第03讲 等腰三角形的性质与判定综合
知识点1 等腰三角形的概念与性质
1．等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2．等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合．简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边．
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系．
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【题型1：等腰三角形的性质】
【典例1】
（东莞市）
1．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【变式1-1】
（陆川县期末）
2．等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是
A．19cm B．23cm C．19cm或23cm D．18cm
【变式1-2】
（2023 花溪区模拟）
3．如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）．
A．10 B．5 C．4 D．3
【变式1-3】
（2023 红塔区模拟）
4．已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．4或12
【典例2】
（崇川区期末）
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70° B．71° C．74° D．76°
【变式2-1】
（祥云县期末）
6．已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E．若AD=3，BC=5，则ΔBEC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【变式2-2】
（浉河区期末）
7．如图，已知，，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接与相交于点D，连接，则的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
【典例3】
（河西区期末）
8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数．
【变式3-1】
（2023 思明区校级二模）
9．如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】
（2023 城关区一模）
10．如图，在中，，平分，交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】
（2023春 舞钢市期中）
11．如图，在中，于，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
（2022秋 长沙期中）
12．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
【变式4】
（2022秋 南岗区校级月考）
13．上午8时，一条船从海岛出发，以15海里时的速度向北航行，11时到达海岛处，从、望灯塔，测得，求从海岛到灯塔的距离．
【题型2：等腰三角形的判定】
【典例5】
（河北模拟）
14．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式5-1】
（2023春 茂名期中）
15．如图，是的角平分线，，，则图中有（ ）等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无法确定
【变式5-2】
（2022秋 张北县月考）
16．如图，在中，，是边上的高，的平分线交于点F，交于点E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】
（2022秋 千山区期中）
17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例6】
（蒙阴县期末）
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
【变式6-1】
（2023春 碑林区校级期中）
19．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点、点是两个格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【变式6-2】
（2022秋 鼓楼区期末）
20．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】
（苍溪县期末）
21．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB=10，AC=6，求△ADE的周长．
【变式7-1】
（2023 莲都区一模）
22．如图，中，CD是角平分线，，交AC于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式7-2】
（2023 瓯海区模拟）
23．如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
【变式7-3】
（2022春 雁塔区校级期末）
24．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AB＝5，BC＝6，求DE的长．
（2023 眉山）
25．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023 内蒙古）
26．如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023 河北）
27．在和中，．已知，则（ ）
A． B． C．或 D．或
（2023 河北）
28．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2022 淄博）
29．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
（2022 鞍山）
30．如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（ ）
A． B． C． D．
（2021 淄博）
31．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（2022 温州）
32．如图，是的角平分线，，交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
（2023 武威一模）
33．一个等腰三角形的顶角是，则它的底角的大小是( )
A． B． C．° D．
（2023春 广西期末）
34．等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（ ）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
（2022秋 防城港期末）
35．如图，在中，，D为边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
（2023 碑林区一模）
36．已知等腰中，，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或或
（2022秋 天元区校级期末）
37．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
（2023 蚌埠模拟）
38．在如图的网格中，在网格上找到点C，使为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
（2022秋 巴州区期末）
39．如图，在中，，，CD平分，，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2023 西湖区校级二模）
40．如图，等腰三角形中，，，是的平分线，，则的度数为( )
A． B． C． D．
（2022秋 辉县市校级期末）
41．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点．D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
（2023 吉林）
42．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
（2023 新疆）
43．如图，在中，若，，，则 ．
（2023 重庆）
44．如图，等腰中，，是底边上的高，若，，则 ．
（2023 沙依巴克区模拟）
45．已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，则此等腰三角形的周长为 ．
（2022秋 岳阳期末）
46．如右图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（2022秋 海安市期末）
47．如图，在中，，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，．
(1)求的度数；
(2)求的周长．
（2022秋 沙依巴克区校级期末）
48．在中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
（2022秋 天元区校级期末）
49．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
参考答案：
1．A
【详解】当等腰三角形的腰长为3时，3+3=6＜7，不能构成三角形，
当等腰三角形的腰长为7，底为3时，则周长为：7+7+3=17.
故选：A.
2．C
【分析】根据周长的计算公式计算即可.（三角形的周长等于三边之和.）
【详解】根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于本题没有说明那个长是等腰三角形的腰，因此要分类讨论.
