专题4.23 相似三角形判定定理的证明（分层练习）（基础练）
单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2019春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）如图，下列条件能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·上海静安·校考一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·上海·九年级假期作业）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形； B．两个等边三角形；
C．两个矩形； D．两个梯形．
5．（2023秋·九年级课前预习）若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（ ）
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判定是否相似
6．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
7．（2020秋·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，将△ABF沿着AF折叠，点B恰好落在DC边上的点E处，则一定有（ ）
A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△AFB
8．（2022春·九年级课时练习）如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
9．（2022秋·安徽·九年级校联考期中）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列条件，能使和相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况．
12．（2022春·九年级课时练习）如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
13．（2023秋·九年级课前预习）如图，、相交于点，与不平行，当满足条件 时，．
14．（2023春·八年级课前预习）如图，已知，则 ， ．
15．（2020秋·九年级课时练习）如图，当∠AED＝ 时，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
16．（2021春·全国·九年级专题练习）如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形: ．
17．（2019秋·九年级课时练习）如图，若，，，且，则 .
18．（2012·山东菏泽·中考真题）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·全国·九年级专题练习）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．
20．（8分）（2023·上海·九年级假期作业）如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？
21．（10分）（2023秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且，求证：．
22．（10分）（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证：
23．（10分）（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
24．（12分）（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：．
参考答案
1．C
【分析】由于∠A=36°，AB=AC，易求∠ABC=∠C=72°，而BD是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE∥BC，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，从而可证△ABD∽△DBE．
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD=36°，
即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
故选C．
【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解题的关键是求出相关角的度数．
2．C
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
解：有三个
①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选C
【分析】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键
3．A
【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；
（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。
解：A选项符合判定方法（4），符合题意．
B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．
C选项相等的角不是对应角，不符合题意．
D选项相等的角不是对应角，不符合题意．
【分析】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法．
4．B
【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可．
解：∵两个等边三角形的内角都是60°，
∴两个等边三角形一定相似，
其他选项均不能确定一定相似，不符合题意，
故选B．
【分析】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．A
【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断．
解：
．
故选：A．
【分析】本题考查相似三角形的判定条件，熟练掌握对应边长度成比例的三角形相似是本题的解题关键．
6．B
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可．
解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
所以选B．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7．A
【分析】由矩形的性质得出∠C=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AEF=∠B=90°，利用等角的余角相等得出∠DAE＝∠CEF，从而可得出△ADE∽△ECF，得出答案．
解：根据题意可知，∠DAE＋∠AED＝∠AED＋∠CEF＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ECF.
故选：A．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的条件是解题的关键．
8．D
【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．
解：∵四边形的对角线相交于点，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB∽△COD．
故选：D．
【分析】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．
9．C
【分析】利用等边三角形的性质可得再利用公共角可得答案．
解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故选C．
【分析】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
10．B
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．
解：A、，不能使和△相似，错误；
B、，能使和△相似，正确；
C、，不能使和△相似，错误；
D、，不能使和△相似，错误；
故选B.
【分析】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．
11．3
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
解：①当∠ACP=∠B，
∵∠A=∠A，
∴，
∴①符合题意；
②当∠APC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴，
∴②符合题意；
③当，
即，
∵∠A=∠A
∴，
∴③符合题意；
④∵当，即，
而∠PAC=∠CAB，
以上条件不能判断△APC和△ACB相似，
∴④不符合题意；
即有①②③这三种情况可得出，
故答案为：3．
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
12．（答案不唯一）
【分析】根据已知条件得到，，推出；同理，根据相似三角形的性质得到，又，于是得到．
解：本题答案不唯一；
与相似的三角形有：，，，
选择求证：．
证明：的高，交于点，
．
，
，
故答案是：．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似．
13．∠B
【分析】由相似三角形的判定可直接进行求解．
解：当满足条件∠C=∠B时，△AEC∽△DEB，理由如下：
∵∠AEC=∠DEB，∠C=∠B，
∴，
故答案为．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
14． △ACD △ABE △BOD △COE
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明哪两个三角形相似，填空即可．
解：∵，，
∴△ACD∽△ABE，
∵，，
∴△BOD∽△COE，
故答案为：△ACD，△ABE，△BOD，△COE．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角对应相等的两个三角形相似进行判断推理．
15．∠B或∠C
【分析】由两个角对应相等的两个三角形相似，从而可得结论．
解： ∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠C或∠AED＝∠B，
即可证明与相似．
故答案为：或
【分析】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
16．△ABE∽△FDE
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，从而可推出∠ABD=∠CDB，已知对顶角相等，根据有两组角相等的两个三角形相似，从而得到△ABE∽△FDE．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠ABD=∠CDB．
∵∠AEB=∠FED，
∴△ABE∽△FDE．
故答案为：△ABE∽△FDE.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用．
17．
【分析】根据相似三角形的判定即可求解.
解：∵，，，且
∴
故填：.
【分析】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
18．∠D=∠B（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．
解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD AC=AB AE时△ABC∽△ADE．
故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．
19．见分析
【分析】根据“两条边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”即可求证．
解：证明：∵，
又∵，
∴．
【分析】本题考查相似三角形的判定．熟记相关判定定理是解题的关键．
20．，，，．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断，，，．
解：根据，同时有公共角必相等，
根据相似三角形判定定理，可得，，；
同时由，
可得：，
得：，
又，
根据相似三角形判定定理，得：．
【分析】题目主要考查相似三角形判定定理，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．
21．证明过程见详解
【分析】根据平行四边形的性质可知，，且，根据三角形的外角性质可知，由此即可求证．
解：证明：在平行四边形中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查相似三角形的判断，平行四边形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键．
22．详见分析
【分析】由平行线性质可得到，，则．
解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．见分析
【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
解：证明：AD＝1，AB＝3，AC＝
，
又
∽
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
24．见分析
【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．
解：证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∵∠ADE=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE．
【分析】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．
