22.3 实际问题与二次函数一课一练
一、单选题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
2．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米 B．3米 C．5米 D．6米
3．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（ ）
A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系
B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系
C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系
D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系
4．某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y（万元）与新增加的投资额x（万元）之间函数关系为（ ）
A．y=25x+15 B．y=2.5x+1.5 C．y=2.5x+15 D．y=25x+1.5
5．三角形的一边长与这边上的高都为xcm，其面积是ycm2，则y与x的函数关系为（ ）
A．y=x2 B．y=2x2 C．y= x2 D．y= x2
6．竖直向上发射的小球的高度 关于运动时间 的函数表达式为 ，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第6秒
二、填空题
7．如图，△ABC中， 则△BED的最大面积为 .
三、解答题
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
四、作图题
9．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．
（1）在给定的坐标系中画出示意图；
（2）求出水管的长度．
五、综合题
10．如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为．根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵h=﹣3（t﹣2）2+5，
∴当t=2时，h取得最大值，此时h=5，
故选C．
【分析】根据二次函数的解析式，可以得到二次函数的最大值，从而可以解答本题．
3．【答案】A
【解析】【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
【解答】A、s=vt，v一定，是一次函数，错误；
B、E=mv2，m一定，是二次函数，正确；
C、f=mv2，m一定，是二次函数，正确；
D、H=gt2，g一定，是二次函数，正确．
故选A．
【点评】解答本题的关键是掌握二次函数的定义及常见数量关系的运用．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：新增加的投资额x万元，
则增加产值 万元．
这函数关系式是：y=2.5x+15．
故选C．
【分析】每增加100元投资，一年增加250元产值，那么增加1万元投资，就要增加2.5万元的产值．总产值=现在年产值+增加的年产值．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由三角形的面积公式= ×底×高得：
y= x2．
故选C．
【分析】根据三角形的面积公式：面积= ×底×高．因此y= ×x×x= x2，因此可以得到函数解析式．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知：小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
即4a+2b＝36a+6b，
解得b＝﹣8a，
函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣ ＝4，
故在t＝4s时，小球的高度最高，
故答案为：C.
【分析】根据“小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等”可得4a+2b＝36a+6b，化简可得b＝-8a，结合对称轴方程求出对称轴，进而可得高度最高时对应的时间.
7．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴S△ABE=2y;
∴S△ADE=2xy，
∵S△BDE=S△ABE-S△ADE=2y-2xy=2y（1-x）
∵
∴y=
∴S△BDE==
∴当x=时，△BDE的最大面积为.
故答案为：.
【分析】利用三角形的面积公式及已知条件可得到S△ABE=2y，S△ADE=2xy，再根据S△BDE=S△ABE-S△ADE，结合已知可建立S△BDE与x的函数解析式，然后将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质可求解。
8．【答案】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，设BC=a，则AC=4a，∵∠BAD=90°，∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，而∠ACB=90°，AB=AD，∴△ABC≌△DAE，∴AE=BC=a，DE=AC=4a，∴EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，DC=5a，∴x=5a，即a= ，又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，∴ ，即y与x之间的函数关系式是 .
【解析】【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式。
9．【答案】（1）解：建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系；
（2）解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝﹣ ．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝﹣ （x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝ ＝2.25．
故水管长为2.25m．
【解析】【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
10．【答案】（1）解：如图，
∵该抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．
根据题意得：点A的坐标为，
∴小石建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，如下图：
（2）解：排球能过球网，理由如下：
根据题意得：点B的横坐标为3，
∴当 时， ，
∴排球能过球网．
【解析】【分析】（1）根据该抛物线的表达式，得出抛物线的顶点坐标，根据当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．即可得出点A的坐标，由此画出图形；
（2）排球能过球网，根据题意得点B的横坐标为3，当 时，得出y的范围，即可得出结论。
22.3 实际问题与二次函数一课一练
一、单选题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
2．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米 B．3米 C．5米 D．6米
3．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（ ）
A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系
B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系
C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系
D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系
4．某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y（万元）与新增加的投资额x（万元）之间函数关系为（ ）
A．y=25x+15 B．y=2.5x+1.5 C．y=2.5x+15 D．y=25x+1.5
5．三角形的一边长与这边上的高都为xcm，其面积是ycm2，则y与x的函数关系为（ ）
A．y=x2 B．y=2x2 C．y= x2 D．y= x2
6．竖直向上发射的小球的高度 关于运动时间 的函数表达式为 ，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第6秒
二、填空题
7．如图，△ABC中， 则△BED的最大面积为 .
三、解答题
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
四、作图题
9．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．
（1）在给定的坐标系中画出示意图；
（2）求出水管的长度．
五、综合题
10．如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为．根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵h=﹣3（t﹣2）2+5，
∴当t=2时，h取得最大值，此时h=5，
故选C．
【分析】根据二次函数的解析式，可以得到二次函数的最大值，从而可以解答本题．
3．【答案】A
【解析】【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
【解答】A、s=vt，v一定，是一次函数，错误；
B、E=mv2，m一定，是二次函数，正确；
C、f=mv2，m一定，是二次函数，正确；
D、H=gt2，g一定，是二次函数，正确．
故选A．
【点评】解答本题的关键是掌握二次函数的定义及常见数量关系的运用．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：新增加的投资额x万元，
则增加产值 万元．
这函数关系式是：y=2.5x+15．
故选C．
【分析】每增加100元投资，一年增加250元产值，那么增加1万元投资，就要增加2.5万元的产值．总产值=现在年产值+增加的年产值．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由三角形的面积公式= ×底×高得：
y= x2．
故选C．
【分析】根据三角形的面积公式：面积= ×底×高．因此y= ×x×x= x2，因此可以得到函数解析式．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知：小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
即4a+2b＝36a+6b，
解得b＝﹣8a，
函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣ ＝4，
故在t＝4s时，小球的高度最高，
故答案为：C.
【分析】根据“小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等”可得4a+2b＝36a+6b，化简可得b＝-8a，结合对称轴方程求出对称轴，进而可得高度最高时对应的时间.
7．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴S△ABE=2y;
∴S△ADE=2xy，
∵S△BDE=S△ABE-S△ADE=2y-2xy=2y（1-x）
∵
∴y=
∴S△BDE==
∴当x=时，△BDE的最大面积为.
故答案为：.
【分析】利用三角形的面积公式及已知条件可得到S△ABE=2y，S△ADE=2xy，再根据S△BDE=S△ABE-S△ADE，结合已知可建立S△BDE与x的函数解析式，然后将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质可求解。
8．【答案】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，设BC=a，则AC=4a，∵∠BAD=90°，∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，而∠ACB=90°，AB=AD，∴△ABC≌△DAE，∴AE=BC=a，DE=AC=4a，∴EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，DC=5a，∴x=5a，即a= ，又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，∴ ，即y与x之间的函数关系式是 .
【解析】【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式。
9．【答案】（1）解：建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系；
（2）解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝﹣ ．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝﹣ （x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝ ＝2.25．
故水管长为2.25m．
【解析】【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
10．【答案】（1）解：如图，
∵该抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．
根据题意得：点A的坐标为，
∴小石建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，如下图：
（2）解：排球能过球网，理由如下：
根据题意得：点B的横坐标为3，
∴当 时， ，
∴排球能过球网．
【解析】【分析】（1）根据该抛物线的表达式，得出抛物线的顶点坐标，根据当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．即可得出点A的坐标，由此画出图形；
（2）排球能过球网，根据题意得点B的横坐标为3，当 时，得出y的范围，即可得出结论。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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