3．D
【分析】根据等腰三角形的性质“三线合一”，进行计算即可．
【详解】解：是等腰三角形的顶角平分线，
．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质：“三线合一”．三线合一是指：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．理解“三线合一”，并熟练应用是解题的关键．
4．A
【分析】根据题意分长为4的边为腰或底两种情况分析，根据构成三角形的条件取舍，即可求得答案．
【详解】解：分两种情况：
当腰长为4时，等腰三角形的底边长，
∵，
∴不能组成三角形，
当底边长为4时，等腰三角形的腰长，
综上所述：此等腰三角形的底边长为4，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键．
5．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠A，由∠BEC=∠ABE+∠A，可求出∠A的度数，最后再根据等腰三角形两底角相等即可求出∠ABC的度数．
【详解】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝71°；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意易得AB=AC=2AD=6，AE=BE，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．
【详解】解：∵AB=AC，DE垂直平分线段AB，
∴AD=BD，AE=BE，
∵AD=3，
∴AB=AC=2AD=6，
∵BC=5，
∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=5+6=11；
故选C．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
7．D
【分析】根据作图得到垂直平分线，从而得到，即可得到答案；
【详解】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及三角形周长，解题的关键是根据作图得到垂直平分线．
8．∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
【分析】设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数．
【详解】解：设∠A=x，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x，
∴在△ABC中，x+2x+2x=180°，
∴x=36°，2x=72°，
即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键．
9．A
【分析】先由AB∥CD，得∠C=∠B=35°，DE=CE，得∠EDC=∠C，再根据三角形外角的性质求得答案即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠B=35°，
∴∠C=∠B=35°，
又∵DE=CE，
∴∠EDC=∠C，
∴∠BED=2∠C=70°，
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C的度数．
10．C
【分析】根据等边对等角，以及三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵平分，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．A
【分析】根据垂线定义得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂线的定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握等边对等角，求出，．
12．(1)30海里
(2)1小时
【分析】（1）根据，可得等腰，再根据等腰三角形的性质即可解答；
（2）点作于点，的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度,最后求出时间即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：（海里）．
∵，
∴．
∴．
∴（海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．
（2）解：如图，过点C作于点P．
∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，．
又∵，
∴．
在中，，
∴（海里）．
∴航行的时间为（时）．
∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
13．从海岛到灯塔的距离为海里
【分析】根据题意可得海里，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得海里，即可解答．
【详解】解：由题意得：海里，
∵，，是的一个外角，
∴，
∴，
∴海里，
∴从海岛到灯塔的距离为海里．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、方向角的定义和三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14．D
【分析】利用等腰三角形的定义得到△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，接着根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝36°，然后判断△ABD和△BDC为等腰三角形．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了等腰三角形的性质．
15．C
【分析】先根据，得出是等腰三角形；然后根据，是的角平分线，求出，得出是等腰三角形；最后根据，，求出，得出是等腰三角形．
【详解】，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
是等腰三角形，
等腰三角形有、、，共3个等腰三角形．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理，牢记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
16．C
【分析】根据是边上的高，，推出，得到为等腰三角形，三角形内角和得到，角平分线的定义，推出，得到为等腰三角形，易得，三角形内角和得到，得到，得到为等腰三角形，即可得出结论．
【详解】解：∵是边上的高线，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等腰三角形，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
则，
而，
故为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线和高线．熟练掌握等角对等边，是解题的关键．
17．C
【分析】由AC＝BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，证出∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°，∠BDA＝∠B，确定△BAD与△CAD也是等腰三角形，即可得出结论．
【详解】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，掌握“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是解本题的关键．
18．C
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
19．C
【分析】当是等腰的底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，当等腰的腰时，根据网格结构，找出一个小正方形与、顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，即可求解．
【详解】解：当是等腰的底边时，符合条件的点有、、、，共4个；
当是等腰的腰时，符合条件的点有、、、，共4个，如图：
∴点的个数是8个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质等，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．
20．C
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图所示：
符合条件的点C的个数有3个，
故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定解答．
21．（1）△BDO是等腰三角形，理由见解析；（2）16.
