7
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝6 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ .
【答案】6 cm或12 cm
第11题图 第12题图
12．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 .
【答案】3或5
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：
(1)∠ABF＝∠ACE；
(2)PB＝PC.
证明：(1)在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABF＝∠ACE；
(2)∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF.在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP(AAS)．∴PB＝PC.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．求证：点O在∠BAC的平分线上．
证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，OE⊥BC，OF⊥AC.
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB，OE⊥BC，
∴OM＝OE.∴OM＝OF.
又∵OM⊥AB，OF⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上．
15．如图，把一个直角三角形ACB(∠ACB＝90°)绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H.
(1)求证：CF＝DG；
证明：易证△CBF≌△DBG(SAS)，
∴CF＝DG.
(2)求出∠FHG的度数．
解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF＝∠BDG.
∵∠CFB＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠CBF＝60°，
∴∠FHG＝180°－∠DHF＝180°－60°＝120°.
16．在正方形ABCD中，点P是CD上一动点．连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F.
(1)如图①，线段BE，DF，EF有怎样的数量关系？并说明理由；
解：EF＝BE－DF，理由：
易证△ABE≌△DAF(AAS)，
∴AE＝DF，BE＝AF，
∴EF＝AF－AE，∴EF＝BE－DF.
(2)如图②，若P点在DC的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的数量关系(只写结论)；
解：EF＋BE＝DF.
(3)如图③，若P点在CD的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的数量关系(只写结论)．
解：BE＋DF＝EF.