【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO是等腰三角形，
（2）由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+AC，从而得出答案．
【详解】(1) △BDO是等腰三角形，理由如下：
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴△BDO为等腰三角形；
（2）同理可得△EOC为等腰三角形，
∴BD=DO，EC=EO，
则△ADE的周长为AD+DO+OE+EA即AB+AC=16，
所以△ADE的周长为16.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质，准确进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得到， ，再利用等角对等边的性质即得到．
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵CD是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵CD是的角平分线，
∴．
答：的度数是．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得；
（2）结合（1）中结论可得，根据等边对等角可得，设，
根据等边对等角可得，求得，根据三角形内角和定理即可求得．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线性质得到∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，利用HL判定Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得到AE=AF，进而得到AB=AC，即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质得出BD=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AD=4，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中， ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AE+BE=AF+CD， 即AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，
又∵AD是△ABC的角平分线，BC=6，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∵AB=5，
∴，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴S△ABD=BD AD=AB DE，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
25．C
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
26．C
【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
27．C
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
28．B
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
29．B
【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数．
【详解】解：∵，∠BAE＝50°，
∴∠BAE=∠DFE=50°，
∵CF＝EF，
∴∠C=∠E，
∵∠DFE=∠C+∠E=50°，
∴∠E=25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
30．A
【分析】利用等边对等角求得，然后利用三角形的内角和求得答案即可．
【详解】解：，，
．
，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，可得，从而可得结论；
（2）求解，结合的平分线交于点D，可得，由（1）知．
【详解】（1）证明：在中，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
由（1）知，
故的度数为．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上基础的几何知识是解本题的关键．
32．(1)见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
33．B
【分析】等腰三角形中，给出了顶角为，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
34．C
【分析】15和7分别当作腰讨论即可；
【详解】解：当7是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；
当15是腰时，则三角形的周长是．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识点，分类讨论是本题的解题关键．
35．D
【分析】由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：在中，，
∴是等腰三角形，
∴，
∵D为边的中点，
∴，平分，
故选项A、B、C正确，不一定成立，
故选：D
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
36．D
【分析】此题分为：为顶角、为顶角和、同为底角，再根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质求得的度数．
【详解】解：当为顶角时，则；
当为顶角时，则；
当、为底角时，则.
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．
37．C
【分析】分为腰和底两种情况求解,注意三角形的存在性：通过两个短边和大于最长边可判断三角形存在，反之则无法构成三角形．
【详解】解：因为等腰三角形的周长为，其中一边长为，
当为腰长时，其余两边的长分别为，,三角形不存在；
当为底边长时，其余两边的长都为，三角形存在；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
38．C
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵AB==2，
∴①若BA=BC，则符合要求的有：C1 , C2共2个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C3， C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5， C6 ， C7 ， C8 ， C9 ， C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类讨论的数学思想．
39．D
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，求出，求出，根据平行线的性质得出，，，推出，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴、、、、都是等腰三角形，共5个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，根据题意求出，，是解题的关键．
40．B
【分析】根据等腰三角形的定义以及三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
41．B
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一判定即可解答．
【详解】解：，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形，故①正确；
，，即有，故②正确；
显然,故，故③错误；
的周长，故④正确；
根据题意，无法得到，故⑤错误，
综上所述，①②④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
42．55
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
【详解】∵由作图可得，是的角平分线
∴．
故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
43．
【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
44．4
【分析】根据等腰三角形的 “三线合一”，即有，再在中利用勾股定理即可求出．
【详解】∵是等腰的高，
∴AD⊥BC，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
利用勾股定理有：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的 “三线合一”，勾股定理等知识，求出，再用勾股定理作答是解答本题的关键．
45．5
【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
【详解】解：解方程组，得：，
所以等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以，这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
46．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据平分，可得，再由，可得，从而得到，即可求证；
（2）根据三角形内角和定理可得，再由平分，，即可求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）解：在中，，，
，
平分，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理是解题的关键．
47．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，根据三角形的内角和定理即可求得；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，同理可得，推得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握以上性质是解题的关键．
48．(1)55°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求的值，根据角平分线可求 ，的值，根据计算求解即可；
（2）由，可得，即，根据等腰三角形的性质可证．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∵AE，BF分别是和平分线，
∴，
∴
∴的度数为．
（2）证明：∵，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．
49．（1）见解析；（2）105°．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠DBE=∠DEB，可证得结论；
（2）由∠A＝35°，∠C＝70°可求出∠ABC=75°，然后利用角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB即可求解.
【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）∵∠A＝35°，∠C＝70°，
，
∵DE∥BC，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
